经典网文分享

实分析Ⅱ|笔记整理（7）——勒贝格积分后续应用

同学们好！

首先可能还是要很抱歉的和大家说一句。因为这一个学期的学期安排的压力实在过大（我真不是吹，只要有一天休息，就要多赶三四天的作业）。所以如果时间不允许，原书对应第五章的笔记可能不会出现在这里。（我也不怕丢人了，我的数值分析，复变，数分什么的都还是零起步，如果不复习我可能要挂）这真的是我的无奈之举，因为这个学期的课程压力超越了我能够承受的极限（这学期的11门课没有任何一门是简单的，而且实变和拓扑学过的都知道，是很困难的两门课，意味着不敢通过突击的方式解决），意味着有很多需要按照正轨来走的步骤需要"抄近道"，需要采取突击的方式来解决。

废话不多说了，我们继续赶第四章的笔记。

提供之前的笔记：

我们开始本节的内容，本书所对应原书内容为P163-181

可积函数与连续函数

显然这一部分是根据可测函数与连续函数的密切关系来引申出来的。它也有很多应用。

Theorem 1:
设 $f \in L(E)$ ，那么对任意的 $\epsilon>0$ ，存在 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续函数 $g(x)$ 使得 $\int_E |f(x)-g(x)| dx <\epsilon$ 。

首先根据 $f \in L(E)$ 可知存在 $\mathbb{R}^n$ 上的具有紧支集的可测简单函数 $\varphi(x)$ 使得 $\int_E |f(x)-\varphi(x)|dx<\epsilon/2$ 。所以如果要证明原来的结论，考虑 $\int_E |\varphi(x)-g(x)|dx$ 是必要的。

根据Lusin定理的推论（原书3.19）可得存在具有紧支集的连续函数 $g(x)$ 使得 $|g(x)| \le M(x \in \mathbb{R}^n)$ ，且 $m(\{x \in E : |\varphi(x)-g(x)|>0\})<\epsilon/(4M)$ 。这样的话，根据 $|\varphi(x)-g(x)| \le 2|\varphi(x)| \le 2M$ 可得 $\int_E |\varphi(x)-g(x)|dx < \epsilon/2$ 。将两部分加在一起即可。

它一共有四个推论。简单的两个推论如下，我们不再给出详细的证明。

Corollary 1:
设 $f \in L(E)$ ，那么存在 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续函数列 $\{g_k(x)\}$ ，使得
(1) $\lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)-g_k(x)|dx=0$
(2) $\lim_{k \to \infty}g_k(x)=f(x), ~ a.e. ~ x\in E$
Corollary 2:
设 $f \in L([a,b])$ ，那么存在其支集在 $(a,b)$ 内的连续函数列 $\{g_k(x)\}$ ，使得
(1) $\lim_{k \to \infty}\int_{[a,b]}|f(x)-g_k(x)|dx=0$
(2) $\lim_{k \to \infty}g_k(x)=f(x),~ a.e. ~ x \in [a,b]$ 。

书上给了一个例子，可以认为是一个函数几乎处处为0的一个判别法。

Example 1:
设 $f \in L (\mathbb{R}^n)$ ，若对一切 $\mathbb{R}^n$ 上的具有紧支集的连续函数 $\varphi(x)$ 。有 $\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)dx=0$ 。那么 $f(x)=0 ~ a.e. ~ x \in \mathbb{R}^n$ 。

我们采用反证法来解决这个问题。设 $f(x)$ 在有界正测集 $E$ 上有 $f(x)>0$ ，那么可以作具有紧支集的连续函数列 $\{\varphi_k(x)\}$ ，使得 $\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R^n}}|\chi_E(x)-\varphi_k(x)|dx=0$ ，并且有 $|\varphi_k(x)| \le 1,\lim_{k \to \infty}\varphi_k(x)=\chi_E(x) , ~ a.e. x \in E$ 。

根据 $|f(x)\varphi_k(x)| \le |f(x)|$ 和控制收敛定理，可以得到 $0< \int_E f(x)dx = \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\chi_E(x)x=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi_k(x)dx=0$ ，就产生了矛盾。

回到正题，继续说这个定理的相关推论。

Corollary 3:
若 $f \in L(\mathbb{R}^n)$ ，那么 $\lim_{h \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|dx=0$

我们回到Theorem 1做一番观察，不难得到，对于任意一个可积的函数 $f(x)$ ，都会存在一种分解 $f(x)=(f(x)-g(x))+g(x)$ 使得 $f(x)-g(x)$ 的积分任意小，而 $g(x)$ 是具有紧支集的连续函数。所以根据这个思路，设 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ ，就可以设 $f_1(x)$ 为具有紧支集的连续函数， $f_2(x)$ 满足 $\int_{\mathbb{R}^n}|f_2(x)|dx<\epsilon/4$ 。

注意 $f_1(x)$ 还是一个一致连续的函数（非零的范围是一个有界闭集），所以存在 $\delta>0$ ，使得 $|h|<\delta$ 时有 $\int_{\mathbb{R}^n}|f_1(x+h)-f_1(x)|dx<\epsilon/2$ 。故 $\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|dx < \int_{\mathbb{R}^n}|f_1(x+h)-f_1(x)|dx+\int_{\mathbb{R}^n}|f_2(x+h)-f_2(x)|dx \le \epsilon/2+2\int_\mathbb{R^2}|f_2(x)|x<\epsilon$ ，就证明了结论。

Corollary 4:
若 $f \in L(E)$ ，那么存在具有紧支集的阶梯函数列 $\{\varphi_k(x)\}$ ，使得
(1) $\lim_{k \to \infty}\varphi_k(x)=f(x) ~ a.e. x \in E$
(2) $\lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)-\varphi_k(x)| dx =0$

