经典网文分享

软物质的统计力学（三）

五、Fokker-Planck方程

之前的朗之万方程描述的是某个流体中悬浮着的粒子的轨迹，但一个随机过程的"导数"实在是一个麻烦重重含混不清的概念。现在我们终于可以回到一个让人舒适一点的框架中了。对于一个随机变量，它的概率密度函数已经包含了这个随机变量的全部信息。对于随机过程也是如此，只是这个分布函数是含时的了。我们记单粒子概率密度函数 $P(x;t)$ 是发现一t时刻随机变量取值在x附近的概率密度（分号是用来把概率密度的变量和参数分开。后文有时候会不严格遵守这种写法。）。或者使用条件概率，将初始条件也计入其中， $P(x;t|x_0;t_0)$ 为变量在 $t_0$ 时等于 $x_0$ 的条件下，t时刻取值在x附近的概率密度。那么只要能够计算这个概率密度函数，我们就知道了系统的一切信息。值得注意的是，我们悄悄换掉了变量x的涵义。在之前的讨论中它指某一个随机变量的具体取值，现在它指实轴上的某个位置。

我们现在依然在考虑无时滞的系统，所以将讨论依然限定在马尔可夫过程中。马尔可夫过程意味着如果考虑随机变量的一条轨迹 $(t_0,x_0),\ (t_1,x_1),\ \cdots,\ (t_n,x_n)$ ，那么联合概率密度 $P(x_n,t_n,x_{n-1},t_{n-1},\cdots,x_0,t_0)=P(x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1},\cdots,x_0,t_0)P(x_{n-1},t_{n-1}|x_{n-2},t_{n-2},\cdots,x_0,t_0)\cdots P(x_0,t_0)$

中的条件概率只与最近的时刻有关，即

$P(x_n,t_n,x_{n-1},t_{n-1},\cdots,x_0,t_0)=P(x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1})P(x_{n-1},t_{n-1}|x_{n-2},t_{n-2})\cdots P(x_0,t_0)$

即我们称为历史无关。于是对于任选的一个中间时刻 $t>t'>t_0$ ，穷尽随机变量在这时刻可能的取值，我们有Chapman-Komogorov方程

$P(x;t|x_0;t_0)=\int_\mathbb{R} P(x;t|x',t',x_0,t_0)dx'=\int_\mathbb{R} P(x;t|x';t')P(x';t'|x_0,t_0)dx'$

我们定义态转移函数 $W(x\to x')dt=P(x';t+dt|x;t)$ （如果 $x\neq x'$ ），为dt时间内变量从x附近变至x'附近的概率密度。显然dt时间后变量还留在x附近的概率密度是 $P(x;t+dt|x;t)=1-dt\int_{x\neq x'} W(x\to x')dx'$ 。套用CK方程即

$P(x;t+dt)=dt\int_{x\neq x'} W(x'\to x)P(x';t)dx'+P(x;t)\left(1-dt\int_{x\neq x'} W(x\to x')dx'\right)$

即（因为对称性，积分有没有去掉 $x=x'$ 反而不重要了）

$\frac{\partial P(x;t)}{\partial t}=\int W(x'\to x)P(x';t)dx'-\int W(x\to x')P(x;t)dx'$

这表示马尔可夫过程的概率密度随时间的增量等于这段时间内流入这一区域的概率，减去流出这一区域的概率（平时我们就是这样直接写出主方程的）。或者对于离散随机过程，

$\frac{\partial P(x;t)}{\partial t}=\sum_{x'}W(x'\to x)P(x';t)-\sum_{x'} W(x\to x')P(x;t)$

这个方程称为（正向）主方程，描述了概率密度函数随时间的变化。或者利用马尔可夫过程的时间平移对称性，类似地还有

$-\frac{\partial P(x;t|x_0;t_0)}{\partial t_0}=\int W(x_0\to x')(P(x;t|x';t_0)-P(x;t|x_0;t_0))dx'$

