还原无腿老人登珠峰:至今后怕挂了,下撤时假肢“穿不上了”

无腿老人夏伯渝43年终攀上珠峰_腾讯视频

文/应虹霞 视频/赵航

病床前数十公分,是一把轮椅;地面上,"站"着一副镫亮亮的假肢,足部"穿"着一双精神的运动鞋。雄赳赳的模样,一如其威武的主人。


2018年5月22日,在北京某医院9楼93号病床见到了夏伯渝老人,四天前他刚刚从尼泊尔回到北京。北京时间2018年5月14日,69岁的无腿勇士夏伯渝人生第五次挑战珠峰,这次,他终于站上了43年来心心念念的地球之巅,一遂人生最大的梦想。(延伸阅读:69岁无腿老人登顶珠峰 曾身患癌症4次挑战失败


接受采访的时候,因为冻伤,夏伯渝的脸上以及右手中指和无名指上还都缠着纱布。因为下肢肿胀厉害,他曾一度担心血栓复发,但入住医院的第一天便被医生排除,老人谈笑风声,心情相当愉悦。


划重点:

  • 1 梦想43年终于达成:然而因为暴风雪突至,夏伯渝老人未能收获一张属于他的登顶纪念照。
  • 2 攀登珠峰生死一线间:通往C5营地的20米小路成为最困难的一段路程。
  • 3 冲击登顶代价大:此前四次尝试登顶珠峰,付出了失去双腿的代价,2016年离峰顶只差94米无奈放弃。
  • 4 真的结束了:夏伯渝圆梦之后表示不再登山,不是他征服了珠峰,而是珠峰眷顾并接纳了自己。


"感谢珠峰眷顾了我,接纳了我"


"感谢珠峰眷顾了我,接纳了我。"69岁的时候,夏伯渝终于站上了43年来心心念念的地球之巅。


"一大片全是顶,其实我已经上(到珠峰)了,当时我还是往前走,能前进一步是一步。"走到顶部边缘,向导帮夏伯渝把安全带挂在一个安全锁上,让他坐下,因为太危险,不坐,就随时会摔下去。


夏伯渝往下俯瞰。眼前场景令他极度震撼——


那是一个悬崖峭壁。峭壁下,便是一片片乌云,很多小山头从云里冒出来,一个一个地,煞是壮观。8848米的地球之巅,真正的"会当凌绝顶,一览众山小"。


彼此彼刻,夏伯渝想与人分享这巨大的喜悦。第一个想到的,便是留守北京的爱人。


接过伙伴递上的对讲机,接通珠峰大本营,再转接北京。于是,便有了现在风靡网上的那段1分06秒的实时通话录音。


"你上去了吗,老夏?""我上来了,上来了。""一定要平安回来!"之后,夏伯渝的声音似乎消失在吱啦作响的无线噪音中。


那一刻,其实夏老已是泣不成声,泪流满面。"43年了,我完成了任务,但愧对家人。为了我的梦想我的理想,我很少顾家,也很少顾及他们的感受。所以当时觉得很激动,哭得挺厉害。"


再然后,同行的伙伴们一涌而上,围着他照相。


夏伯渝终于珠峰圆梦


此时,暴风雪已经来了!一行人需要迅速下撤——一切发生在瞬息之间。


太过仓促。他来不及作出反应,甚至没有时间摆个POSE,来上一张属于他个人的登顶纪念照。43年了,他不止一次地遐想过,待到成功登上顶峰的那一天,自己要手指蓝天,拿着国旗挥舞。


这让他觉得美中不足,即便是此刻坐在北京的医院病床,回顾惊心动魄又激动不已的登顶一刻,夏伯渝仍在喃喃着,"很遗憾。"


两天后的5月16日,夏伯渝平安返抵大本营,惊喜地看到了儿子登登的身影。原来,这是团队的伙伴精心安排的,为的就是给夏老一个惊喜。看着儿子单薄的身体,听说他走了足有7、8天才到达珠峰大本营,夏老再次激动难抑。


20米小路生死一隙间 至今后怕"挂了"


69岁高龄,假肢——这种种意味着,夏伯渝第五次挑战珠峰之旅,一路困难重重,险象环生。


夏老承认,这是他最大的两个困难——而路途中最大的困难,是这次新增的一段不到20米的距离。其实在登峰之前,他原本已经把所有以往经历的路线都熟谙于心,但这次新增了一个C5营地。


这段让夏伯渝至今都后怕"挂了"的"未知的恐惧",坐落于主攀登路线到C5营地之间。这段不到20米的小路,又窄又斜,中间只拉着一根绳。关键是,它一会儿上,一会儿下,上下幅度很大,而夏老的假肢,弯曲幅度有限。


夏伯渝攀登珠峰路线


"像你们的腿一抬就可以抬到这儿,我只能顶多抬到这儿。它要是这么高的话,我够不着。因为我是下,所以得转过身,趴着,抓住绳,慢慢腿下去,够到那个地方,蹬实了,我才敢慢慢挪腿,太窄。上的时候也是,我也是腿抬不起来,只能爬....当时要知道这么费劲,这么危险,我就不会让设计C5,直接从C4就冲顶。"