根据Theorem 1可以得到，对任意的 $\epsilon>0$ ，存在 $\mathbb{R}^n$ 上的具有紧支集的连续函数 $g(x)$ 使得 $\int_E |f(x)-g(x)|dx<\epsilon/2$ 。那么不妨设 $g(x)$ 的支集含于某一个闭正方体 $I=\{x=(\zeta_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n): -k_0 \le \zeta_i \le k_0(i=1,\cdots,n),k_0 \in \mathbb{N}^*\}$ 中，这样容易得到，存在支集含于 $I$ 内的阶梯函数 $\varphi(x)$ 使得 $\varphi(x)=\sum_{i=1}^{N}c_i\chi_{I_i}(x),\int_I |g(x)-\varphi(x)|dx<\epsilon/2$ ，其中每一个 $I_i$ 为含于 $I$ 内的矩体。故 $\int_E |f(x)-\varphi(x)|dx \le \int_E |f(x)-g(x)|dx+\int_E |g(x)-\varphi(x)|dx \le \epsilon$ 。

针对每一个 $\epsilon$ 我们都已经取定了一个 $\varphi(x)$ ，所以我们只需要再令 $\epsilon_k = 1/k$ 。这样的话，就容易得到 $\lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)-\varphi_k(x)|dx=0$ 。

现在如何证明第一条结论呢？只需要注意到设 $E_k(\delta)=\{x \in E : |f(x)-\varphi_k(x)| \ge \delta\}$ ，其中 $\delta>0$ 任意给定。那么根据 $\delta m (E_k(\delta)) \le \int_E |f(x)-\varphi_k(x)|dx$ 可知 $m(E_k(\delta)) \to 0(k \to \infty)$ 。也就是依测度收敛。那么根据Riesz定理即可得到，存在 $\{\varphi_k(x)\}$ 中的子列几乎处处收敛于 $f(x)$ ，这个子列自然满足题意。

这个定理相当于把连续函数的相关性质由简单函数推广到了阶梯函数的情况（阶梯函数的意思是说把简单的集合换成了矩体，具体可以见Stein笔记的相关内容）。

好的，来看一个书上的例子。

Example 1:Riemann-Lebesgue的推广
若 $\{g_n(x)\}$ 是 $[a,b]$ 上的可测函数列，且
(1) $|g_n(x)| \le M (x \in [a,b]) ( n=1,2,\cdots)$
(2)对任意的 $c \in [a,b]$ ，有 $\lim_{n \to \infty}\int_{[a,c]}g_n(x)dx=0$ 。
则对任意的 $f \in L([a,b])$ ，有 $\lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]}f(x)g_n(x)dx=0$

首先，我们根据上一个推论，可以得到，对于任意的 $\epsilon>0$ ，可作阶梯函数 $\varphi(x)$ ，使得 $\int_{[a,b]}|f(x)-\varphi(x)|dx<\epsilon/(2M)$ 。那么设 $\varphi(x)=\sum_{i=1}^{p}y_i\chi_{[x_{i-1},x_i)}(x),x \in [a,b)$ （别忘了在一维的时候，矩体也就是区间）。其中 $a=x_0<x_1<\cdots<x_p=b$ 。又因为 $|\int_{[a,b]}\varphi(x)g_n(x)dx| \le \sum_{i=1}^{p} |y_i \int_{[x_{i=1},x_i]}g_n(x)dx|$ ，所以根据假设可得，存在 $n_0$ ，使得 $n \ge n_0$ 时有 $|\int_{[a,b]}\varphi(x)g_n(x)dx| \le \epsilon/2$ 。另一方面，因为我们知道 $g_n(x)$ 是有界的，所以 $|\int_{[a,b]}f(x)g_n(x)dx| \le |\int_{[a,b]}(f(x)-\varphi(x))g_n(x)dx|+|\int_{[a,b]}\varphi(x)g_n(x)dx| \le \epsilon$ ，就证明了结论。

所以说，这一部分的内容其实都是大同小异的思路方法。比如说这一个例题，归根到底还是要根据函数有界或者积分值无限小，对研究的函数 $f(x)$ 分解为 $(f(x)-\varphi(x))+\varphi(x)$ 即可。

有人可能会问Lesbegue-Riemann引理是什么。它就是

$\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin (nx)dx=\lim_{n \to \infty}\int_0^{2\pi}f(x)\cos (nx)dx=0$

Lebesgue积分与Riemann积分的关系

这一块内容在Stein里就是一个小结论。在国内的书上则铺垫了比较多的内容。

首先从熟悉的情况开始

Notation 1:
设 $a=x_0^{(n)}<x_1^{(n)}<\cdots<x_{k_n}^{(n)}=b(n=1,2,\cdots)$ 是符合Riemann积分定义的极限分划。令 $M_i^{(n)}=\sup \{f(x): x_{i-1}^{(n)} \le x \le x_i^{(n)}\},m_i^{(n)}=\inf \{f(x): x_{i=1}^{(n)} \le x \le x_i^{(n)}\}$ 。那么定义积分的Darboux上下积分为 $\bar \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{k_n}M_i^{(n)} (x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})$ ， $\underline \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{k_n}m_i^{(n)} (x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})$

首先，铺垫一个引理。

Lemma 1:
设 $f(x)$ 为定义在 $I=[a,b]$ 上的有界函数，令 $\omega(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的振幅函数，那么 $\int_I \omega(x)dx=$ $\bar \int_a^b f(x)dx-\underline \int_a^b f(x)dx$ 。

首先要知道的是， $\omega(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有界可测函数，因此它可积。

针对一个固定的分划序列 $\{\Delta^{(n)}\}$ ，设

$\omega_{\Delta^{(n)}}(x)=\begin{cases}M_i^{(n)}-m_i^{(n)} & x \in (x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)} ) \\ 0 & x是\Delta^{(n)}的分点\end{cases}$ ，并且设 $E=\{x \in [a,b]: x为\Delta^{(n)}(n=1,2,\cdots)的分点\}$ ，那么 $m(E)=0$ ，并且有 $\lim_{n \to \infty}\omega_{\Delta^{(n)}}(x)=\omega(x), x \in [a,b] \backslash E$ 。并且根据有界性和有界收敛定理，可得 $\lim_{n \to \infty}\int_I \omega_{\Delta^{(n)}}(x)dx = \int_I \omega(x)dx$ 。

