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Ricci流解的长时间存在性，有限时间奇点的分析

这篇文章是 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci 的第四部分。这篇文章主要介绍两部分内容：一、关于Ricci流解的长时间存在性的一个基本结果，二、Ricci流有限时间奇点的分析。

这篇文章主要参考了 [1] 和 [3]。

一、关于Ricci流解的长时间存在性的一个基本结果

【定理1】设 $g(t), t\in [0,T)$ 为 $n$ 维闭流形 $M$ 上Ricci流的解，且 $T$ 为解的最大存在时间。如果 $T<+\infty$ ，则 $\limsup_{t\to T} ({\max_{x\in M} |Rm(x,t)|})=+\infty$ 。

【注1】1. 这个结果是一个一般性的结果，对于 $n$ 维流形都成立。

2. 由定理1我们可以知道，若存在与时间无关的常数 $C>0$ ，使得 $|Rm|\leq C,\forall t\in[0,T)$ ，则 $T=+\infty$ 。因此，如果曲率张量的模有一个一致的控制，那么Ricci流的解是长时间存在的，这是长时间存在性的一个判定方法。

【证明】记 $M(t)=\max_{x\in M}{|Rm(x,t)}|$ ，我们用反证法，即假设 $T<+\infty$ 且 $\limsup_{t\to T}M(t)<+\infty$ 。此时，存在与时间无关的常数 $C>0$ ，使得 $M(t)\leq C, \forall t\in [0,T)$ ，因此 $|Rm|\leq C, \forall t\in[0,T)$ 。

第一步，证明当 $t\to T$ 时， $g(t)$ 一致收敛于一个连续的、对称正定的二阶协变张量 $g(T)$ ：首先我们指出一个一般的不等式 $|Ric|^2\leq n|Rm|^2$ ，这可以在任意一点处的一个正交标架下计算（实际上这就是trace不等式）： $|Ric|^2=\sum_{i,j}R_{ij}^2=\sum_{i,j}(\sum_kR_{kij}^k)^2\leq n\sum_{i,j}\sum_k(R_{kij}^k)^2\leq n\sum_{i,j,k,l}(R_{ijk}^l)^2=n|Rm|^2$ 。因此，由 $|Rm|\leq C$ 可得 $|\partial_tg|=2|Ric|\leq C_1$ ，其中 $C_1>0$ 是不依赖于时间的常数。

对于任意的 $v\in T_xM,x\in M$ ，令 $|v|_t=\sqrt{g(x,t)(v,v)}$ ，于是 $\frac{d}{dt}|v|_t^2=(\partial_tg(x,t))(v,v)$ ，且 $|\frac{d}{dt}\log|v|_t^2|=\frac{(\partial_tg(x,t))(v,v)}{|v|_t^2}\leq |\partial_tg(x,t)|\leq C_1$ 。所以对于任意 $0\leq\tau<\theta<T$ ， $|\log({|v|_\theta^2}/{|v|_\tau^2})|\leq\int_\tau^\theta|\frac{d}{dt}\log|v|_t^2|dt\leq C_1(\theta-\tau)$ 。由这个不等式可得到两个估计： $|v|_t^2$ 有上界， $|v|_t^2\leq|v|_0^2\exp(C_1t)\leq|v|_0^2\exp(C_1T)$ ；并且 $|v|_\theta^2/|v|_\tau^2\to 1\; (\theta,\tau\to 1)$ 。由这两个估计可知 $||v|_\theta^2-|v|_\tau^2|=|v|_\tau^2\times|\frac{|v|_\theta^2}{|v|_\tau^2}-1|\to 1\; (\theta,\tau\to 1)$ ，故由Cauchy收敛定理可知，存在实数 $|v|_T^2$ ，使得 $|v|_t^2\to |v|_T^2\; (t\to T)$ 。又注意到：第一， $|v|_t\geq 0\Rightarrow |v|_T\geq 0, \forall v\in T_xM$ ；

第二，当 $v=0$ 时 $|v|_t\equiv 0\Rightarrow |v|_T=0$ ，而当 $v\ne 0$ 时又利用 $|\log({|v|_\theta^2}/{|v|_\tau^2})|\leq C_1(\theta-\tau)$ 可得下界估计 $|v|_t^2\geq |v|_0^2\exp(-C_1t)\geq |v|_0^2\exp(-C_1T)\Rightarrow |v|_T^2\geq |v|_0^2\exp(-C_1T)>0$ ；第三， $|v+w|_t\leq |v|_t+|w|_t\Rightarrow |v+w|_T\leq |v|_T+|w|_T,\forall v,w\in T_xM$ ；第四， $|\lambda v|_t=|\lambda||v|_t\Rightarrow |\lambda v|_T=|\lambda||v|_T, \forall v\in T_xM, \lambda\in\mathbb R$ 。因此 $|\cdot|_T$ 是一个模长。

现在，如果 $V$ 是 $M$ 上的连续切向量场，则利用上面的结果我们可以得到两个与 $x\in M$ 无关的一致的控制： $|V(x)|_t^2\leq (\max_{x\in M}|V(x)|_0^2)\exp(C_1T)$ ，以及 $|\log({|V(x)|_\theta^2}/{|V(x)|_\tau^2})|\leq C_1(\theta-\tau)$ 。因此利用类似上面的方法可得，在 $t\to T$ 时， $|V(x)|_t^2$ 以不依赖于 $x\in M$ 的方式一致收敛于 $M$ 上的连续函数 $|V(x)|_T^2$ 。同时，由 $t$ 时刻的平行四边形公式 $|V(x)+W(x)|_t^2+|V(x)-W(x)|_t^2=2(|V(x)|_t^2+|W(x)|_t^2),\forall x\in M$ ，令 $t\to T$ 可得 $T$ 时刻也满足平行四边形公式，因此模长 $|\cdot|_T^2$ 可以由一个内积 $g(T)$ 诱导，即令 $g(x,T)(V(x),W(x))=\frac14(|V(x)+W(x)|_T^2-|V(x)-W(x)|_T^2),\forall x\in M$ 。因为 $|V|_t^2$ 一致收敛于 $|V|_T^2$ ，故 $g(t)$ 也一致收敛于 $g(T)$ ；利用 $|\cdot|_T^2$ 在 $M$ 上连续可知 $g(T)$ 也连续。故 $g(T)$ 是 $M$ 上的一个连续的、对称正定的二阶协变张量。