小路的底下就是万丈深渊。夏伯渝说,当时自己根本没敢往下看。


危险还来自于天黑。从C5出发冲顶的时间,定在尼泊尔当地时间5月13日晚10点。


"上去(到C5)的时候还是白天,眼睛还看得见。上去登(顶)的时间是晚上10点,根本看不见。"出发冲顶前,伙伴们都抓紧时间躺下养心蓄锐,夏伯渝睡不着,一心想着这么黑的天,怎么才能第二次通过这段危险的小路。"即便是掉下去,也只有咬牙走。短短不到20米,我用了半个多小时。就跟打仗一样。"


再往上,困难依旧如影随形:狭窄的山脊,一面是万丈深渊,无数个冰裂缝;一面是大冰坡,一望无际的冰壁。没有健全的脚,夏伯渝必须调动两个登山杖,来感知雪的松紧程度,确认能不能挪动脚步。"我先用杖戮雪,看是不是实的,别往前一使劲就直接栽下去了,然后再迈步。健全人可以走直线,我不行,就跟爬差不多。"


最后的冲顶之路尽管困难,但夏伯渝心中有数,"心里有准备,就好说。"


腿部肿胀假肢"穿不上" 险些脱落在冰裂缝里


然而,攀登珠穆朗玛这样的世界第一高峰,意外随时随地就会来临。


第五次攀登珠峰的夏老,他的登山镜第一次出现了结冰。"以前都是雾。蹭一蹭就好,但这一次,必须摘掉手套,用手把冰一点点地抠掉。就几秒钟的功夫,手指就冻伤了。"


5月14日上午10时40分,夏伯渝成功登顶珠峰。随后,迅速下撤。此时,因为持续高强度的运动,他的腿部严重肿胀——假肢"穿不上了"


"本来假肢应该穿得很实,不会动,有螺丝卡着。但是穿不进去以后,它就悬着,跟活塞似地动。所以有两次,我的腿就踩到冰裂缝里,人掉了下去。"


让夏伯渝后怕的是,当时要是猛起脚的话——很有可能假肢就在冰裂缝里脱落,然后就"没了"。理智告诉他,没有假肢,在如此高的海拔,自己根本就下不来,也没有人能帮助自己下来。


他没敢动。怕腿在冰裂缝里,一动假肢就会脱落。他请向导过来,用工具设法把冰裂缝稍微扩大些,然后,再请向导抓住他的腿,小心翼翼地连腿带假肢拔出来——两次都是如此。


对于腿肿,夏老其实是有预案的。他携带了弹力绷带,肿的时候就把弹力绷带缠上,缩小肿胀程度。


功勋"战靴"


但在下到7900米高度的时候,因为腿肿疼得无法忍受,夏老无奈只有松开弹力绷带,完全是靠着意志,一瘸一拐地往下走。踩着踩着,时间长了,残腿又进了假肢;进去后又胀疼,如此反复。


距离C2营地已然不远,看得到营地灯光在闪烁。但夏伯渝当时觉得,"自己真的是一步也走不动了。"


"向导说还有最后10分钟的路,实际我走了2到3小时。根本就走不动,一步一步往前挪。实在是走不到,把我走坏了......但还是坚持到了最后。"北京时间2018年5月15日晚11时,夏伯渝终于平安抵达C2营地。这,也意味着他真正意义上完成了成功攀登珠峰的壮举。


曾经,8848对他只是一串数字


"现在回想起来会觉得心疼,当时没有时间让你去想,我把睡袋给了别人我会冻死会怎么样。如果我有时间去想,可能我就会犹豫了。"


病床上的夏伯渝坚持不肯去坐轮椅,努力将身板挺得笔直。被截掉三分之一的双下肢看上去触目惊心,叫人心疼。


曾经,珠峰对夏伯渝而言,只是一个地理位置;8848对他只是一串数字,并无特殊的意义。


时钟拨回到1975年,国家登山队来到夏伯渝的运动队招聘队员。在那之前,夏伯渝是一名足球运动员。拿他的话来说,对登山,"没有一点概念"。


冲着能免费全面检查一次身体的朴素想法,夏伯渝报了名。因为过硬的身体素质,阴差阳错地,他成了百里挑一的幸运儿。"好像有一种虚荣心吧,到国家队,感觉比较光荣。所以就这样,我来到了登山队。"


1975年,夏伯渝所在的登山队领受了攀登珠峰的任务。"跟现在的商业登山不一样,那时确实是政治任务。原来要跟苏联联合登山,后来苏联撤了,总理亲自下令,就算是我们自己,也要登。"