称为反向主方程。

重要的基本概念先介绍到这里，实际上，我们将要得到的Fokker-Planck方程，就是朗之万方程对应的马尔可夫过程的主方程。（我曾以为所有连续状态空间的主方程都是FP方程，但老板告诉我FP方程往往只指与朗之万方程对应的主方程，其他场合我们依然沿用主方程的称呼。）这里我们使用一个物理上比较直观但数学上不够严格的推导。假设一个粒子的轨迹 $x(t)$ （作为一个随机过程）满足朗之万方程（记号和以前维持一致，头上加点一般表示对时间求导）

$\dot{x}(t)=f(x,t)+\sqrt{2D(x,t)}\xi(t)$

我们考虑任意一个 $C^2$ 光滑的实函数 $g(x)$ ，我们定义它在t时刻的（系综）期望是

$\langle g(x(t)|x(0)=x_0)\rangle\equiv\int_\mathbb{R} dx'\, g(x')P(x';t|x_0;0)$

对时间求导，有

$\int_\mathbb{R} dx'\,g(x')\frac{\partial P(x';t|x_0,0)}{\partial t}=\left\langle\frac{d g(x(t)|x(0)=x_0)}{dt}\right\rangle$

这时候我们要用伊藤积分公式了，等式右边于是等于

$\left\langle\frac{d g(x(t)|x(0)=x_0)}{dt}\right\rangle=\left\langle\frac{d g}{dx}\frac{dx}{dt}+D(x,t)\frac{d^2g}{dx^2}\right\rangle=\left\langle\frac{d g}{dx}(f(x,t)+\sqrt{2D(x,t)}\xi(t))+D(x,t)\frac{d^2g}{dx^2}\right\rangle$

还记得伊藤积分的特性告诉我们 $\xi$ 和 $x$ 无关，而且因为 $\xi$ 是高斯分布，其系综平均为 $\langle\xi\rangle=0$ （你如果感觉到这里不太严格，很正常，因为 $\xi$ 本身不良定）。那么按照定义式，

$\left\langle\frac{dg}{dx}f(x,t)+D(x,t)\frac{d^2g}{dx^2}\right\rangle=\int_\mathbb{R} dx'\left(g'(x')f(x',t)+D(x',t)g''(x')\right)P(x';t|x_0;0)$

接下来对g(x)做分部积分。在以下三种通常使用的情况下边界项等于0：

周期性边界，两边界取值相等。
闭盒子，在盒子外粒子概率为0。
无穷空间，这时候概率密度可积保证了P(x,t)在无穷远处为0。

这时我们有

$\begin{align} \int_\mathbb{R} dx'\,\left(g'(x')f(x',t)+D(x',t)g''(x')\right)P(x';t|x_0;0)=&\int_\mathbb{R}dx'\, \left(-\frac{\partial f(x',t)P(x';t|x_0;0)}{\partial x'}+\frac{\partial^2D(x',t)P(x';t|x_0;0)}{\partial x'^2}\right)g(x') \\ =&\int_\mathbb{R} dx'\,g(x')\frac{\partial P(x';t|x_0,0)}{\partial t} \end{align}$

考虑到g(x)的任意性，这意味着

$\frac{\partial P(x;t|x_0,0)}{\partial t}=\frac{\partial^2D(x,t)P(x;t|x_0;0)}{\partial x^2}-\frac{\partial f(x,t)P(x;t|x_0;0)}{\partial x}$

这就是我们想要得到的对应于朗之万方程的主方程——（正向）Fokker-Planck方程。在高维情形，对于朗之万方程

$\frac{d \bm{X_t}}{dt}=\bm{f}(\bm{X}_t,t)+\bm{\sigma}(\bm{X}_t,t)\bm{\xi}(t)$

与之前完全一样的推导可以得到其FP方程是

$\frac{\partial P(\bm{x};t)}{\partial t}=\sum_{i,j,k=1}^d\nabla_i\nabla_j\frac{\sigma_{ik}\sigma_{jk}}{2}P-\sum_{i=1}^d \nabla_if_iP$

（特别（不严格）地可以取g(x)为微观的密度函数，注意x'是粒子的轨迹，x是空间坐标，

$\hat\rho(x,x',t)=\delta(x-x')$

因为 $P(x,t|x_0,0)=\langle\hat{\rho}(x-x'(t))\rangle_{x'}$ ，从这个记号可以更简单地推出FP方程。）

注意，这个FP方程是在伊藤积分的诠释下得到的。同样的一维朗之万方程按Stratonovich积分诠释，对应的FP方程应该是

$\frac{\partial P(x;t|x_0,0)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{D(x,t)}\left(\frac{\partial\sqrt{D(x,t)}P(x;t|x_0;0)}{\partial x}\right)-\frac{\partial f(x,t)P(x;t|x_0;0)}{\partial x}$