第二步，证明 $g(T)$ 实际上是 $C^\infty$ 的，从而 $g(T)$ 成为 $M$ 上的黎曼度量，且 $g(t)$ $C^\infty$ 收敛于 $g(T)$ ：由于 $M$ 为闭流形，我们可以取 $M$ 上有限个适当的局部坐标邻域覆盖 $M$ 满足：第一，每个局部坐标邻域都包含在一个更大的紧的局部坐标邻域内，这样 $t=0$ 时刻的所有几何量的绝对值在每一个局部坐标系中都是有界的，例如 $|g_{ij}(0)|\leq C_1,|g^{ij}(0)|\leq C_2,|\Gamma_{ij}^k(0)|\leq C_3$ 等等；第二， $t=0$ 时刻的模长 $|\cdot|_0$ 与每一个局部坐标系下的欧氏模（记为 $|V|'=\sqrt{\sum_{i=1}^n(V^i)^2}$ ，其中 $V$ 为切向量）都是等价的，且相差倍数为常数 $C>0$ ， $C$ 对每个局部坐标系都一致： $C^{-1}|V|'\leq |V|_0\leq C|V|'$ 。注意到上面我们已经证明了 $|v|_0^2\exp(-C_1T)\leq|v|_t^2\leq|v|_0^2\exp(C_1T)$ ，这就是说明了 $|\cdot|_t$ 与 $|\cdot|_0$ 等价，相差的倍数与 $t$ 无关，从而 $|\cdot|_t$ 也与 $|\cdot|'$ 是等价的，相差的倍数也与 $t$ 无关。

要证明 $g(T)$ 是 $C^\infty$ 的，只需在上述的每一个局部坐标系 $(U;x^i)$ 下证明 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 在 $t\to T$ 时一致收敛即可，其中 $\alpha$ 为任意多重指标， $\partial^\alpha$ 代表对相应的局部坐标 $x^i$ 求偏导数。这是因为由数学分析的定理可知，光滑函数 $g_{ij}(t)$ 一致收敛于 $g_{ij}(T)$ 且所有一阶偏导数 $\partial^\alpha g_{ij}(t)\;(|\alpha|=1)$ 一致收敛时，我们可以得到 $g_{ij}(T)$ 的所有一阶偏导数连续，且 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛于 $\partial^\alpha g_{ij}(T)\;(|\alpha|=1)$ 。对于二阶偏导数、三阶偏导数等也是类似的。因此当 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 对任意多重指标 $\alpha$ 都一致收敛时，可得 $g_{ij}(T)$ 的所有阶偏导数都连续，也就是说 $g_{ij}(T)$ 是光滑函数，从而 $g(T)$ 在覆盖 $M$ 的局部坐标系下的分量都是光滑的，所以 $g(T)$ 是 $C^\infty$ 的。同时在上述每一个局部坐标系下 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛于 $\partial^\alpha g_{ij}(T)$ ，于是 $g(t)$ $C^\infty$ 收敛于 $g(T)$ 。

要证明 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛，我们首先有 $|\partial^\alpha g_{ij}(\theta)-\partial^\alpha g_{ij}(\tau)|=|\int_\tau^\theta [\frac{d}{dt}\partial^\alpha g_{ij}(t)]dt|=2|\int_\tau^\theta\partial^\alpha R_{ij}dt|\leq2\int_\tau^\theta|\partial^\alpha R_{ij}|dt$ 。（以下常数 $C>0$ 可以在不同式子中代表不同的值，且都不依赖于时间和局部坐标系）因此我们只需证明，对任意多重指标 $\alpha$ ，存在与时间和局部坐标系无关的常数 $C>0$ 使得 $|\partial^\alpha R_{ij}|\leq C$ ，那么就有 $|\partial^\alpha g_{ij}(\theta)-\partial^\alpha g_{ij}(\tau)|\leq 2\int_\tau^\theta|\partial^\alpha R_{ij}|dt\leq 2C(\theta-\tau)\to 0\; (\theta,\tau\to 0)$ ，故由Cauchy收敛定理可得到 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛。

由数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计中最后关于曲率张量的高阶协变微分的估计，我们可得 $|Rm|\leq C\Rightarrow |\nabla^nRm|\leq C$ ，因此关键在于将关于高阶协变微分的估计 $|\nabla^nRm|\leq C$ 转化为局部坐标系下关于偏导数估计 $|\partial^\alpha R_{ij}|\leq C$ 。由trace不等式我们可以得到 $|\nabla^nRic|\leq C$ ，先看一阶的情形： $\nabla_kR_{ij}=\partial_kR_{ij}-\Gamma_{ki}^lR_{lj}-\Gamma_{kj}^lR_{il}$ ，故取绝对值 $|\partial_kR_{ij}|\leq|\nabla_kR_{ij}|+|\Gamma_{kj}^l||R_{il}|+|\Gamma_{ki}^l||R_{lj}|$ 。注意到，局部坐标系的选取使得 $|\cdot|_t$ 与局部坐标系下的欧氏模 $|\cdot|'$ 是等价的，且相差的倍数与时间无关，于是它们在一般的张量上诱导的模也是等价的，相差的倍数也与时间无关（注：可以在将 $g_{ij}$ 特征值对角化的欧氏模正交标架下验证）。因此对几何量的绝对值，有以下的估计 $|\nabla_kR_{ij}|\leq|\nabla Ric|'\leq C|\nabla Ric|\leq C, |R_{ij}|\leq|Ric|'\leq C|Ric|\leq C, \forall i,j,k$ 。因此我们只需要估计绝对值 $|\Gamma_{ij}^k|$ 即可： $|\partial_t\Gamma_{ij}^k|=|g^{kl}(-\nabla_iR_{jl}-\nabla_jR_{il}+\nabla_lR_{ij})|\leq C\max_{k,l}|g^{kl}(t)|$ ， $|\partial_tg^{kl}|=|2R^{kl}|\leq C|Ric|\leq C\Rightarrow |g^{kl}(t)|\leq|g^{kl}(0)|+Ct\leq C+CT$ ，从而 $|\partial_t\Gamma_{ij}^k|\leq C,|\Gamma_{ij}^k(t)|\leq|\Gamma_{ij}^k(0)|+Ct\leq C+CT$ ，从而我们完成了一阶偏导数的估计。