夏伯渝苦练登山


1975年5月,登山队冲击珠峰,在距离峰顶200米下撤。途中,夏伯渝因为把睡袋让给了队友,冻伤了双脚,双下肢三分之一以下截肢。


"当时看见他的样子不太忍心,再想到我是(公认的)火神爷嘛,我不会冻伤,就把睡袋给了他。"那个晚上,因为连续多天的高强度攀登,没用睡袋的夏伯渝在疲倦中很快入睡,"没有感觉到冻伤的全过程,比如冻得疼,冻得发麻,直到失去知觉。"


夏伯渝至今清晰记得,直到第二天早晨,他还自己背着背包,从7600米高的营地走下了山,"没感觉到哪儿有不舒服的地方。"


那一年,他才26岁。


没有了脚,踢不了足球,人生梦想何在?一名外国假肢专家的一番话,让夏伯渝醍醐灌顶:安上假肢后,你不但可以像正常人一样的生活;你还可以再登山。既然可以再登山,那就再登珠峰吧!


何况,通过1975年这次登山,夏伯渝确认,自己的适应性和耐寒能力都很适应登山;登山过程的冒险和挑战也吻合自己年轻的心态,雪山上的美景,珠峰上飘着的旗云,也无不吸引着他——长达43年的珠峰情结,就此深埋心中。


人生中最艰难的决定——距离峰顶咫尺之遥放弃冲顶


"我穿假肢的过程,就是中国假肢发展的整个历程。"夏伯渝笑称。


在心中种下登珠峰的"草"后,夏伯渝的想法数十年来从未中断。并不成熟的假肢技术,成为横亘在现实与理想间的最大鸿沟。


直到2013年,中国的假肢技术达到了能够攀登珠峰的程度。同一年,夏伯渝跃跃一试去攀登珠峰,但因为摔伤,与第一次的机会擦肩而过。


事实上,在那之前的2008年4月,夏伯渝有过一次当奥运火炬手的经历。


"主要是两个目的。第一是体验穿假肢登山的感觉。其二是检测下我体能的适应性,因为毕竟几十年没有登过高山。"


循序渐进地,当年10月,夏伯渝第一次穿上假肢登雪山,攀登了海拔6178多米的青海玉珠峰。 2012年,又去攀登了海拔7546米的慕士塔格峰。这让他对自己的体能更加胸有成竹,而他也相应地改进了自己的假肢,以更适应登珠峰。


2014年,65岁的夏伯渝再次来到珠峰大本营,准备突击顶峰。不料,这一年尼泊尔遭遇珠峰登山史上最大的一次伤亡。因为雪崩,16名夏尔巴向导在珠峰遇难,尼泊尔政府取消了当年所有攀登珠峰的活动,没有人例外。


夏伯渝老人登顶珠峰后脸部被冻伤,在医院接受治疗


2015年,夏伯渝再次到达了珠峰大本营。没想到,这一次遭遇到了尼泊尔百年不遇的大地震。巨大的雪崩袭击了珠峰大本营,夏伯渝幸免于难。


"差一点就丧生在雪崩中。只要我活着,我就想,我一定要再登珠峰。"


2016年,再次来到珠峰的夏伯渝,经历了一次人生最难的决定——在上到海拔8750米,距离珠峰峰顶仅94米之际遭遇暴风雪,他决定下撤。


"就差94米。所有人到了这个高度,就会不顾一切地冲上顶峰。不管他能不能下得来。"事实上,当时夏伯渝也不是没有同样的想法:自己67岁了,又没有脚,且获悉尼泊尔政府出台了不准残疾人登珠峰的禁令。这,可能是自己最后一次冲击珠峰峰顶的机会了。


然而,当他回望到身后两名夏尔巴年轻向导求助的眼神时,他动摇了。


"他们都是以登山为职业的年轻人。我想,我不能为了自己的梦想而罔顾他人生命,那一瞬间,我做出了这一生最难作出的决定——下撤。"


此时,气温是零下20到30度。暴风雪一来,寒冷就会被成倍地放大。理智告诉他,不能有任何一丝的犹豫。"因为在那个高度,你要犹豫的时间太长,在不动的情况下很快就会冻伤。要么上,要么就下。"


走在回营地的路上,夏伯渝茫然若失,感觉怎么走也走不到。距离峰顶咫尺之遥放弃冲顶,"一直支撑自己的支柱没有了,就像大旗倒了一样。"


下撤回来后,夏伯渝才获悉,就他登顶的前后数天里,有6名登山者死于同一高度。


他庆幸自己作出下撤决定是正确的。"有点遗憾也不一定是坏事。如果没有当年的遗憾,我就没有今天。"


凌晨4点负重10公斤沙袋深蹲1500个


2018年,69岁的夏伯渝人生第五次站到了珠峰脚下。


之前四次与珠峰峰顶近在咫尺,虽然因种种遗憾无功而归,但夏伯渝从不认为自己是失败者。


在他看来,没登上去不在于自身,2016年的攀登经历反而检测了自己体能等各方面指标,也让他对之前的训练和努力有了自信。他坚信,只要天气良好,有朝一日一定可以登上珠峰。


关于禁止残障人士攀登珠峰的所谓禁令,也在悄然松动中——有人告诉夏伯渝,尽管尼泊尔出台了相关禁令,但是最终并未严格执行,而变成了"正在酝酿"。


这让夏伯渝的心又活泛起来。我,一定要赶上珠峰末班车!