另一方面，根据勒贝格积分的定义，可得 $\int_{I} \omega_{\Delta^{(n)}}(x)dx=\sum_{i=1}^{k_n}(M_i^{(n)}-m_i^{(n)})(x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})$ ，所以两边令 $n \to \infty$ ，根据Darboux上下积分的定义即可得到结论。

其实也不难看出来，这一部分就是在模仿Riemann积分的划分的"加细"的过程。只不过这个过程的证明有效性，在实分析里，用控制收敛定理得到了保证。

下面，就可以给出在实分析里有关Riemann积分的两个最重要的结论了。

Theorem 2:
若 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有界函数，那么 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积的充要条件是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的不连续点集是零测集。

一方面，如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积，那么函数的上下积分相等，也就是说振幅函数积分为0。因为 $\omega(x) \ge 0$ ，所以 $\omega(x)=0 ~ a.e. ~ x\in [a,b]$ ，也就是说 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处连续。

另一方面，如果振幅函数几乎处处为0，那么根据引理自然可以得到积分的Darboux上下积分相等，这就足够证明函数Riemann可积了。

Theorem 3:
若 $f(x)$ 在 $I=[a,b]$ 上Riemann可积，那么 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Lebesgue可积，并且其积分值相同。

首先根据Theorem 2可知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处连续，所以几乎处处有界，这可以说明 $f \in L(I)$ 。其次，作 $[a,b]$ 的一个分划 $\Delta: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n =b$ 。那么会有 $\int_I f(x)dx=\sum_{i=1}^{n} \int_{[x_{i-1},x_i]}f(x)dx$ 。而 $m_i (x_i-x_{i-1}) \le \int_{[x_{i-1},x_i]}f(x)dx \le M_i(x_i-x_{i-1})(i=1,2,\cdots,n)$ ，故可得到 $m_i (x_i-x_{i-1}) \le \int_I f(x)dx \le M_i(x_i-x_{i-1})(i=1,2,\cdots,n)$ 。根据这个积分Riemann可积，即可得到上下积分相等。因此左右两边对一切分划各取上下确界，即可得到 $\int_I f(x)dx = \bar \int_a^b f(x)dx=\underline \int_a^b f(x)dx$ ，这就是想要的结论。

要注意到的是，这一部分所探讨的Lesbegue积分和Riemann积分的关系，目前还只是在有界函数的情况下的。但是无界的情况可能就不是这么简单了。

Theorem 4:
设 $\{E_k\}$ 是递增的可测集列，并集为 $E$ ，又 $f \in L(E_k)(k=1,2,\cdots)$ ，那么若极限 $\lim_{k \to \infty}\int_{E_k}|f(x)|dx$ 存在，则 $f \in L(E)$ ，并且 $\int_E f(x)dx = \lim_{k \to \infty}\int_{E_k}f(x)dx$ 。

首先要注意到的是 $\lim_{k \to \infty}|f(x)|\chi_{E_k}(x)=|f(x)|,x \in E$ ，所以根据Levi非负函数渐升列积分定理可知 $\int_E|f(x)|dx=\lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)|\chi_{E_k}(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_{E_k}|f(x)|dx<+\infty$ 。这样的话就得到了 $f$ 可积。结合 $|f(x)\chi_{E_k}(x)| \le |f(x)|$ 可知 $\lim_{k \to \infty}\int_{E_k}f(x)dx=\int_E f(x)dx$ （控制收敛定理），这就证明了结论。

也就是说，这里的Lesbegue积分其实针对的是绝对收敛的积分。在积分绝对收敛的情况下，可以通过计算Riemann函数的值来得到对应的Lesbegue积分的值。

下面来看一个例子，虽然我觉得它和之前的定理啥的没啥联系……

Example 2:
求 $I=\int_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx$ 。

注意到 $-\frac{\ln x}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}-x^n\ln x$ 以及 $\int_0^1x^n\ln xdx=-\frac1{(n+1)^2}$ 即可得到 $\int_0^1 -\frac{\ln x}{1-x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(n+1)^2}=\frac{\pi^2}{6}$ 。所以原式的结果是 $-\pi^2/6$ 。

Fubini定理

我们在Stein笔记的第六节已经涉及到了这一部分的内容。但是国内的教材中在这一块的证明思想稍有不同。

其实这个定理关注的就是一个内容： $\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ 何时成立？

废话不多说，直接开始我们的证明。根据书上的思路，我们先从非负可测函数开始。

Theorem 5:Tonelli
设 $f(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$ 上的非负可测函数。那么
(1)对于几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^p$ ， $f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数是 $\mathbb{R}^q$ 上的非负可测函数。
(2)设 $F_f(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ ，那么 $F_f(x)$ 是 $\mathbb{R}^p$ 上的非负可测函数。
(3) $\int_{\mathbb{R}^p}F_f(x)dx=\int_{\mathbb{R}^p}F_f(x)dx=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy$ 。

思路和Stein一样，记满足这三个条件的函数类为 $\mathcal{F}$ ，然后证明我们想要的函数都在这个函数类内。这个证明很长，所以需要先给一个引理，简化一下。

Lemma 2:
(1)若 $f \in \mathcal{F}$ ， $a \ge 0$ ，那么 $af \in \mathcal{F}$
(2)若 $f_1,f_2 \in \mathcal{F}$ ，那么 $f_1+f_2 \in \mathcal{F}$
(3) $f,g \in \mathcal{F}$ ，那么若 $f(x,y)-g(x,y) \ge 0,g \in L(\mathbb{R}^n)$ ，那么 $f-g \in \mathcal{F}$ 。
(4)若 $f_k \in \mathcal{F}(k=1,2,\cdots),f_k(x,y) \le f_{k+1}(x,y)(k=1,2,\cdots)$ ，且 $\lim_{k \to \infty}f_k(x,y)=f(x,y),(x,y) \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$ ，那么 $f \in \mathcal{F}$ 。