高阶偏导数的估计是完全类似的，用归纳法就可以完成，只不过需要估计额外的项 $|\partial^\alpha\Gamma_{ij}^k|$ 。以二阶偏导数估计为例，注意到 $\nabla_l\nabla_kR_{ij}=\partial_l(\nabla_kR_{ij})-\Gamma_{kl}^h\nabla_hR_{ij}-\Gamma_{il}^h\nabla_kR_{hj}-\Gamma_{jl}^h\nabla_kR_{ih} \\ =\partial_l\partial_kR_{ij}-(\partial_l\Gamma_{ki}^p)R_{pj}-(\partial_l\Gamma_{kj}^p)R_{ip}+...$ ，其中省略号的部分是已经估计过的项。于是，我们只需估计 $|\partial_l\Gamma_{ij}^k|,\forall i,j,k,l$ 即可： $\partial_t\partial_l\Gamma_{ij}^k=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)$ ，注意到 $\partial_t\Gamma_{ij}^k$ 是张量，故有 $\nabla_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)-\Gamma_{il}^h\cdot\partial_t\Gamma_{hj}^k-\Gamma_{jl}^h\cdot\partial_t\Gamma_{ih}^k+\Gamma_{hl}^k\cdot\partial_t\Gamma_{ij}^h=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)+...$ ，同时 $\nabla_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)=g^{kp}(-\nabla_l\nabla_iR_{pj}-\nabla_l\nabla_jR_{ip}+\nabla_l\nabla_pR_{ij})$ 用二阶协变微分的估计 $|\nabla^2Ric|\leq C$ 以及 $|g^{kl}|\leq C$ 就能控制，因此最终 $|\partial_t\partial_l\Gamma_{ij}^k|\leq C,|\partial_l\Gamma_{ij}^k(t)|\leq|\partial_l\Gamma_{ij}^k(0)|+Ct\leq C+CT$ ，从而我们完成了二阶偏导数的估计。更高阶偏导数中出现的 $|\partial^\alpha\Gamma_{ij}^k|$ 也可逐步使用这里的方法估计，于是我们完成了第二步。

第三步，导出矛盾，完成定理的证明：由于 $T$ 时刻 $g(T)$ 为 $M$ 上的黎曼度量，因此由Ricci流的短时间存在性可知， $\partial_t\hat g=-2Ric_{\hat g}, \hat g(0)=g(T)$ 有短时间的光滑解，设解的存在区间为 $[0,\varepsilon)$ 。于是令 $h(t)=g(t),\forall t\in[0,T]; h(t)=\hat g(t-T),\forall t\in[T,T+\varepsilon)$

，则 $h(t)$ 定义在 $[0,T+\varepsilon)$ 上，且由 $t\to T^-$ 时 $g(t)$ $C^\infty$ 收敛于 $g(T)$ 可知 $h(t)$ 在 $T$ 时刻的拼接也是光滑的，它是Ricci流的整体光滑解，这与 $T$ 是Ricci流的最大存在时间矛盾，因此定理1得证。（//只证明了关于空间方向光滑，忘记证明关于时间方向光滑了）

【推论1】定理1中的结论可改进为 $\lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Rm(x,t)|)=+\infty$ 。

【证明】用反证法。若不然，则存在常数 $C>0$ 以及一列严格单调上升的时间 $t_i\to T\;(i\geq 1)$ 使得 $M(t_i)\leq C$ ，其中 $M(t)=\max_{x\in M}|Rm(x,t)|$ 。取定一个充分大的 $i$ ，使得 $T-\frac1{16C}\leq t_i<T$ 。由下面的引理1可知 $M(t)\leq 2M(t_i)\leq 2C, \forall t\in[t_i,T]$ ，这与定理1中得到的 $\limsup_{t\to T}M(t)=+\infty$ 矛盾，故命题得证。

【引理1】（Doubling time estimate，[2]）设 $g(t),t\in[0,T)$ 为闭流形 $M$ 上Ricci流的解，且 $t=0$ 时 $|Rm|\leq C$ ，则 $|Rm|\leq 2C, \forall t\in[0,\frac1{16C}]$ 。

【注2】这个引理的证明并不困难，属于数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计中最后部分的内容，有机会再一起补充完整。这个引理说明当 $|Rm|$ 在某一时刻上界被 $C$ 控制时， $|Rm|$ 不能增长太快，要想它加倍至少要经过一个短时间 $\frac1{16C}$ 。

【推论2】设 $g(t),t\in[0,T)$ 为闭三维流形 $M$ 上Ricci流的解， $T$ 为解的最大存在时间，且 $Ric(0)>0$ ，则 $\lim_{t\to T} R_{max}(t)=+\infty$ ，其中 $R_{max}(t)=\max_{x\in M}R(x,t)$ 。

【证明】首先我们指出，在三维流形上有一个一般的不等式 $|Ric|\geq c|Rm|$ ，其中 $c>0$ 为绝对常数。这是因为利用Weyl张量为0的条件 $0=W_{ijkl}=R_{ijkl}+\frac R2(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})-(R_{il}g_{jk}+R_{jk}g_{il}-R_{ik}g_{jl}-R_{jl}g_{ik})$ 在单位正交标架下我们可以得到 $|Rm|^2=\sum_{i,j,k,l}R_{ijkl}^2=\sum_{i,j,k,l}[-\frac R2(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl})+(R_{il}\delta_{jk}+R_{jk}\delta_{il}-R_{ik}\delta_{jl}-R_{jl}\delta_{ik})]^2 \\ \leq\sum_{i,j,k,l}6\times(\frac {R^2}4\delta_{il}^2\delta_{jk}^2+\frac{R^2}4\delta_{ik}^2\delta_{jl}^2+R_{il}^2\delta_{jk}^2+R_{jk}^2\delta_{il}^2+R_{ik}^2\delta_{jl}+R_{jl}^2\delta_{ik}^2) \\ =6\times(2\times\frac{R^2}4\cdot3\cdot3+4\times|Ric|^2\cdot3)$ ，再利用trace不等式 $R^2\leq3|Ric|^2$ 即可得到 $|Ric|\geq c|Rm|$ 的估计。