不曾想,2017年,因为2016年从珠峰回来后得了血栓,医生严禁夏伯渝登山——登山运动量太大,如果再登山的话,血栓容易复发。尽管觉得医生的话不能全信但也不能不信,夏伯渝还是做好了准备再登珠峰的准备。


为了锻炼,不能登山,那就走戈壁,走沙漠,甚至去攀岩。一切都正常进行,不打无准备之仗。


不仅如此。


珠峰终于圆梦


年龄,本来是夏老的一大短板。毋庸置疑,随着年纪一年年增长,人的体能和心肺功能都会下降。这是自然规律。


但夏老凭借顽强的毅力,愣是把劣势逆袭为自己的"优势"。"正因为我年纪每一年都在增大,所以我觉得我的体能训练,无论训练量和强度,比起年轻时候只能增,不能减。"


在准备第五次冲击珠峰的日子里,夏伯渝的每一天是这样渡过的。


每天早晨4点钟起床开始力量训练。内容是负重10公斤沙袋,练习深度下蹲,150个一组,练习10组;之后是仰卧起坐,30个一组,练习6组;再然后是俯卧撑,60个一组,练习6组。再配合背飞、练握力器等等力量的训练。


力量训练持续1个半到2个小时后,去登香山。夏伯渝的家距离香山20公里,他就选择骑自行车去。


"刚开始隔天登香山一次。后来,当我决定第五次攀登珠峰的时候,我就加大运动量,每天都练完体能后去登香山去。这样我才能够保持住体能,有足够的力量去登珠峰。"


自强者,天必助之。就在夏伯渝为再次攀登珠峰积蓄力量的同时,有国际人权组织帮助残障人士同尼泊尔政府对薄公堂,赢得了胜利。就这样,夏伯渝也得以有机会,在2018年之际返回心心念念的珠峰。


"生命是最重要的,不会盲目为理想去冒险"


"总算结束了!"


2018年5月16日,夏伯渝与迎接他的儿子一起,登上了飞往加德满都的直升机。回望皑皑白雪,挥别见证了自己生涯梦想的圣峰,老人百感交集。


他清楚,家人们知道他这一生受了很多苦,遭受了很多挫折打击,唯独就这一个心愿。他们不想让自己这一生留有遗憾,所以用种种方式支持自己。


他更深谙,家人们支持自己登山,并不是为了让他去登珠峰,而更看重的是他为了登珠峰努力锻炼的过程——登山的心愿,是他战胜病痛的精神支柱。


于是每一次登珠峰,家人们并不阻拦他,而他每一次也都说是最后一次。而因为大自然的捉弄,每一次又都不是最后一次。而在他的内心,他把每一次都当作最后一次,全力以赴,背水一战。这对自己也是一种激励和鞭策。


儿子背着夏伯渝下飞机


"不管怎么说,今年完成了梦想,家人也放心了。我也不会再去登山。真的结束了。"


回顾这次的成功登顶,他认为,这归功于梦想的力量和永不放弃的决心。


他从来没有遇到过什么人,笑话他的梦想。2016年,他在罗泊切山下碰见一名同样截去了小腿的美国大兵,一蹦一蹦地迎向他,鼓励他;2017年,他在前往珠峰大本营的路上遇上一个约旦朋友,后者同样戴着假肢,对他赞赏之余,笑称明年也要登珠峰。


他也从不考虑年龄。"我觉得年龄并不重要,重要的是心态。"他也觉得截肢,甚至因为血栓而得了淋巴癌都"没有什么","不管遇见挫折打击,我都要勇往直前在所不辞。"


即便自己成功登上了珠峰,他也不认为这是征服了珠峰——恰恰相反,是珠峰眷顾并接纳了自己。


"珠峰永远在那里,没人能征服它。一个人不管再强壮不可能征服大自然。在大自然面前,人太渺小。40多年了,珠峰终于对你敞开大门,说明珠峰对你的眷顾,对你勇敢的认可。这也是坚持的力量。"


对于理想与生命哪个更重要,夏老毫不含糊地选择了后者。


"当然生命是最重要的,我不会盲目地为理想而去冒险。我会在注意安全的前提下去实现我的理想。"


在成功登顶之后,夏伯渝也不止一次接到粉丝的电话,希望能跟他一起去登山,甚至登珠峰。


"能想到去登珠峰是有勇气的,是好事。但千万别盲目,一定要循序渐进。毕竟我以前是登山运动员,受过正规的训练,而且几十年来一直在努力锻炼,从没间断过。不然,你就是拿自己的生命开玩笑。"


凯旋回到北京的夏伯渝,还没有想好自己接下来做些什么。因为长年疲劳,他现在只想先静静地休整一段时间。在接受这次采访之前,除了家中至亲,夏老没有敢惊扰朋友们,但还是收到了众多的鲜花,还有朋友们的种种祝福,通过明信片、微信......