首先根据积分的线性性质可得(1)(2)成立。对于(3)，注意到根据 $g$ 在这个函数类，且可积，可以得到 $F_g(x)$ 几乎处处有限（根据Tonelli提供的第三个条件）。之后再转换一下角度，可知对于几乎处处的 $x$ ， $g(x,y)$ 看成 $y$ 的函数在 $\mathbb{R}^q$ 上几乎处处有限（第二个条件）。所以根据 $f=(f-g)+g$ 即可得到 $f-g$ 满足三个条件。

而对于第四个结论，对于第一个条件爱你，这是显然成立的。对于第二个条件，只需要注意到Levi定理有 $\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy$ 。而针对第三个条件，我们还是要用一下Levi定理。注意到 $\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy$ $=\int_{\mathbb{R}^p}\left[\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy\right]dx=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}\lim_{k \to \infty}f_k(x,y)dy$ 即可。

这个证明的式子虽然看上去很繁杂，但是实际上，它的所有的积分规则和顺序我们并不陌生，和数分三一样的思路去走就好。

好的，我们开始证明这个比较重要的大定理。结合前面这个引理，其实我们只需要证明在可测集 $E$ 上的特征函数 $\chi_E(x,y)$ 都是在 $\mathcal{F}$ 里的即可（想想为什么）。但是 $E$ 本身也是有很多种的，这就需要对 $E$ 做比较多的讨论了。

第一，考虑 $E= I_1 \times I_2$ 的情况，其中 $I_1,I_2$ 为 $\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q$ 的矩体。那么自然有 $\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x,y)dxdy=|I_1| \times |I_2|$ 。此外对于每一个 $x \in \mathbb{R}^p$ ， $\chi_E(x,y)$ 还是 $\mathbb{R}^q$ 上的非负可测函数，并且 $F_{\chi}(x)=\begin{cases}|I_2| & x \in I_1 \\ 0 & x \not \in I_1\end{cases}$ （不难想吧？）。所以 $\int_{\mathbb{R}^p}F_\chi(x)dx=|I_1 | \times |I_2|$ ，就说明了 $\chi_E \in \mathcal{F}$ 。

第二，考虑 $E$ 是开集的情况。注意到在 $\mathbb{R}^n$ 中，开集可以表示为互不相交的半开闭矩体（我不知道我之前有没有说过，如果你们之前不知道，那么你们现在知道了）。所以 $\chi_E \in \mathcal{F}$ 自然也成立。

第三，考虑 $E$ 是有界闭集，那么只需要注意到它可以写成两个有界开集 $G_2,G_1(G_2 \supset G_1)$ 的差即可由引理的第三个情况得到想要的结论。

第四，考虑 $\{E_k\}$ 为递减可测集合列，并设 $E = \bigcap_{k=1}^{\infty}E_k$ ，仿照引理中(4)的证明方法可得，若 $\chi_{E_k} \in \mathcal{F}$ ，那么 $\chi_E \in \mathcal{F}$ 。

第五，若 $E$ 是零测集，那么 $\chi_E \in \mathcal{F}$ ，这是因为存在开集列 $\{G_k\},G_k \supset E(k=1,2,\cdots)$ ，使得 $\lim_{k \to \infty}m(G_k)=0$ 。令 $H=\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k$ 得 $\chi_H \in \mathcal{F}$ 。又 $E \subset H,m(H)=0$ ，可得 $\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}\chi_H(x,y)dy=0$ ，自然根据包含关系容易推出来 $\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x,y)dxdy=0=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}\chi_E(x,y)dy$ 。同样还可以得到对于几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^p$ ，有 $F_{\chi_E}(x)=\int_{\mathbb{R}^p}\chi_E(x,y)dy=0$ （积分值都是0了，又是非负的，自然可以推出来这个结论）。所以对于几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^p$ ，有 $\chi_E(x,y)=0 ~ a.e. \mathbb{R}^q$ 。这就说明了它满足了这个函数类的第1，2个条件。就证明了结论。

第六，若 $E$ 是一般可测集，那么 $\chi_E \in \mathcal{F}$ ，这是因为根据Lemma 2.13可以得到 $E = (\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k)\cup Z$ ，其中 $F_k$ 是有界闭集， $m(Z)=0$ 。不难证明 $\chi_K \in \mathcal{F}$ （我懒，我懒……），再根据 $\chi_E(x,y) = \chi_K(x,y)+\chi_Z(x,y)$ 即可得到 $\chi_E \in \mathcal{F}$ 。

最后，我们根据这个引理，给出最后一个定理——Fubini定理的证明，这也是我们要介绍的最后一部分内容（在时间范围内……）

Theorem 6:Fubini
若 $f \in L (\mathbb{R}^n),(x,y) \in \mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$ ，那么
(1)对于几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^p$ ， $f(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^q$ 上的可积函数。
(2)积分 $\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ 是 $\mathbb{R}^p$ 上的可积函数。
(3) $\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\int_{\mathbb{R}^q}dy\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)dx$

事实上，只需要令 $f(x,y)=f^+(x,y)-f^-(x,y)$ ，那么根据Theorem 5就可以得到 $f^+(x,y),f^-(x,y)$ 都满足Theorem 5的条件，注意到所有的积分值都是有限的，所以可以作减法，就可以得到结论。

小结

本节结束了书上的第四章相关的内容，介绍了有关勒贝格积分的应用相关定理以及Fubini定理。其实这一部分定理证明的思想和过程大多都是有迹可循的，所以难度倒也不是特别大。多琢磨几遍就好了。

抱歉这么久才发出来这一篇，具体之后的打算已经发布在了"想法"内，也感谢大家一直以来的支持！

——————————————————广告——————————————————

本专栏为我的个人专栏，也是我学习笔记的主要生产地。任何笔记都具有著作权，不可随意转载和剽窃。

想要更多方面的知识分享吗？欢迎关注专栏：一个大学生的日常笔记。我鼓励和我相似的同志们投稿于此，增加专栏的多元性，让更多相似的求知者受益~

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：刘理

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

别再乱用偏方了，给你一份专业版日常小伤处理指南

切菜切到手指，

炒菜烫个泡，

运气不好时走平路都能崴了脚，

拿张A4纸都能割个血口子......