现在，由于我们已经证明过 $Ric(0)>0$ 时， $R(0)>0$ 且 $T<+\infty$ ，因此，由推论1 $\lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Rm(x,t)|)=+\infty$ ，从而由 $|Ric|\geq c|Rm|$ 可得 $\lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Ric(x,t)|)=+\infty$ 。最后我们证明过 $Ric>0$ 在Ricci流下是保持的，此时 $R>0$ 且 $|Ric|^2\leq R^2$ ，故 $\lim_{t\to T}R_{max}(t)=+\infty$ ，证毕

二、Ricci流有限时间奇点的分析

现在，我们可以得出在 $t\to T$ 时Ricci流的一些几何性质，这将在分析规范化的Ricci流的几何性质时用到。

【定理2】设 $g(t),t\in [0,T)$ 为三维闭流形 $M$ 上Ricci流的解， $T$ 为最大存在解时间，且 $Ric(0)>0$ ，则 $\lim_{t\to T}\frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1$ ，其中 $R_{max}(t)=\max_{x\in M}R(x,t), R_{min}(t)=\min_{x\in M}R(x,t)$ 。

【证明】首先由推论2， $R_{max}(t)\to +\infty\; (t\to T)$ ，再利用数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计中数量曲率的梯度估计 $\frac{|\nabla R|^2}{R^3} \leq \beta R^{-2\alpha}+CR^{-2}\; (0<2\alpha<1)$ ，可以对数量曲率的变化速度进行控制，具体如下：

$|\nabla R|^2\leq \beta R^{3-2\alpha}+CR$ ，且存在充分接近于 $T$ 的时刻 $\theta_1$ 使得 $CR_{max}(t)\leq CR_{max}^{3-2\alpha}(t),\forall t\in[\theta_1,T)$ ，因此 $|\nabla R|\leq (\beta+C) R_{max}^{3/2-\alpha}$ 。现在对于一个固定的时刻 $t\in[\theta_1,T)$ ，设 $x_1\in M$ 使得 $R(x_1,t)=R_{max}(t)$ ，并考虑 $t$ 时刻 $M$ 上的测地球 $B=B(x_1,\frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}})$ ，其中 $\varepsilon>0$ 为待定常数。注意到 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流中最后我们证明了存在常数 $\eta>0$ 使得 $Ric\geq 2\eta^2Rg$ ，即Ricci曲率有下界 $2\eta^2R_{min}(0)>0$ ，故由Myers定理 $M$ 是紧的，因此是完备的。

于是对于任意一点 $x_2\in B$ ，存在从 $x_2$ 到 $x_1$ 的 $B$ 中最短测地线 $\gamma:[0,L]\to M$ ，其中 $L=d(x_1,x_2)\leq\frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}$ 。注意到 $R_{max}(t)-R(x_2)=\int_0^L[\frac d{dt}R(\gamma(t))]dt=\int_0^L\nabla R(\gamma(t))\cdot\gamma'(r)dt \\ \leq\int_0^L|\nabla R(\gamma(t))|\cdot 1dt\leq L\cdot (\beta+C) R_{max}^{3/2-\alpha}\leq \frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{1-\alpha}$ ，因此 $R(x_2)\geq(1-\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha})R_{max}$ 。由于 $x_2\in B$ 任意，故 $\inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha})R_{max}$ 。现在再取充分接近于 $T$ 的时刻 $\theta_2\in[\theta_1,T)$ 使得 $\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha}(t)\leq\varepsilon,\forall t\in[\theta_2,T)$ ，因此 $\inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)$ 。

现在再由 $Ric\geq 2\eta^2Rg$ 以及Myers定理可知，上述的从 $x_1$ 出发的最短测地线 $\gamma$ 在长度 $L(\gamma)>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}$ 时不可能保持最短。注意到 $\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}\leq \frac\pi{\eta\sqrt{(1-\varepsilon)R_{max}(t)}}$ ，如果我们取定待定常数 $\varepsilon>0$ 充分小使得 $\frac\pi{\eta\sqrt{(1-\varepsilon)}}<\frac1\varepsilon$ ，此时 $\varepsilon$ 可以只由 $g(0)$ 决定，那么 $\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}< \frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}$ 。

若 $M$ 上存在一点 $y$ 处于测地球 $B$ 之外，由 $M$ 完备可知，存在一条从 $x_1$ 到 $y$ 的最短测地线 $\gamma_1$ 。由于该测地线长度 $L(\gamma_1)=d(x,y)\geq \frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}$ ，因此 $\gamma_1$ 上存在一点 $z$ 使得 $\gamma_1$ 上从 $x_1$ 到 $z$ 的部分 $\gamma_1|_{[x_1,z]}$ 仍然是最短测地线，包含在 $B$ 中，且长度 $L(\gamma_1|_{[x_1,z]})>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}$ ，这与之前说的在长度 $L>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}$ 时测地线 $\gamma$ 不可能保持最短矛盾。因此 $M=B$ 。因为我们之前在 $B$ 中建立了不等式 $\inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)$ ，因此 $R_{min}(t)\geq (1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)$ 。 $\varepsilon>0$ 可以做到任意小，因此我们证明了 $\lim_{t\to T}\frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1$ ，命题得证。

【推论3】在定理2的条件下， $\int_0^Tr(t)dt=+\infty$ ，其中 $r=\frac{\int_M Rd\mu}{\int_M d\mu}$ 。