唯有一点是明确的。尽管这次完成了登山愿望,但夏老说,今后他还是会考虑从事一些有挑战性的运动项目——挑战,已然融入了他的生命。



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:腾讯体育

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4个动作矫正含胸驼背丨穿衣更有型还能长高

Hello各位好,我是六六。


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来源:知乎 www.zhihu.com
作者:六六

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实习律师应该注意些什么?

找一个愿意好好教你的师父就够了。


想起自己的刚去行的时候,除了热情什么都没有,当时通过长辈介绍给我师傅当徒弟,那是2005年,还没通过司法考试。第一次见师傅,心里还是很忐忑的,师傅问我怎么想的,我说想当律师(其实我想当法官,但一直没考上公务员)。


就这样,我边复习司法考试边学习律师业务,那时候工作很少,因为毕竟没有资格,法律知识还现学现卖,所以偶尔写个诉状就顶天了,钉卷归档是我主要的工作。但值得一提的是,我的控告材料写的被多次表扬,可能跟我大学时总写材料有关。


比较顺利,2006年通过司法考试,2007年成为一名实习律师。有两个事让我至今难忘。


第一次陪师傅开庭(是坐在法庭上而不是听庭),在省法院,没错,第一次出庭就是省法院,二审案件。我当时非常忐忑的拿出档案袋准备开庭,但一看傻眼了,卷拿错了,冷汗当时就下来了。我的第一反应是马上回单位取,我刚要站起来,我师傅一下拉住我,问怎么了,我说完就慌了,根本不知道怎么办。此时,已经宣布开庭了,我师傅倒没漏什么声色,想了想,然后跟审判长说,我们的上诉状忘记带了,能不能借一份看看。这也可以?还真可以。我师傅就拿着这个上诉状把整个庭在没有文字材料的情况下开完了,佩服佩服,我在一旁一句话没敢说。最后,我们胜诉了。


第二件事是我第一次独立出庭,对,实习律师是不能独立出庭的,所以当时我没提交我的证件,挂着我师傅的名字(是我师傅的案件)。一个很简单的债务纠纷(我自己是这么认为的),审判长问对方,能不能调解啊,对方说我们现在没钱,三个月以后给,审判长问我可不可以?我想调解不能上诉,三个月也不长,就马上同意了。调解书马上做出来,我拿到后马上给师傅报捷,我还得瑟呢,我师傅给我一顿臭骂,原来这个债务人有一笔到期债权,如果不调解,判决后可以马上执行到位,而且这个债务人不调解也不会上诉。咋办?我冷汗再次下来了,万一这三个月出现啥问题呢?我问审判长,能不能撤销调解,不出意料,人家不同意。我突然想起,我是一般授权,不是特别授权,我就立刻质疑调解的合法性,审判长一看,然后用特别狠的眼神看着我,给对方打电话叫回来,重新开庭,好在有惊无险。


想想实习期间的经历还是蛮值得回味的,经常为了研究一个案件与其它小伙伴争得面红耳赤;为了赶一篇辩护词加班到凌晨,直接在单位的沙发上过夜。


总结一下吧,我觉得实习律师应该注意以下问题:

1,有一个好态度,只有好态度才能赢得师傅的信任。

2,听话,师傅让做什么就做什么,没让做的别自作主张,有想法要及时请示,我受过教训。

3,认真细致,法律观点可以不成熟,但没有错别字总能做到吧。

4,别怕被骂。只有对你有期望的师傅才骂你,这对你有好处。

至于学习,这是律师一辈子的任务,就不多说了。



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:辛明Bruce

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软物质的统计力学(四)

目录

软物质的统计力学(一)

一、引言

二、一个可解模型

软物质的统计力学(二)

三、朗之万方程

四、伊藤积分

软物质的统计力学(三)

五、Fokker-Planck方程

六、细致平衡条件

七、路径积分构造

软物质的统计力学(四)

八、回到平衡态统计

九、平均场近似

(暂定计划:

软物质的统计力学(五)

十、自由能密度

十一、相变与相平衡条件

十二、化学反应系统)

八、回到平衡态统计

有了概率密度,有了主方程,现在我们终于可以开始回答引言中提到的问题了——液体中悬浮的粒子这种通常用朗之万方程描述的系统还能不能使用正则系综?为此我们回想第二节中我们写下的在外场中、无相互作用的粒子的朗之万方程

\begin{align} \frac{d\bm{q}}{dt}=&\frac{\bm{p}}{M}\\ \frac{d\bm{p}}{dt}=&-\nabla V(\bm{q})-\frac{\mu}{M}\bm{p}+\sqrt{2\mu k_BT}\bm{\xi}(t) \end{align}

根据第五节给出的结果,我们现在可以轻易地写出它的概率密度 P(\bm{q},\bm{p};t) 满足的FP方程

\partial_tP(\bm{q},\bm{p};t)=-\frac{1}{M}\nabla_\bm{q}\cdot(\bm{p}P)+\nabla_\bm{p}\cdot\left(\frac{\mu}{M}\bm{p}P+\nabla_\bm{q}V(\bm{q})P\right)+\nabla^2_\bm{p}(\mu k_BTP)