日常生活中小伤小患难免的，

但是不夸张的说，

很多人对小伤患的处理方法都是错的。

都！是！错！的！

今天和睦家专家就来跟大家说说日常小伤患的正确处理方式。（快拿出小本本~)

一、扭伤

揉一揉就好了！？

贴个伤湿膏就好了！？

热敷一下就好了！？

No！手下留情，你要做的是——

首先判断伤势轻重

急性脚扭伤后一开始最明显的症状是疼痛和肿胀，这时要停止一切活动，分清伤势的轻重。

•如伤脚仍能持重站立，勉强走路，皮肤无破损，只是有痛感肿胀感，说明是轻度扭伤。

•如果活动伤脚时有剧痛，不能持重站立或挪步，视觉上对扭伤和骨伤很难加以区分，那就需要赶紧去医院通过X光检查来确定骨头是否断裂。

针对轻度扭伤拉伤

针对轻度扭伤拉伤，直接上"大米疗法"(RICE)。

•Rest休息 ——让受伤部位得到休息，千万别揉捏；

•Ice冰敷 ——受伤后的两日内，每过几小时就用冰袋冰敷伤处10~15分钟以预防肿胀；

•Compression加压 ——用加压（压迫）弹力绷带完全包裹住伤处至少两天以减少肿胀；

•Elevation抬高 ——将受伤的部位抬高。抬到高于心脏的位置，这样可以促进血液回流，有利于肿胀消退。

用药

根据个人情况可以选择服用止痛药缓解疼痛，如"对乙酰氨基酚（扑热息痛）"或"布洛芬"。

二、割伤擦伤

贴个创可贴就OK了？

且慢！创可贴不是万能的，要视情况而定。

针对浅表小伤口的急救措施如下：

清洗伤口——预防感染

千万别用毛巾湿纸巾擦拭伤口。家里没有双氧水、生理盐水的也莫慌，用干净的自来水冲洗和用成本较高的无菌盐水冲洗差别并不大，用水龙头或淋浴喷头的流动水冲洗伤口能有效地清除细菌。

注意：如果受伤面积过大、伤口上沾有冲不掉的沙粒、污物，或受伤部位已经有肿胀、严重疼痛、血流不止，赶紧去医院做清创处理。

止血——控制伤情

以医用纱布、棉球或者干净的织物牢牢按压受伤部位20分钟，每五分钟释放一次压力检查是否已经止血。如果有可能的话，请将受伤部位抬高至心脏以上的位置以减慢流血速度。

注意：如果伤口深、大，或者持续压迫20分钟都还无法止血，要赶紧去医院缝合止血！

抗菌——加速愈合

•在擦伤割伤部位涂上薄薄的一层抗菌药膏或抗生素软膏。

•用绷带或纱布覆盖伤处，保持绷带清洁、干爽。

•每天更换一两次绷带，直到患处愈合为止。

大部分割伤和擦伤可在7天~10天内自行愈合。如果是轻微表层擦伤，可以不用创可贴或绷带，上药后等伤口干燥就行了。

无论哪种伤势当伤口愈合并结痂时，一定要让痂皮自行脱落，不能挑破痂皮。当然如果伤口结痂周边有红、肿、液体流出，说明伤口存在问题，那最好前往医院查看情况，清洗分泌物，并作相应处理，尽快促进伤口愈合。

注意：如果伤口被钉子、玻璃等锐利的物品刺伤，因为伤口窄、深，细菌不易被排出，特别容易感染。尤其被钉子这些生锈了的金属物刺伤，无论伤口多小，都有患上破伤风的危险。需要前往医院由医生评估看是非需要接种破伤风疫苗。