【证明】首先我们设 $f$ 是以下ODE的解： $\frac{df}{dt}=2R_{max}(t)f,f(0)=R_{max}(0)$ 。这个ODE总是有解的，因为 $R_{max}(t)$ 是关于 $t$ 的连续函数（注：可以这样验证：对于两个充分接近的时刻 $t_1,t_2$ ，设 $R_{max}$ 分别在 $x_1,x_2$ 上达到，由 $R(x,t)$ 的连续性有 $R_{max}(t_1)=R(x_1,t_1)\leq R(x_1,t_2)+\varepsilon\leq R_{max}(t_2)+\varepsilon$ ，另一边的不等式也可以同样建立）。此时 $\partial_t(f-R)=2R_{max}f-(\Delta R+2|Ric|^2)$ 。注意到 $Ric>0$ 时 $|Ric|^2\leq R^2$ ，故 $-2|Ric|^2\geq -2R^2\geq-2R_{max}R$ 。从而 $\partial_t(f-R)\geq \Delta(f-R)+2R_{max}(f-R)$ 。因为在 $t=0$ 时 $f-R\geq 0$ ，由函数的最大值原理可知 $f-R\geq 0$ 在 $[0,T)$ 上都成立，从而 $f(t)\geq R_{max}(t)\to+\infty\; (t\to T)$ 。同时我们有 $\int_0^tR_{max}(s)ds=\frac12\int_0^t(\frac1f\frac{df}{ds})ds=\frac12[\log f(t)-\log f(0)]\to+\infty\;(t\to T)$ ，因此 $\int_0^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 。最后，由定理2知， $R_{min}(t)/R_{max}(t)\to 1\; (t\to T)$ ，因此存在充分接近于 $T$ 的时刻 $\theta$ 使得 $R_{min}(t)\geq\frac12R_{max}(t),\forall t\in[\theta,T)$ ，由于 $r$ 是数量曲率的积分平均值，故 $r\geq R_{min}(t)\geq\frac12R_{max}(t),\forall t\in[\theta,T)$ 。故 $\int_0^Tr(t)dt\geq \int_\theta^Tr(t)dt\geq\frac12\int_\theta^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 。其中 $\int_\theta^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 是因为在紧区间 $[0,\theta]$ 上 $R_{max}(t)$ 的积分为有限值，故 $\int_0^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 减去一个有限值 $\int_0^\theta R_{max}(t)dt<+\infty$ 后仍为 $+\infty$ 。至此，我们完成了推论3的证明。

【推论4】在定理2的条件下， $\frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\to 0\; (t\to T)$

【证明】由 Ricci曲率张量的夹挤估计我们可知 $\frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\leq CR^{-\varepsilon}$ 。由于 $R_{max}(t)\to +\infty, R_{min}(t)/R_{max}(t)\to 1\; (t\to T)$ ，故 $R\to +\infty\; (t\to T)$ ，因此 $\frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\leq CR^{-\varepsilon}\to 0\;(t\to T)$ ，证毕。

参考文献

[1] Chow, Bennett; Knopf, Dan. The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[2] Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei. Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics, 77. American Mathematical Society, Providence, RI; Science Press Beijing, New York, 2006.

[3] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：知乎用户（登录查看详情）

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在多伦多生活是怎样一种体验？

我在很多城市生活过，但多伦多是独一无二的。它给人一种莫名的舒适感，但是它真的是太冷了，我到现在都适应不了！不过下起雪的多伦多也确实美得像童话，附一个之前拍的小视频作证。

多伦多是个很大的都市，但是一切都十分方便，触手可及（除了在高峰期开车，你得有不少耐心才行）。居民来自世界各地，非常国际化。而且大家都又开朗又好玩，乐于拥抱任何一个人成为社区的一份子。这让我非常感动。我前面已经提到了我在很多国家生活过，体验了各种不同的文化，而其中的每一种都可以在多伦多找到。从购物到饮食，这个城市拥有非常多元的资源供你体验。我喜欢去城里的高档贵价餐厅，也喜欢中国城里随和的小吃店。

我觉得对一个球员而言，多伦多是NBA联盟里最理想的城市之一。在球场上也是，猛龙的主场因为球迷而特别棒。这可以算是我们这赛季主场战绩那么出彩的主要原因。

I've lived in many cities but there's nothing like Toronto. There is something about this city that makes you feel comfortable—except for the cold, of course. I still can't get used to it! Toronto does look like a wonderland when it snows though. Check it in this video!

It's a big city, but I feel like everything is in reach (except if you try to drive downtown in rush hour… you really need to have a lot of patience for that). It's a very international city, with people from many different nationalities. Torontonians are fun and outgoing, and they embrace you and welcome you in as a part of their community. That is a positive for me, because like I explained before, I have lived in different countries and experienced different cultures, and I can experience a lot of them here in Toronto. From shopping to restaurants, this city has so much to offer. I love going to high-end restaurants but also to casual spots in Chinatown or other parts of the city.

Having had the journey I've had, I have no doubt that off the court Toronto is one of the best cities in the league for a player. And on the court? Well, there's really an advantage playing here in front of our home crowd. I believe we have the best fans in the league. We had the best home record in the regular season and that's mostly because of them.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：伊巴卡

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足球教练在一个球队中的作用真的很重要吗？

举个例子吧。

梅诺蒂（1978年世界杯带领阿根廷国家队获得冠军），一个深受大家信任的足球教练，而且他有着无与伦比的表达能力。在他的众多事迹当中，有一件令我印象深刻：那是1981年在意大利佛罗伦萨，阿根廷国家队对阵佛罗伦萨的一场友谊赛，拥有马拉多纳、肯佩斯和帕萨雷拉的阿根廷在上半场以0:3大比分落后。所有人都知道梅诺蒂的脾气，大家都在等待一场狂风暴雨的来袭，气氛压抑的更衣室里死一般的沉寂。

然而，瘦教练拉起一把椅子安静地坐到球员们身边，就好像现在面对的这个结果只是因为运气不好一样。他说："足球真是不可思议吧？你们不要担心，我们依然是一支非常优秀的队伍，只要我们尊重足球……"

为了让团队重拾状态和找回真正的实力，他用平和的语气，节奏缓慢地向队员发出了适当的指示。他平静的态度表现出了对这支已经足够专业的球队的巨大信心。梅诺蒂明白，只有让队员冷静下来，他们才能重新面对比赛。最终，阿根廷连入五球，以5:3反败为胜。

或许教练在更衣室把队员臭骂一顿也会取得同样的结果，或许不能。过度的权威具有很大的威慑力，但当神经紧绷着去竞赛时，球员更需要的是心平气和以及准确具体的信息。

César Luis Menotti fue siempre un hombre de convicciones profundas y con una fuerza seductora incomparable en sus discursos. Una de sus mejores «actuaciones» la protagonizó en Florencia, en un partido amistoso que la Selección Argentina disputó frente a la Fiorentina. En la primera parte la Selección Argentina perdía 3-0 y, conociendo a Menotti, todo el mundo esperaba una bronca inolvidable. Pero, en medio del silencio sepulcral de un vestuario humillado, el «Flaco» arrimó una silla al grupo, se sentó tranquilamente y dijo, como si el resultado fuera solo producto del destino: «Qué increíble es el fútbol, ¿no? No se preocupen porque seguimos siendo muy superiores, siempre y cuando respetemos nuestro fútbol...». Y en un tono calmo y con un ritmo pausado, dio las instrucciones adecuadas para que el equipo se reencontrara primero con el aplomo perdido y después con su conocida competitividad.