作为主方程，FP方程包含马尔可夫过程的全部信息，因此是与特定的随机过程——或者说物理——一一对应的。只有朗之万方程可以有不同的诠释。熟悉扩散方程的读者应该已经看出来了，FP方程实际上就是概率密度的扩散-漂移方程。定义扩散张量 $D_{ij}=\frac{1}{2}\sum_k\sigma_{ik}\sigma_{jk}$ ，我们可以把多维FP方程写成连续性方程的形式

$\frac{\partial P}{\partial t}=-\nabla\cdot\bm{J}$

$\bm{J}=\nabla(\bm{D}P)-\bm{f}P$

最后，与反向主方程类似地，我们也有反向Fokker-Planck方程

$-\frac{\partial P(x;t|x',t')}{\partial t'}=D(x',t')\frac{\partial^2P(x;t|x';t')}{\partial x'^2}+f(x',t')\frac{\partial P(x;t|x';t')}{\partial x'}$

其推导利用正向FP方程和马尔可夫过程的性质不难得出（此题老板上课时是留作作业的嗯）。

下面两节会稍微离题一下，做一点简明但较为深入的讨论。之后从第八节开始我们再回到引言中所说的平衡态统计的问题。

六、细致平衡条件

这里我们简单讨论一下FP方程描述的系统，其稳态的细致平衡条件。对于

$\dot{x}(t)=f(x)+\sqrt{2D(x)}\xi(t)$

细致平衡条件是说，联合概率密度 $P(x',t',x,t)=P(x,t',x',t)$ ，即在稳态的一定时间t'-t内，观察到从相空间中的一个点到另一个点的概率，等于其逆过程的概率。考虑到稳态条件，这也意味着

$P(x',t'|x,t)P_{SS}(x)=P(x,t'|x',t)P_{SS}(x')$

其中 $P_{SS}(x)$ 是稳态的概率分布。记FP方程的微分算子为

$\partial_t P(x;t)=-\hat{\mathcal{H}}(x)P(x;t)$

$\hat{\mathcal{H}}(x)=-\partial^2_xD+\partial_x f$

取t'=t+dt，非常接近于t，考虑到 $P(x';t|x;t)=\delta(x'-x)$ ，则

$(1-dt\hat{\mathcal{H}}(x))\delta(x-x')P_{SS}(x')=(1-dt\hat{\mathcal{H}}(x'))\delta(x'-x)P_{SS}(x)$

考虑到delta函数是偶函数，这意味着

$\hat{\mathcal{H}}(x)\delta(x-x')P_{SS}(x')=\hat{\mathcal{H}}(x')\delta(x-x')P_{SS}(x)$

在 $\mathbb{L}_2$ 内积 $\langle f,g\rangle=\int dx\, f(x)g(x)$ 下， $\hat{\mathcal{H}}(x)$ 的伴随算子满足 $\hat{\mathcal{H}}^\dagger(x')\delta(x-x')=\hat{\mathcal{H}}(x)\delta(x-x')$ ，容易验证

$\hat{\mathcal{H}}^\dagger(x)=-D\partial^2_x-f\partial_x$

（如果你还记得反向FP方程，这正是它对应的微分算子。）于是

$\hat{\mathcal{H}}(x)\delta(x-x')P_{SS}(x')=\hat{\mathcal{H}}(x)P_{SS}(x)\delta(x-x')$ （ $\langle P,\hat{\mathcal{H}}\delta\rangle=\langle \hat{\mathcal{H}}P,\delta\rangle$ ）

$\hat{\mathcal{H}}(x')\delta(x-x')P_{SS}(x)=P_{SS}(x)\hat{\mathcal{H}}(x')\delta(x-x')=P_{SS}(x)\hat{\mathcal{H}}^\dagger(x)\delta(x-x')$