三、烧伤烫伤

快冰敷一下？！

花盆里的芦荟快切一块涂上？！

涂点牙膏抹点香油？！

Oh，NO！

别乱来，正确方法如下

针对浅表小伤口的急救措施：

•将灼伤部位置于流动的冷水中冲洗至少5分钟。冲洗的水温一定选用常温，不能低于8摄氏度，以免发生冻伤。

•除非首饰和衣物粘连在灼伤部位，否则需要取下患处的首饰和衣物。

•用具有护肤和促进皮肤愈合的产品治疗灼伤，比如芦荟乳霜和抗菌药膏；

•用没有粘性的绷带包裹患处，如果伤口有破损是不能涂的；

•自己花盆里种的芦荟不要用，未经专业科学程序提取，可能导致过敏；

•另外涂牙膏涂香油这些可能阻碍伤口散热，并不能保护伤口，使不得。

•如果疼痛难忍，可以服用非处方类止痛药，比如 "对乙酰氨基酚"或"布洛芬"。

•如果烫伤的面积过大，必须立刻前往医院。

四、被动物咬伤

不严重不用接种狂犬病疫苗？！

大错特错！

一旦感染狂犬病，潜伏期不到一年，死亡率几乎100%！

▸如果被猫猫狗狗或者其他动物抓伤咬伤，或者本身破损皮肤被动物舔到，或者开放性伤口、粘膜被动物体液污染。

无论伤口深浅，都需要尽快处理伤口及接种狂犬病疫苗，关键是要快。

针对动物咬伤的急救措施如下：

•先用大量清水和肥皂清洗伤口至少15分钟以上（即便这样做有点刺痛）。

•用生理盐水或清水将伤口冲洗干净。

•可在伤口上涂抗菌药膏，并用绷带包裹伤口。

•如果伤口出血，请按压伤口止血。

被动物咬伤后请立刻去看医生，即便已经接种过狂犬病疫苗仍然需要这么做。

即使以上的伤口处理方法大家都学会了，以下情况仍需及时就医：

•受伤至皮下组织暴露

•伤口沾染污垢或因疼痛难以清洗

•动物咬伤

•较深的刺穿伤口（尤其是刺穿鞋）

•伤口清洗后有异物残存，如玻璃或植被

•影响关节功能

•涉及面部

•伤口下可能发生骨折

•伤口感染的征兆，比如发烧、发红、肿胀、灼热、疼痛加剧、流脓或割伤部位周围有红色条纹等。

•灼伤较深，甚至于您不会感觉到疼痛；灼伤部位大于2英寸~3英寸（5厘米~8厘米）；

•被火焰、电线、电源插座或化学品灼伤；灼伤部位位于脸部、头皮、手部、关节或生殖器上；

•您不确定灼伤的严重程度。

总而言之，如遇日常创伤，请谨记：

及时采取有效的紧急处理措施；
如有需要及时就医；
相信科学，反对迷信，不信谣，不传谣...

和睦家医疗，专业的健康科普

官方微信公众号：unitedfamily

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：和睦家医疗

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

新手如何自学游泳之四：蛙泳小总结以及蛙泳换气的细节

前面几篇文章，比较全面的跟大家讨论了蛙泳腿和蛙泳手的动作，也夹杂了很多自己的学习历程和经验，希望大家能看懂。如果有什么错误或者偏颇，请大家及时告诉我，大家一起学习，一起进步。或者您在学习游泳的过程中，有哪些好的经验和心得，也可以分享出来，造福更多的初学者。

昨天有一位朋友问我，为什么一直在说蛙泳，不说自由泳呢？其实吧，我也想多说说自由泳，但自由泳对水性的要求比较高，如果没有蛙泳的基础，贸然去学自由泳，会比较费事儿，容易呛水，容易打击学习的积极性。而且自由泳对体质和体能的要求也比较高，就算你辛辛苦苦学会了动作，也得增加陆上的训练量，提升四肢力量，腰腹力量，很麻烦。不如蛙泳，一直在水里练习就行，纠正动作的同时，还能培养水性。而且蛙泳对体力的要求不是太高，节奏也比较慢，更适合大众人群去上手。

中国人一般都是先学蛙泳，觉得蛙泳简单。很多其他国家，都是先学自由泳，他们觉得自由泳简单。而且从理论上讲，对于初学者，自由泳的动作，确实相对简单一些，手脚的动作都贴近人体结构的本能，换气动作也相对简单一些。反观蛙泳，手臂外划内划，屈膝翻脚蹬腿，都是为了提供动力而设计出来的动作，模仿青蛙的造型，与人体结构的本能有着很大的反差，对初学者的悟性要求比较高。

但如果比较后期的话，肯定是自由泳进阶难度高，需要涉及到很多科学知识理论，对肢体力量要求极高。想成为自由泳高手，非常难，需要长期大量艰苦专业的训练。即便你大量的训练，但如果没有专业的教练来指导，也未必能提高很多。普通初学者，自由泳，很少能游1000米的，即便允许你中途休息10次，胳膊也肯定累的不行了。蛙泳就不一样了，学会换气之后就简单了，慢慢练，慢慢游，普通人，断断续续的游1000米，不是太难的事儿。

至于为什么国内一般都先教蛙泳，其实也很容易理解。因为初学蛙泳，比较费时间，蹬腿练三节课，划手练三节课，换气再来三节课，下水实战再来三节课，总之需要很多节课才能学的差不多，所以收费也跟着多很多，能带来的收益更多。

同时，蛙泳，比起自由泳，更安全一些，因为双脚和双手同时乏力，提供的浮力更大，熟练之后，可以一直保持头部在水面之上，顺畅呼吸。但自由泳的呼吸，就不是这么简单了，非常容易呛水。而且，蛙泳，学习效果很明显，只要掌握了蛙泳手，能抬头换气之后，就算是入门了，不管游的快慢，最起码，能独自持续的游起来了，容易让学员找到成就感，进而产生更多的学习动力，能够积极主动的去学习，练习，持续的提高水平。并不是因为蛙泳简单，好学，游泳馆的教练才拿蛙泳开教的。

最后，说一下蛙泳换气的一些细节。之前说过，蛙泳换气的时候，大部分时间使用嘴去呼气吸气，但在实践中，其实是可以灵活变通的，也可以适当的使用鼻子呼气。

如果戴了鼻夹，肯定不用鼻子呼气了。但并不是每个人游泳的时候都戴鼻夹的。当头部入水之后，肯定有一些水会进入鼻腔。所以当头部浮出水面的瞬间，先用鼻子呼气，排水，然后正常吸气。或者，有时候张嘴换气的时候，嘴巴进了一些水，已经不能继续用嘴巴吸气了，这时候就可以闭嘴，改用鼻子吸气。或者，有时候突然忍不住想咳嗽一下，尽量别张嘴咳嗽，而应该试着用鼻子去咳嗽，因为一张嘴，就可能会呛水了。但，即便如此，也尽量不要用鼻子吸气。因为，鼻子吸气，万一吸到水，就直接吸到肺里了，会呛的很严重的。用嘴吸气，偶尔也会喝水，但大多数都进了胃里，不会呛的太严重。

另外，如果你一直不停的蛙泳，一直用嘴换气，超过2000米3000米之后，嗓子就会非常干燥，很难受。所以很多时候，应该适当的用鼻子在水下呼气，很安全，完全不会鼻子进水。如果你有心，可以去自己尝试一下，就知道了。另外，很多人抬头蛙的时候，是用鼻子呼吸的，因为鼻子的位置高于嘴巴的位置，更容易呼吸到空气。