Aquella actitud serena contenía una tremenda confianza en un grupo que había dado pruebas sobradas de profesionalidad. Solo recuperando la calma el equipo podría reencontrarse con su juego. Aquel partido terminó 5 a 3. A lo mejor un grito hubiera producido el mismo efecto. O no. Los excesos de autoridad tienen mucho prestigio, pero muchas veces la medicina adecuada, cuando se compite al borde del sistema nervioso (y no hablo solo de fútbol), es la transmisión de un mensaje preciso y sereno.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：巴尔达诺

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如何评价广州白云机场新投入使用的 T2 航站楼？

谢邀

先说一下自己的观点：白云T2的所谓单体最大，是指航站本体+综合交通中心后的结论，这个计算方法争议较大，且你们忘了北京T3那98w平方米的恐怖面积了嘛，还有长水？白云机场没必要争这个名头。

以下正文

影响相当大，可以说长期以来制约广州和南航的最大瓶颈暂时度过了。

1、T2的投产标志着CAN自2011年以来第一次结束了超频运作～数据来说明。自2011年T1东三西三指廊投入使用，CAN的容量就定格在了3500w人次每年，相当于平均每月300w人次，而2017年全年CAN的吞吐量为近6500w人次，超负荷85%。2018年3月CAN的吞吐量为605w人次，超负荷101%。T2投入运营，第一个改善的就是拥挤程度（尽管也撑不了两年）。这意味着很多东西，比如在值机柜台、安检通道、行李提取的等待时间会大幅度缩短。米夏永远忘不了每年春节回到广州，绝望地在堆着6架飞机行李的传输带边等待的绝望。

2、综合交通中心的启用使得机场的交通方便程度和秩序都有非常大的提升。GTC集城轨（广佛环线、新白广线）、地铁（3号线）、机场大巴、长途大巴、出租车于一体，将所有的公共交通集中于交通中心内，有效避免旅客的混淆。T1的地铁站、客运站和出租车站散布于航站楼和两指的多处，在标示指引上更加复杂，旅客也容易迷路。目前衔接T1、T2的方式有免费摆渡巴士和地铁，地铁在T1、T2之间搭乘免费。机场大巴依然会停靠T1A和T1B，不必担心。至于GTC的规模是否妥当，以及能否发挥出其设计时的功能和想法，需要待5月中旬南航转场后，T2真正承载白云机场过半客流时才能得到检验。对此个人还是比较乐观的。

3、人流设计的改变。T2同T1一样，都是集中出发思想的本体+指廊的设计，而T2针对T1暴露出的许多问题做了较大修改。值机同T1，均在航站楼本体中完成。安检开始有所不同，T1分A、B区安检，T2不分航司，全部集中于值机区北部进行安检，然后才分流至各登机口。好处是旅客不容易迷路，坏处则是步行距离相较T1大幅增加。希望未来能尽快安装已经预留了的旅客捷运系统。根据介绍，T2首次采取了出发\到达客流混流的情况？目的是为了使到达旅客更好地体验机场商店……（掀桌子！）。最后是到达区位于本体一层，所有的行李提取均位于此，很是担心行李传送带的数量了……到达区直通GTC这点倒是不错。

4、其他细节方面。指廊较T1大幅度加宽，近机位数量显著增加，靠桥率提高。大量自助设备投产，包括二维码登机等一系列新技术的全面应用，缩短值机时间。不再分区，减少混淆。专用中转通道，全面优化商店区，带来更好的乘机体验。大部分座椅安装有充电器，座椅舒适度较T1有所提高。安检区设置了延长面，使安检旅客能更快地放下物品。大量夹层，交错层的设计，使得空间利用率比T1要高。设置氛围灯，营造良好的视觉效果（蜜汁配色不予置评）。具体的还要等7月回广州再来体验了~

5、航空公司运作效率的提升，这是对于所有航空公司而言的。说到白云机场就不可能绕开大地主南航，从T2设计开始，南航就作为运营者深度参与，T2的一系列设计几乎都是为南航量身定制的，专用中转通道，组合机位，国内国际快速转换机位，乃至各类型机位的数量分配和布置，均是如此。T2启用后，南航的登机口不用分散在A、B两区，国内国际中转将更加便捷，地面作业更加顺利。此外针对南航宽体机国内国际串飞的情况，6个快速转换机位使得飞机不需要清客后再拖至其他登机口。而对于其他航空公司，也会获得极大的利益，无论是跟随南航搬去T2的，还是留守T1的。长期以来，南航与白云机场深度合作令白云机场的资源优先配置于南航，而受到压缩的则是其他航空公司。举2011年东三指廊为例，原计划是国航系国内线独家使用的，而南航则占用了其中的A129机位，用于停靠A380，执飞每日两班的京广线，而国航能够使用的大机位仅剩下A128（这还是个E位），如果748要来，要么错开南航3099和3999的时间停A129，要么就只能去国际区近机位靠桥不走桥了……原本海航是独占东二指廊的，然而白云机场以国际客流激增，东一无法处理为由将东二也改造成了国际区，海航只能去西三指廊和东航一期挤着。南航一走，整个T1就被空出来了，各家航司可以各自独占一个指廊来运作，更为重要的是，登机口和机位数量充足了，意味着这些非南方系航司可以申请更多的航线了。感兴趣的话可以翻翻民航局上两周刚刚公示的2017年夏秋新航线批复，广州占了大班，而申请的航司不少是天航、海航和东航。未来，T1的西三指廊是要给南航使用的，虽然尚不清楚是立即执行还是待T2二期的两指建成后执行，推测是二期建成后执行。至于外航，宽体机机位一般是不愁的，倒是很多东南亚的小航司有了靠桥的机会。

6、一点吐槽。T2的外观设计相较于T1下降了不止一个level，最终白云机场扩建方案没有选择当年parsons留下的双航站楼+卫星厅方案，也没有选择广东省建筑院第一版的设计案，而是以实用作为第一考虑因素完成的。原本修长的指廊变得粗短，漂亮的曲线全部改成切角，航站楼屋顶弧度大幅削平以减少南向受光面积，T2是真的丑，但是本着实用至上的原则，我宁要丑点的方案，也不愿意选择T1那样漂亮但实际实用比较鸡肋的设计。T2实际上是赶工赶出来的，内部装修很多都没有完成，这也是南航推迟一个月转场的原因。已经迟到了2年，也不在乎这一个月了，毕竟有60%的客流要转移至新航站，愿各家航司转场一切顺利~内部设计，配色等等确实是emmmmmmmm骚紫色是个什么鬼？标示采用黑底天蓝色，感觉确实不如黑底黄色来得好，这些细节问题希望日后能够加以改进。