要验证它是否满足正则系综其实很简单。考虑这个系统的稳态, \partial_tP=0 ,我们将正则系综 P=Z^{-1}e^{-H(\bm{q},\bm{p})/k_BT} 代入验证一下是不是方程的解就可以了。其中哈密顿量H就是正常的哈密顿量

H(\bm{q},\bm{p})=\frac{p^2}{2M}+V(\bm{q})

考虑到Z只是一个常数,我们不用管它,于是

-\frac{1}{M}\nabla_\bm{q}\cdot(\bm{p}P)=-\frac{\bm{p}}{M}\cdot\nabla_\bm{q}P=\frac{\bm{p}\cdot\nabla_\bm{q}H}{ZMk_BT}e^{-H/k_BT}=\frac{\bm{p}\cdot\nabla_\bm{q}V}{ZMk_BT}e^{-H/k_BT}

\nabla_\bm{p}\cdot\frac{\mu}{M}\bm{p}P=\frac{d\mu}{M}P+\frac{\mu\bm{p}}{M}\cdot\nabla_\bm{p}P=\frac{d\mu}{ZM}e^{-H/k_BT}-\frac{\mu p^2}{ZM^2k_BT}e^{-H/k_BT}

\nabla_\bm{p}\cdot(\nabla_\bm{q}V(\bm{q})P)=-\frac{\bm{p}\cdot\nabla_\bm{q}V}{ZMk_BT}e^{-H/k_BT}

\nabla^2_\bm{p}(\mu k_BTP)=-\mu k_BT\nabla_\bm{p}\cdot(\frac{\bm{p}}{ZMk_B T}e^{-H/k_BT})=-\frac{d\mu}{ZM}e^{-H/k_BT}+\frac{\mu p^2}{ZM^2k_BT}e^{-H/k_BT}

把它们全部加起来,你可以看到每一项都被精确地抵消。也就是说,P=Z^{-1}e^{-H(\bm{q},\bm{p})/k_BT} 的确就是系统的稳态解,而且这个稳态解不与阻尼系数 \mu 有关——也就是说在一个过阻尼系统中这个结论依然成立,只是这种情况下动量的部分就直接被积分掉了。这符合我们对阻尼系数的概念——它是一个过程参量,不应该参与影响稳态(当然,更普遍的情况下这个结论不成立)。

那么,既然概率分布函数依然保持了正则系综的形式,那么基于概率分布函数定义的一切物理量——熵、自由能等等,以及基于这些函数的所有分析,都回到了仿佛没有流体的平衡态统计之中,尽管我们的运动方程因为阻尼项和噪声项的存在,并不是一个经典的哈密顿系统!之所以可以回到平衡态,大概就是因为涨落耗散定理使得系统的涨落和耗散有紧密的联系,使得它们对概率密度的贡献恰好抵消。于是我们看到,在没有相互作用的情况下,朗之万方程描述的粒子的统计依然是满足正则系综的。下一节我们则要考虑多粒子相互作用的情况。

九、平均场近似

现在我们考虑相互作用的N个全同粒子,第i个粒子的朗之万方程为

\begin{align} \frac{d\bm{q}_i}{dt}=&\frac{\bm{p}_i}{m}\\ \frac{d\bm{p}_i}{dt}=&-\nabla V_{\mathrm{ext}}(\bm{q}_i)-\sum_{j\neq i}\nabla_{\bm{q}_i} V(\bm{q}_i-\bm{q}_j)-\frac{\mu}{m}\bm{p}_i+\sqrt{2\mu k_BT}\bm{\xi}_i(t) \end{align}

其中 V_{\mathrm{ext}} 是外场的势, V 是相互作用势。我们当然可以写出N粒子概率密度函数 P(\{\bm{q}_i,\bm{p}_i\};t)满足的FP方程,但考虑到d维空间中P有2dN+1个变量,不用写出来也知道这个方程会非常长,而且因为相互作用造成的耦合,它不能表示为单粒子概率密度的积,我们很难处理这个大方程。我们转而考虑粒子的微观密度

\hat{\rho}(\bm{q},\bm{p};t)=\sum_{i=1}^N\delta(\bm{q}-\bm{q_i}(t))\delta(\bm{p}-\bm{p_i}(t))