其实这些东西，都属于水性的范畴。所谓的水性，就是在水里遇到一些状况的时候，可以灵活多变的去应对，避免危险。而且，心里素质一定要好，不能慌乱。要沉着冷静，相信自己。其实很多时候，出现一些突发状况，可以临时憋气几秒，调整身体姿态，保持稳定，然后按照常规训练的动作，继续游，就可以化险为夷了。

最后的最后，再次强调一下，换气真的是王道。希望大家多多用心去练习换气。尽早找到能够在水里连续换气，持续前进的节奏。换气，一定要深呼吸，充分呼吸，不能让肺里一直残留着一半气。只要换气没问题，胸腔就不会觉得憋的慌，身体也不会缺氧，就能持续不断的游来游去了。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：李开源

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

北大与中国登山

一群学生，能干出多大事儿？

30年前，一拨成长于北京大学的少年，小心翼翼裹挟着对户外的真心，走进了人迹稀少的荒蛮之地，登上了全世界不足1%人能企及的巅峰。

30年后，他们用始终如一的坚持写下了中国民间登山历史里不可或缺的五个字——

北大山鹰社，前身北京大学登山协会。（文中未标注图片来源北大山鹰社公众号）

说到这，或许这个高校社团还没有在你的脑海中形成什么概念，不如看看下面的信息：

数十次刷新大学生以及民间登山的记录，包括1995年登顶卓奥友（这是中国民间登山团体首次登顶8000米级山峰，也几乎代表了90年代末中国民间登山事业的最高水平）；
直接促使国家登协出台《国内登山管理办法》；
推动国内高校陆续建立登山社团......

此外，还有一批从北大山鹰社走出的中坚力量——

曹峻：华大运动CEO，曾任深圳登山协会常务副会长、中国登山协会委员；
孙斌：创办巅峰户外活动学校和巅峰探游；
赵雷：任职中国登山协会；
方翔：任职中国登山协会；
李兰：自由攀登者；
曾山（Jon Otto）：现任成都领攀登山学校校长、从事登山培训事业；
李赞：登山教练、自由攀登者。

......

以上光辉，说来荣耀，却极不易。即便山鹰社被冠上北大盛名，一切的开始也同样万分艰难。

告别80年代

山鹰社的诞生很偶然，偶然到近乎有些戏谑。

那是1989年4月1号，受北大地理系崔之久教授撰写的一份南极报告所启发，一群"爱山的傻孩子"想也没想，竟在愚人节聚在了一起，创办了北大登山协会。

一年后，协会更名北大山鹰社。这一改，不是如成立时的随性，而是看清了未来将要走的路：

存鹰之心于高远；
取鹰之志而凌云；
习鹰之性以涉险；
容鹰之神在山巅。

那时的山鹰，直到现在曾山（Jon Otto，1990年进入北大，加入山鹰社且持续在中国攀登至今）提起，依旧怀念不已：

那是一个充满热情、作风粗放的草根组织。
技巧和知识的欠缺，他们会用创造力来补足。如果缺乏设备，他们就因陋就简（信息来源：《高处有世界》）。

然而，铮铮学子们的满腔热血，被以"安全第一"的现实扯住了双腿。

由攀岩"曲线救国"——对于90年代初的大学生而言，没钱没经验没装备，攀登雪山，是一个多么遥不可及的梦想。更重要的是，他们必须先获得学校和国家登山协会的批准及支持。

这难不倒年轻热情的山鹰们，他们决定——由攀岩"曲线救国"：

······李欣（首任山鹰社社长）也更加深沉了，他梦想着要登一次雪山，这需要校方的支持，而要获得校方的支持，必须先做出点成绩来，这个成绩只能来自攀岩（信息来源：《高处有世界》）。

取得成绩，是获得校方认可和支持的最佳办法，而攀岩是当时户外运动中唯一举办全国性比赛的项目。

当年，怀柔的国家登山基地和西山的岩壁可以提供攀岩训练的场地，登山基地的运动健将和北京的岩友给了他们很多支持与指导。

1989年，谢劲松和谢如祥（大谢、二谢）在河南焦作的第三届全国攀岩邀请赛上获得男子双人结组第二名；1990年，何丹华获全国攀岩赛女单第六名。

有了攀岩比赛成绩做背书，通往雪山的大门终于被推动了。

玉珠峰：第一次雪山翱翔——1990年，本着崔之久老师"要有高度，要没难度"的意见，山鹰社选择了东昆仑海拔6178米的玉珠峰作为第一座雪山。

经历了四处拉赞助、反复向北大和登协申请的漫长过程后，一支以北大学生为主体的11人登山队，带着各方赞助的五花八门的装备，奔向了茫茫雪原上的昆仑，并最终成功登顶，成首登昆仑山脉东段之巅的民间团体。

玉珠峰，又称可可赛极门峰，山鹰社1990年的南坡西南山脊路线如今已成为玉珠峰热门的商业攀登路线。图/www.photofans.cn

从燕园到八千米之巅

从玉珠，从昆仑，山鹰社告别八十年代，开始了它真正的翱翔，以每年一座的速度开始了雪山攀登。

山鹰社初期（90年代）攀登记录

————————————————

1991年、1993年，慕士塔格传统路线（7546米）
1992年，念青唐古拉山脉中央峰传统路线（7117米）
1994年，长江源头格拉丹东北坡路线（6621米）
1995年，宁金抗沙峰卡惹拉冰川路线（7206米）
1996年，阿尼玛卿山玛卿岗日峰南坡路线（6282米）
1997年，玉珠峰北坡2号冰川和3号冰川（6178米）

……

一次次攀登，刷新着山鹰社创造的大学生以及民间登山的记录。

从稚嫩走向成熟——90年代的国内登山界，"国家登山"形式仍是主流，民间登山运动发展尚处萌芽。面对无边未知，山鹰社基本只能靠自行摸索，或是和同时期其他兄弟社团共同奋战。