总体而言，T2的设计是否合理科学还有待实际运行后的检验。但是无论如何，T2终究能够缓解白云机场严重超负荷的窘境，但白云机场之前欠账太多，近三年维持每年8%-10%的增长问题是不大的。而T1+T2的容量仅仅是8000w，这意味着，最迟2022年，白云机场将再次超负荷，希望在那之前，东四/西四指廊能够投产，或者佛山新机场能够有效分流。白云T2的意义不在于什么国内最大单体航站楼，华南最大交通中心blablabla的，也不在于它好看或者丑，功能设计如何，对于广州来说，T2的启用本身就是其最大的意义。

推一篇白云机场T2的设计分析贴，写的很好~

[转贴]关于白云机场T2航站楼的几个图

作为广州人，赶飞机终于可以舒服一点了~

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：米夏君

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怎么样健康减肥？

大家好，我是劉畊宏。剛剛接觸知乎，看到很多朋友們在這裏分享了一些非常棒、非常有意思的東西，希望能和大家一起交流。

以我健身二三十年的經驗來說，"健康的減肥"是一個很大的概念，而且根據每個不同人的身體情況，有不同的方式，它是"因人而異"的。所以我在這裏可能沒辦法針對每一個人來提出具體的建議，但題主所說的"反彈"等一些問題，是很多人普遍存在的，所以我想先跟大家分享我的一些觀念，解答一些普遍的減肥誤區，希望能幫助到大家。

首先減肥的目的不只是為了瘦而美，而是為了健康美。

我不希望你們為了減肥去長期節食、克制自己不吃東西，甚至饑餓昏倒，也不希望你們為了減肥一天到晚去健身房和啞鈴和健身教練較勁，想想你們每天有的要上班工作、有的要學習還有生活，這樣的方式即便短期內減下了一些體重，只要不堅持下去，很有可能會長回去。最重要的是這樣會傷害你的身體，讓你身體素質下降，得不償失。當然我就更不推薦所謂的減肥藥了。

我看到很多人都有這樣的觀念："吃得多一定會胖，餓肚子一定能瘦。"但其實不是這樣的，你會看到有的人怎麽他老在吃東西就是不長肉，而有的人甚至喝水都長胖，這是為什麽？

魔鬼飲食不等于魔鬼身材。

我們的身體很聰明的，如果你長期不吃東西，或者一天吃很少的東西，它就會很負責地把你吃的炸雞腿、零食、飲料，把所有需要的能量、熱量、營養儲存起來。這樣之後一旦你哪天堅持不下去，開始恢複正常飲食甚至暴飲暴食的時候，它也會以為你不給它東西吃，然後瘋狂儲存能量。長期這樣下去，就變成大家常說的喝水都胖的易胖體質。

享受美食也不等于肥胖。

你們肯定有很多人為了減肥、健身，吃東西之前計算一塊蛋糕多少卡路裏，一瓶飲料又有多少，一看完說哇又要多跑多少公裏，算了忍住不能吃！然後看著別人不用擔心吃東西長肉，自己只能羨慕，很掃興是不是？

說實在的，享受美食是人類本能的欲望，我們何必做違反"人性"的事呢？在《情人眼裏出西施》裏有這麽一句話："人總不能靠計算卡路裏過日子！"何況世界上這麽多好吃的，為什麽要錯過它們呢？

你們看我已經給想減肥的吃貨們找好"借口"了，能吃能喝的"減肥"到底應該怎麽做呢？在我們日常生活中，就是"均衡"和"不要過量"兩個原則。

讓自己的進跟出能夠達到一個平衡，你所吃的東西的熱量跟卡路裏，你的身體是能夠代謝和吸收掉的。有效的減肥就是讓你在減肥的過程當中不但能夠減脂還能夠增肌。這樣的方式是最好的減肥方法，不僅現在可以減掉體重，未來還能夠養成一個不易發胖的體質。

抓住營養的平衡，其實是你"想吃"和"能吃"的平衡。每天從所列食物種類中，挑一兩份蛋白質、一份澱粉類，外加蔬菜、水果，就不用擔心會吃胖又不健康了。再比如我每次吃東西時，吃到七八分飽就可以了，如果吃太多，在吃飽之後兩小時後去運動，盡量別讓一些不必要的養分在身上停留。而那些想吃但容易發胖的東西，你還是可以吃，但記得不要"狂吃"，學會"淺嘗辄止"吃到就好。這樣不會産生"得不到的永遠在騷動"的心理，也不會覺得虧欠自己。

這裏也分享一些我的做法：

1、我通常會"少食多餐"，早睡早起，規律作息，這樣是為了讓身體運作正常，加快新陳代謝，就容易瘦了。

2、我每天起床會先喝300-500毫升的水，可以加一小勺蜂蜜，有潤腸的效果，幫你消化排除毒素。

3、水果含有的果糖是日常作息下就能消耗掉的，不會導致發胖，只要不在晚上或睡前吃就行，有助于美容養顔。

4、吃東西適當地少鹽、少油、少糖，不添加人工調味料，比如燒烤時多吃蔬菜、少油的肉類，火鍋底料以果樹湯代替，這樣又能享受吃，又能減少身體負擔。

我自己也不是天生的好體質，吃很多不用運動也不會胖，是因為我一直以來默默堅持的生活作息和運動方式，長期積累下來的。當你有了一個好的生活模式和飲食習慣，有了健康的體質的同時，再去適當地健身運動，培養適合自己的好的健身習慣，就能越做越輕松，也不容易出現忽胖忽瘦的"反彈"效果了。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：刘畊宏willliu

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长时间坚持健身能在一定程度上改变容貌吗？
女性体重 120 斤和 100 斤的世界是完全不同的吗？

如何看待空姐搭乘滴滴顺风车被杀害一事？此类事件应如何避免？

这几天，空姐搭乘滴滴顺风车被害事件持续发酵，一时间引爆了众多女性乘客的恐慌情绪，滴滴平台也被推上了风口浪尖。5月11日，滴滴平台宣布自5月12日零点起将顺风车业务在全国下线一周，进行整改自查。5月16日午间，滴滴公司公布了顺风车的阶段整改措施。