而实验中可以观测到的,是这个函数的系综平均,我们称为(宏观)密度(注意,第二行积分中的变量全是相空间中的坐标,不再表示粒子的轨迹)

\begin{align} \rho(\bm{q},\bm{p};t)=&\left\langle\sum_{i=1}^N\delta(\bm{q}-\bm{q_i}(t))\delta(\bm{p}-\bm{p_i}(t))\right\rangle \\ =&\int\cdots\int d\bm{q}_1\cdots d\bm{q}_Nd\bm{p}_1\cdots d\bm{p}_N P(\{\bm{q}_i,\bm{p}_i\};t)\sum_{i=1}^N\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i}) \\ =&\sum_{i=1}^N\int\cdots\int d\bm{q}_1\cdots d\bm{q}_{i-1}d\bm{q}_{i+1}\cdots d\bm{q}_Nd\bm{p}_1\cdots d\bm{p}_{i-1}d\bm{p}_{i+1}\cdots d\bm{p}_N P(\{\bm{q}_j,\bm{p}_j|\bm{q}_i=\bm{q},\bm{p}_i=\bm{p}\};t) \end{align}

这个函数展开后看起来非常吓人,不过我们不用算它。我们可以利用伊藤积分计算密度随时间的演化。首先有(等式第二项利用了 \partial\delta(\bm{q}-\bm{q}_j)/\partial\bm{q}_i=0 如果 i\neq j\begin{align} \frac{d\hat{\rho}}{dt}=&\sum_i\left(\frac{\partial\hat\rho}{\partial\bm{q}_i}\cdot\dot{\bm{q}}_i+\frac{\partial\hat\rho}{\partial\bm{p}_i}\cdot\dot{\bm{p}}_i\right)+\mu k_BT\sum_{i,j}\frac{\partial^2\hat{\rho}}{\partial\bm{p}_i\partial\bm{p}_j} \\ =&\sum_i\left(\frac{\partial\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{q}_i}\cdot\dot{\bm{q}}_i+\frac{\partial\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{p}_i}\cdot\dot{\bm{p}}_i+\mu k_BT\frac{\partial^2\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{p}_i^2}\right) \\ =&-\sum_i\left(\frac{\partial\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{q}}\cdot\dot{\bm{q}}_i+\frac{\partial\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{p}}\cdot\dot{\bm{p}}_i+\mu k_BT\frac{\partial^2\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{p}^2}\right) \end{align}

代入朗之万方程,我们得到 \begin{align} \frac{d\hat{\rho}}{dt}=&-\sum_i\left(\frac{\partial\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{q}}\cdot\frac{\bm{p}_i}{m}\right. \\ &\left.+\frac{\partial\delta(\bm{q}-\bm{q_i})\delta(\bm{p}-\bm{p_i})}{\partial\bm{p}}\cdot\left(-\nabla V_{\mathrm{ext}}(\bm{q}_i)-\sum_{j\neq i}\nabla_{\bm{q}_i} V(\bm{q}_i-\bm{q}_j)-\frac{\mu}{m}\bm{p}_i+\sqrt{2\mu k_BT}\bm{\xi}_i(t)\right)\right)+\mu k_BT\frac{\partial^2\hat{\rho}}{\partial\bm{p}^2} \end{align}

然后我们对方程做系综平均(实际上就是前面那个2dN重积分)。注意到\int \delta(x-x')f(x')\,dx'=\int \delta(x-x')f(x)\,dx'\int f(x')\partial_x\delta(x-x')\,dx'=\int \partial_x(\delta(x-x')f(x))\,dx',系综平均中的积分中不含 \bm{p}\bm{q} ,以及伊藤积分保证了噪声项的平均是0,再利用

\sum_{j|j\neq i}\nabla_{\bm{q}_i}V(\bm{q}_i-\bm{q}_j)=\int d\bm{q}'\, \nabla_{\bm{q}_i}V(\bm{q}_i-\bm{q}')\sum_{j|j\neq i}\delta(\bm{q}'-\bm{q}_j)

我们得到

\begin{align} \frac{d\rho}{dt}=&-\frac{\partial}{\partial\bm{q}}\cdot\frac{\rho\bm{p}}{m}-\frac{\partial}{\partial\bm{p}}\cdot\left(-\nabla V_{\mathrm{ext}}(\bm{q})\rho-\frac{\mu}{m}\bm{p}\rho\right. \\ &\left.-\int d\bm{q}'d\bm{p}'\,\nabla_{\bm{q}} V(\bm{q}-\bm{q}')\left\langle\sum_{i,j|i\neq j}\delta(\bm{q}-\bm{q}_i)\delta(\bm{p}-\bm{p}_i)\delta(\bm{q}'-\bm{q}_j)\delta(\bm{p}'-\bm{p}_j))\right\rangle\right)+\mu k_BT\frac{\partial^2\rho}{\partial\bm{p}^2} \\ =&-\frac{\partial}{\partial\bm{q}}\cdot\frac{\rho\bm{p}}{m}+\frac{\partial}{\partial\bm{p}}\cdot\left(\nabla V_{\mathrm{ext}}(\bm{q})\rho+\int d\bm{q}'d\bm{p}'\,\nabla_{\bm{q}} V(\bm{q}-\bm{q}')\rho^{(2)}(\bm{q},\bm{p},\bm{q'},\bm{p'};t)+\frac{\mu}{m}\bm{p}\rho\right)+\mu k_BT\frac{\partial^2\rho}{\partial\bm{p}^2} \end{align}