细致平衡条件等价于

$\hat{\mathcal{H}}(x)P_{SS}(x)=P_{SS}(x)\hat{\mathcal{H}}^\dagger(x)$

如果f不含时，可积， $f=-\partial_x V$ ，而D是常数，那么容易验证 $P_{SS}\propto e^{-V/D}$ ，于是代入上式可以发现细致平衡条件是成立的。而同样的朗之万方程则具有时间反演对称性。一般情况下，细致平衡条件成立往往意味着朗之万方程具有时间反演对称性。

七、路径积分构造

这一节简单阐述一下如何将概率密度表示为路径积分的方式。首先考虑维那过程的概率密度函数。根据CK方程，

$P(x;t|x_0;t_0)=\int dx_1\,P(x;t|x_1;t_1)P(x_1;t_1|x_0;t_0)$

我们在其中取无数个分点

$P(x;t|x_0;t_0)=\int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\,P(x;t|x_n;t_n)P(x_n;t_n|x_{n-1};t_{n-1})\cdots P(x_1;t_1|x_0;t_0)$

考虑到维那过程的增量服从正态分布，即 $P(x',t'|x,t)=e^{-(x'-x)^2/2(t'-t)}/\sqrt{2\pi(t'-t)}$ ，那么上式可以写成（记 $t_{n+1}=t,\ x_{n+1}=x$ ）

$P(x;t|x_0;t_0)=\int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\,\prod_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{2\pi(t_k-t_{k-1})}}\exp\left(-\sum_{l=1}^{n+1}\frac{(x_l-x_{l-1})^2}{2(t_l-t_{l-1})}\right)$

在形式极限 $\max_k\{t_{k}-t_{k-1}\}\to0$ 下，前面的系数我们假装可以用一个归一化系数 $Z^{-1}$ 表示。而求和号内部的东西

$\sum_{l=1}^{n+1}\frac{(x_l-x_{l-1})^2}{2(t_l-t_{l-1})}=\frac{1}{2}\sum_{l=1}^{n+1}\left(\frac{x_l-x_{l-1}}{t_l-t_{l-1}}\right)^2(t_l-t_{l-1})=\frac{1}{2}\sum_l\dot{x}_l^2 \Delta t_l\sim\frac{1}{2}\int_0^t\dot{x}^2\, ds$

我们引入对路径 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\sim x(t)$ 的积分

$\int\cdots\int dx_1dx_2\cdots dx_n\sim \int Dx(t)$

于是维那过程的概率密度可以形式地写为

$P(x;t|x_0;t_0)=\frac{1}{Z}\int Dx(t)\, e^{-A[x]}$

其中积分对所有可能的路径（虽然其测度的定义还不清楚）积分，且泛函

$A[x]=\frac{1}{2}\int_0^t \dot{x}^2 ds$

对于一般的朗之万方程，因为（ $\bm{\sigma}^{-1}$ 是逆矩阵）

$\frac{d\bm{x}}{dt}=f(\bm{x},t)+\bm{\sigma}(\bm{x},t)\frac{d\bm{W}_t}{dt}$

$\frac{d\bm{W}_t}{dt}=\bm{\sigma}^{-1}(\bm{x},t)\left(\frac{d\bm{x}}{dt}-f(\bm{x},t)\right)$

代入到泛函中，我们得到（T表示转置）

$A[\bm{x}]=\frac{1}{2}\int_0^t \left(\dot{\bm{x}}^T-\bm{f}^T\right)(\bm{\sigma}^{-1})^T\bm{\sigma}^{-1}\left(\dot{\bm{x}}-\bm{f}\right)\,ds$

$P(\bm{x};t|\bm{x}_0;t_0)=\frac{1}{Z}\int D\bm{x}(t)\, e^{-A[\bm{x}]}$

我们便得到了概率幅的路径积分构造。考虑粒子走某条路径的概率

$P[x]\propto e^{-A[x]}$

我们的概率分布就有了大偏差定理的形式。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：赵永峰

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eXpansion in R6S vol.2 No.3——GROM

本文为萌新向，旨在解决萌新不知该选什么干员、怎么用那个干员的问题，主要针对低端局。所提供的仅是个人建议的使用与操作，并非完全教学。

dalao可自行跳过。

本期介绍的干员为来自波兰GROM的干员，分别是进攻方Zofia和防守方Ela。

废话不多说！Los geht's!