答主试从法律角度对此事件分析如下：

一、 滴滴顺风车业务为何物？

滴滴出行《顺风车服务协议》第一条1.5款声明，滴滴出行将自己定位为信息中介角色，为司机与乘客提供居间服务。

顺风车平台提供的并不是出租、用车、驾驶或运输服务。我们提供的仅是平台注册用户之间的信息交互及匹配服务。如果用户的合乘需求信息被其他用户接受并确认，顺风车平台即在双方之间生成顺风车订单。

滴滴出行《顺风车服务协议》第三条3.1款则是一则「免责声明」，免除了滴滴出行在信息审核不到位时所应承担的法律责任。

车主向顺风车平台提供的信息应真实、准确、完整，顺风车平台在任何时候都有权验证车主所提供的信息。由于车主提供虚假或不完整信息所导致的任何责任或损失，应由车主独立承担。

这种格式条款约定是否合法有效呢？

二、 在顺风车业务中，滴滴与乘客之间的法律关系

要回答上述问题，需要先对滴滴与乘客之间的法律关系进行分析。

《网络预约出租汽车经营服务管理暂行办法》第三十八条规定，"私人小客车合乘，也称为拼车、顺风车，按城市人民政府有关规定执行。"也就是说，顺风车业务是不受《暂行办法》规制的。而《郑州市规范私人小客车合乘出行的意见》（征求意见稿）第五条第五款规定，私人小客车合乘不属于道路运输经营行为，为合乘各方自愿的民事行为，相关权利、义务及安全责任事故等责任由合乘各方依法、依约自行承担。

可见，用「网约车」的标准来对标顺风车，对滴滴出行是不公平的，可是，滴滴在本次事件中真的如此"清白"，不需承担任何责任吗？答主认为不是的。

虽然滴滴的顺风车业务不属于网约车相关规范所调整的范畴，但是，乘客接受了滴滴平台提供的出行服务，滴滴平台也因提供服务而受益。

根据《消费者权益保护法》第二条：消费者为生活消费需要购买、使用商品或者接受服务，其权益受本法保护；本法未做规定的，受其他有关法律、法规保护。

因此，答主认为滴滴与乘客之间的法律关系应受到《消费者权益保护法》的调整。

三、 滴滴平台在本案中应承担的法律责任

根据《消费者权益保护法》第七条：消费者在购买、使用商品和接受服务时享有人身、财产安全不受损害的权利。消费者有权要求经营者提供的商品和服务，符合保障人身、财产安全的要求。
第八条：消费者享有知悉其购买、使用的商品或者接受的服务的真实情况的权利。
第十一条：消费者因购买、使用商品或者接受服务受到人身、财产损害的，享有依法获得赔偿的权利。
第十八条：经营者应当保证其提供的商品或者服务符合保障人身、财产安全的要求。对可能危及人身、财产安全的商品和服务，应当向消费者作出真实的说明和明确的警示，并说明和标明正确使用商品或者接受服务的方法以及防止危害发生的方法。
第十九条：经营者发现其提供的商品或者服务存在缺陷，有危及人身、财产安全危险的，应当立即向有关行政部门报告和告知消费者，并采取停止销售、警示、召回、无害化处理、销毁、停止生产或者服务等措施。采取召回措施的，经营者应当承担消费者因商品被召回支出的必要费用。
第二十六条：经营者不得以格式条款、通知、声明、店堂告示等方式，作出排除或者限制消费者权利、减轻或者免除经营者责任、加重消费者责任等对消费者不公平、不合理的规定，不得利用格式条款并借助技术手段强制交易。
格式条款、通知、声明、店堂告示等含有前款所列内容的，其内容无效。
第四十八条：经营者对消费者未尽到安全保障义务，造成消费者损害的，应当承担侵权责任。
第五十六条 经营者有下列情形之一，除承担相应的民事责任外，其他有关法律、法规对处罚机关和处罚方式有规定的，依照法律、法规的规定执行；法律、法规未做规定的，由工商行政管理部门或者其他有关行政部门责令改正，可以根据情节单处或者并处警告、没收违法所得、处以违法所得一倍以上十倍以下的罚款，没有违法所得的，处以五十万元以下的罚款;情节严重的，责令停业整顿、吊销营业执照：
(一) 提供的商品或者服务不符合保障人身、财产安全要求的；

因此，作为平台经营者，滴滴为履行安全保障义务，有责任对入驻司机进行充分的信息审核，并对信息真实性负责，保证乘客对真实信息的知情权。在本案中，滴滴显然没有尽到信息审核的义务，并因此导致了乘客被杀害的严重后果，滴滴应依法承担民事侵权责任并接受相应处罚。而此处也回答了我们在前文中的疑问，滴滴出行《顺风车服务协议》第三条3.1格式条款的规定因违反了《消费者权益保护法》第二十六条及《合同法》关于格式条款效力的有关规定，应为无效。

四、 应如何避免此类悲剧的再次发生

根据滴滴平台日前公布的整改措施，将全面从技术和规则方面进行调整，提升乘客出行的安全性。答主认为，这需要的是各方的共同努力：

（1）第一，从规范角度。应尽快出台关于顺风车类非网约车业务的法律规范，界定顺风车业务各方之间的法律关系以及明确各方的权利义务，一旦出现纠纷，能够有章可循。想多说几句的是，如其他答案中的截图所示，滴滴为每位顺风车车主每日提供高达15单的接单限额，从这个意义上来说，顺风车的经营行为更贴近了「道路运输经营行为」，却由于缺乏政府监管而落入了自由驰骋的民事行为范畴。在这次事件中，郑州市对于顺风车懒惰的管理风格令人失望。

（2）第二，从平台角度。悲剧发生仅几天之内，滴滴就迅速做出了反应，先是100万悬赏，后又是自查整改，紧接着又出台了一系列整改措施，看似态度诚恳。"亡羊补牢，为时未晚"，但毕竟没有人应该去做那只被牺牲的"羊"。比起亡羊补牢，平台更应做的是防患于未然，加强信息审核义务和安全保障措施，而不应心存侥幸，一味追求流量，甚至为追求流量牺牲用户安全，这样的价值取向是不对的。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：享法

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