这里我们引入了两点粒子密度

\rho^{(2)}(\bm{q},\bm{p},\bm{q'},\bm{p'};t)=\left\langle\sum_{i,j|i\neq j}\delta(\bm{q}-\bm{q}_i)\delta(\bm{p}-\bm{p}_i)\delta(\bm{q}'-\bm{q}_j)\delta(\bm{p}'-\bm{p}_j))\right\rangle

为在相空间内两个点看到的粒子密度。虽然这个方程看起来比原来简单了一点,但因为我们不知道两点粒子密度的演化是什么,所以它并不是一个封闭的方程。诚然我们可以继续利用主方程将两点粒子密度的时间演化写下来,它肯定会与三点粒子密度相关。然后我们一步步走下去,会得到无穷多个微分方程——然后没有办法解了。所以,我们又到了要做近似的时候了。这个近似就是平均场近似

\rho^{(2)}(\bm{q},\bm{p},\bm{q}',\bm{p}';t)=\rho(\bm{q},\bm{p};t)\rho(\bm{q}',\bm{p}';t)

即假设相空间上两点的概率密度不相关。于是我们终于得到了一个闭合的方程来描述粒子的密度

\frac{d\rho}{dt}=-\frac{\partial}{\partial\bm{q}}\cdot\frac{\rho\bm{p}}{m}+\frac{\partial}{\partial\bm{p}}\cdot\left(\nabla V_{\mathrm{ext}}(\bm{q})+\int d\bm{q}'d\bm{p}'\,\nabla_{\bm{q}} V(\bm{q}-\bm{q}')\rho(\bm{q'},\bm{p'};t)+\frac{\mu}{m}\bm{p}\right)\rho+\mu k_BT\frac{\partial^2\rho}{\partial\bm{p}^2}\

当然,这个方程既不是线性的,也不是局域的。但是,我们又可以猜方程的稳态解或许满足正则系综。现在我们取哈密顿量

H(\bm{q},\bm{p})=\frac{p^2}{2m}+V_{\mathrm{ext}}(\bm{q})+\int d\bm{q}'d\bm{p}'\,V(\bm{q}-\bm{q'})\rho(\bm{q}',\bm{p'})

然后我们猜\rho(\bm{q},\bm{p})=Z^{-1}e^{-H(\bm{q},\bm{p})/k_BT} 是系统的稳态解(当然,现在正则系综只给出了 \rho 满足的一个积分方程)。接下来的计算和上一节完全一样,只是更长一点,我们很容易验证正则分布给出的的确就是方程的稳态解。于是,我们又回到了和上节一样的结论,在平均场近似下,有相互作用朗之万方程粒子系统也可以用平衡态正则系综来处理,且液体阻尼不影响平衡态结果。

前面的近似做得太快,以至于我们现在需要仔细思考一下刚才发生了什么事情。这个数学上没有道理的近似,在物理上对应着什么样的考虑?首先相空间内的粒子密度要足够高,而且势函数足够平缓,以至于我们去掉 i\neq j 的限制——即加上了一个粒子对自己的"相互作用"——而引入的误差小到可以被忽略。其次,相空间上两点的密度不相关,意味着这两点之间几乎没有相互作用或关联。换句话说,空间两点之间的距离远大于系统的特征关联尺度 \eta (粗略地说, \langle\rho(x)\rho(x+l)\rangle\sim e^{-l/\eta} )。这个条件在两种情况下被破坏:长程相互作用和相变临界点。如果我们选取的描述系统的尺度不合适,使得相互作用距离相对于空间尺度太大,那么显然平均场假设不能随意使用。而在相变临界点,众所周知的是,尽管相互作用是短程的,系统内的关联长度却是发散的,这时候空间任意两点的概率辐都是相关的,平均场近似也就失效了。事实也确实表明,平均场理论对于临界现象是不起作用的。而在两种情况下还能否回到平衡态正则系综,也是尚不清楚的。

在平均场近似之后,我们复杂的相互作用势变成了一个类似外场一样的东西

V_{\mathrm{MF}}(\bm{q})=\int d\bm{q}'d\bm{p}'\,V(\bm{q}-\bm{q'})\rho(\bm{q}',\bm{p'})

粒子感受到的平均场,是周围粒子在平均的意义下给自己的贡献之和。在抹平了周围粒子的贡献之后,多粒子系统的密度演化方程重新变得好像是单粒子一样了。而这种用更大的尺度来平滑点粒子场,进而用平滑的函数来描述粒子系统的方式,我们称为粗粒化

接下来我们就可以像平时一样,用热力学来研究粒子系统,并计算相变发生时的相平衡条件。然而遗憾的是,通常用作描述分子间相互作用的Lennard-Jones势,性质并没有好到可以让我们直接使用前述的平均场近似,因为加入粒子与自己的相互作用必然得到发散的结果。这意味着我们可能需要更复杂的技巧来处理这类问题,而之后相关的问题也将缺少解析解。而究竟如何处理以LJ势相互作用的粒子,这是我现在还不清楚的。



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:赵永峰

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