Zofia——涅槃双翼

国内玩家习惯叫法：佐菲亚、波兰姐
干员技能：KS 79生命线（双管榴弹器）
干员属性：2甲2速
干员武器：主武器 LMG-E轻机枪/M762突击步枪副武器RG-15手枪
干员评估：一般推荐
定位：推进位

Zofia被披露后，众人以为Ash的rush一姐地位不保。但到了最后，大家似乎只在乎Ash稳坐于rush一姐的王座，却忽略了一个强大的、稳进的波兰女豪杰。

技能——凤凰于飞

Zofia的技能共有三个，分别是一个主动技能——双管榴弹器，与被动技能——震撼弹抵抗训练与奋起。

先说一下她的主动技能。KS79生命线榴弹器是一支双管榴弹器，内有两枚冲击榴弹与四枚震撼榴弹。冲击榴弹的使用与伤害效果与防守方的冲击手榴弹一样，为触爆榴弹。而震撼榴弹的效果则是一种延迟起爆的榴弹，这也就意味着震撼榴弹发射后会在硬表面上反弹后起爆，从而能够更好地覆盖目标区域。

Zofia的冲击榴弹的使用情况和Ash的爆破弹基本一样，都是用于破坏未强化墙体、铁丝网、机动护盾、天花板活动门。使用Zofia的冲击榴弹开墙的话，由于榴弹为触爆弹，所以开墙后很可能会直接面对敌人的火力。如果站位不好的话，就会被打成筛子。最稳妥的方法是开墙时有队友掩护架枪。

而震撼榴弹会打出范围debuff，致使被击中者（敌友均会受到影响）的视野略微变绿，转动视角的速度减缓，奔跑时视野有所晃动，持续7秒。由于Zofia对震撼榴弹的负面效果时长为非GROM干员的一半，所以Zofia可以在确认没有陷阱的前提下，快速打出震撼榴弹，冒着震撼榴弹的起爆攻入点内，消灭点内固守敌人。

Zofia的第一个被动技能上面已经介绍过了，也就是震撼弹抵抗训练。那么它的用途不仅仅是利于Zofia自身主动迎击，更是利于其对抗GROM防守方Ela的雷电地雷。

而她的第二个被动技能为奋起。Zofia被击倒后能够自己爬起，生命值只有5点。对于这个被动我不过多置评。如果在远处被击倒，尽量躲到实心墙体后站起。如果迎面被击倒，那就自求多福吧。

※Zofia的技能多数情况下并不适合快速的独自强攻。但是她却十分适合以扫荡的方式，利用两种榴弹的特性逐步推进。

武器——霸道大姐

Zofia 的主武器为突击步枪M762与轻机枪LMG-E。

M762是波兰目前列装的小口径突击步枪，本名karabinek szturmowy wzór 1996 Beryl（"铍"式1996型突击卡宾型步枪）。长得非常有未来感，尤其是一体式枪托握把，十分吸人眼球。单发面板伤害45，射速730rpm略低。手感比较不错，射击时颇有节奏感。整体后坐力可海星，左右抖动还在能接受的范围内，但由于扫射时左右抖动并不规律，个人不建议远距离泼水扫射。

LMG-E机枪单发面板伤害为41，射速720rpm，有着目前全游戏最大的弹容量，使Zofia有着可怖的压制能力。尽管LMG-E的换弹时间极长，但是一整局下来，一个弹盒都未必能打空。这挺机枪可控性不错，而不久前轻机枪威力已经上调，可用之处也有所增加。补充一句，LMG-E的伤害衰减并不像其它轻机枪一样，其伤害衰减与突击步枪相同，比6P41、M249和T-95 LSW短了5米左右。这就让人感觉很诡了。通常不建议携带，尤其是换弹癌玩家。

副武器为RG-15手枪，自带的Romeo红点瞄具使其瞄准视野非常好。快速射击时非常稳，是一款很称手的手枪。单弹匣15发子弹，火力延续性很优秀。在短兵相接时，这支手枪能够有着很强大的交战能力。

装备为贴片炸药与阔剑。依据个人情况习惯，使用不同装备。

个人建议搭配方案（仅供参考，不要拘泥于给出的内容，要自己适时做出改变）：

Alpha 推进：M762（先进战斗光学瞄具+垂直握把+消焰器）+RG-15（制退器）+贴片炸药 /阔剑地雷

Bravo推进：M762（任意一倍瞄具+转角握把+补偿器）+RG-15（制退器）+贴片炸药/阔剑地雷

Ela——没时间可浪费了

国内玩家习惯叫法：艾拉、波兰小姐姐
干员技能：雷电地雷
干员属性：1甲3速
干员武器：主武器Scorpion Evo 3 A1冲锋枪 /FO-12霰弹枪副武器 RG-15手枪
干员评估：不推荐
定位：打野位/巡逻位

是不是波兰男人都去打昆塔牌了？

技能——伞兵精神

Ela的技能包括主动技能——雷电地雷，与被动技能震撼弹抵抗训练和光荣弹。

雷电地雷是一种非致命的陷阱装备。在二战期间，GROM的精神前身——二战波兰流亡政府的伞兵突击队"寂静无形者"（Cichociemni Spadochroniarze Armii Krajowej）曾使用过粘性手榴弹摧毁坦克。Ela的技能便是受到了它的启发，有着黏性粘头用于固定，对范围内触发的敌人造成范围性的震撼debuff，效果和Zofia的震撼榴弹一样。

由于雷电地雷上自带微弱的红光，它的布置策略往往是粘在门窗的上面，以防被进攻方打掉。部署在角落里甚至是杂物中都是可行的。有些时候将雷电地雷投在低处甚至会有更好的效果。

雷电地雷被触发时，在短距离内能够听到非常闷的"嘭"的一声。如果你作为Ela的队友，听到了这种声音，只有两种可能——Zofia的震撼榴弹爆了，或者Ela的雷电地雷被触发。此时请提高警惕。而Ela拿到雷电地雷被触发的奖励分后，请迅速判断是哪颗地雷被触发，并尽快知会队友。

而被动技能光荣弹则是在倒地后能够引爆额外一枚雷电地雷（不是原有那三枚）。尽可能躲在实心掩体后，等到敌人从转角过来再引爆。

※Ela的震撼弹主要还是用于打乱敌人的突进节奏，以及获取信息。获取信息后，尽快通知队友，趁着敌人的能力被削弱时，歼灭敌人。

武器——除了昆塔牌以外的东西

Ela的主武器包括冲锋枪Scorpion Evo 3 A1与霰弹枪FO-12。

Scorpion Evo 3 A1是捷克的蝎式冲锋枪的现代化改型。目前的后坐力表现非常糟糕，左右抖动非常剧烈。高达1080rpm的射速非常强势，尽管威力较低，但输出能力尚可——前提是你能打的到人。单弹匣为40发子弹，面对较高的射速显得有些疲软，整体的火力持续性有些差，不过还是可以接受的。

FO-12是一支比较强悍的半自动霰弹枪，后坐力有点大但还是很容易控制。由于弹丸聚拢程度高，打人的效果很优秀，当然，后备弹量和其输出能力是相对的，用于开墙则有些浪费。整体来讲，FO-12还是很不错的霰弹枪。

副武器RG-15在此不再赘述。

装备包括倒刺铁丝网和机动护盾。实际上几个月前我会推荐冲击手榴弹，但现在两个装备都可以（虽然个人倾向于倒刺铁丝网，配合雷电地雷）。

个人建议搭配方案：

Alpha 偷袭：Scorpion Evo 3 A1（任意一倍瞄具+垂直握把+消焰器）+RG-15（制退器）+倒刺铁丝网/机动护盾

Bravo偷袭（喷子信仰玩家专属）：FO-12（任意一倍瞄具+转角握把，选装雷射指示器与枪口配件）+RG-15（制退器）+倒刺铁丝网/机动护盾

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本期eXpansion in R6S到此结束。如果感到满意可以点个赞、关注一波。有了你们的鼓励，这个专栏将变得越来越好。

有什么问题可以问问知乎上的众多dalao，私信我这个小佬也可以。

下期会是第二年DLC干员的第四期，来自韩国的707th SMB。我们下期再见！

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：阳多肉

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