一如山鹰社早期成员曹峻先生所说：

那时还没有商业攀登机构出现，所有的登山活动都需要登山队自己计划和组织，攀登路线的选择、物资的运输、营地的建设都要自主完成。（信息来源：《高处有世界》）

在付出无数努力和心血之后，山鹰社组织架构、活动形式日渐丰满：

理事会决策和会长领导的部长会运营的架构制度；
完整、成熟的社团内部成长体系；
每年暑期的登山以及科考活动模式；
一系列成熟的与校方、登协、企业赞助沟通的经验方法……

一群卖方便面的孩子——山鹰社日益完善，但缺钱，却是一以贯之的困扰；拉赞助，每年都是一桩头大的难事。曾山回忆到：

我们不断被人从办公室赶出来，一位CEO甚至因为我们不够体面的乞求行为给我们上了一课。（信息来源：《高处有世界》）

所幸大家脸皮够厚，运气也够好。1990年一家台资企业赞助了7500元现金和10双休闲鞋；1991年可口可乐公司赞助了4000美金。

而最令人印象深刻、拍案叫绝的赞助则是在筹备慕士塔格攀登时：那是1993年，北大校园里突然来了一辆大卡车，卸下7万包方便面——营多方便面为此行提供的赞助。

从此，燕园里便多了一群卖方便面的孩子：

一群人只好卖了很久的方便面，暑假还没到，人人都已经吃腻了方便面。（信息来源：《高处有世界》）

站在8000米之巅——1998年，北大百年校庆给了山鹰社新的发展机遇，在各方的关注与支持下，刚刚9岁的山鹰社，选择用颇有北大风格的方式为母校献礼：攀登海拔8201米的世界第六高峰卓奥友峰。

1998年5月，依靠不到20名在校学生和毕业老社员自己修路、运输、建营，山鹰社最终成功以无氧方式登顶卓奥友峰。这次攀登中，除了一名在大本营指导的技术顾问外，没有一名高山向导随队一起攀登。

这是中国民间登山团体第一次登顶8000米级山峰，也几乎代表了90年代末中国民间登山事业的最高水平。

20年后的2018年，时值北大120周年校庆，山鹰再一次献上山鹰风格的献礼——由山鹰社员和知名校友组成的联合队登顶了海拔8844米的珠穆朗玛峰。

山鹰，再一次翱翔在了8000米的群山之巅。

在伤痛中，继续前行

不必赞许，不必惋惜，也不责难；但求了解而已。——斯宾诺莎

高山之巅，有荣耀，也有伤痛。谈到山鹰社，人们总不免提及1999年和2002年的两次山难：

1999年，山鹰社雪宝顶女子登山队一名队员在攀登过程中不幸滑坠身亡；
2002年，希夏邦马西峰，A组五名队员因雪崩遇难。

这是山鹰社登山历史上绕不过去，也绝对不容忘记的坎。山难不仅改变了部分人的人生轨迹，更影响了中国民间登山的发展。

飞翔的代价——相较于1999年的雪宝顶山难，2002年的希夏邦马西峰山难则广泛引起了全社会的关注，引发了大家对于大学生登山的激烈讨论。

山难的发生，不是没有原因。一如当年的社长、登山队队长刘炎林在书中反思：

虽然有1999年的山难，然而1998年的卓奥友攀登带来的自豪自信依然在回荡，2001年穷母岗日的成功更是令我们振奋。（信息来源：《高处有世界》）

在这样"略带盲目"的乐观下，山鹰社选择了一座完全超出自己当时能力范围的山峰。

直面着无垠的山岳雪原，山鹰社一直走在民间登山的最前方，他们少有同行者，缺少足够的经验和参考；而学生队伍时间、资金的限制，以及不合时宜的过分自信，让他们没有对山峰抱有足够的重视：

没有采纳西藏登山协会"租卫星电话、请向导、更换攀登季节"的建议，选择了不合适的攀登季节以及路线......

这一切因素，促成了最终的山难。

山崩地裂，山鹰折翅。

意外抉择——处在风暴中心的山鹰社，奇迹般没有被解散。相反，北大校方以惊人的决断和魄力，保护了山鹰社的传承和发展。

山鹰社展开了旷日持久而细致入微的讨论、总结，刘炎林回忆：

各种各样的总结会一直从当年8月份开到了第二年三四月份，山鹰社历年的许多老队员都赶回来参加。（信息来源：《回望北大山鹰社02年山难》刊于《南方都市报》）

这一系列讨论会的成果凝成了2004年出版的《山鹰社登山手册》。

在做好善后工作的同时，山鹰社与校方、登协共同建立并完善了风险把控机制——登山答辩会。这一之后广泛被各个高校登山社团采用的方式。

另一方面，2003年重回玉珠的攀登，则明确了山鹰社的登山模式：登山训练。

山鹰社是一个以登山为主要活动形式的学生社团。选择登山，但是不挑战高难度的山峰，而是提供一个培养对攀登的兴趣以及攀登的基本技术的空间。

学生社团，意味着我们有所能有所不能，选择目标的时候要切合我们的能力。（信息来源：刘炎林《2002－2003：山鹰琐忆》刊于北大未名BBS）

那年夏天以后——2002年的夏天，改变了部分人的人生轨迹。譬如，经历了1999和2002两次山难的李兰在那之后成为了一名自由攀登者和登山教练，希望能够用自己的力量不再让更多悲剧上演。

这次山难也改变了国内登山的发展历程。2002年7月，国家登协出台《国内登山管理办法》，规定：

组成登山团队须配备相应的登山教练或高山向导。
登山教练或高山向导须持有国家体育总局批准的资格证书。
1名登山教练或高山向导最多可带领4名队员。

随后，面对更广大登山爱好者人群的商业登山逐渐兴起。

山鹰社，也由此跨入了新的时代。

因为山鹰

30年积淀，山鹰社践行着诞生的初衷，也成为了高校登山社团的引领者。

据统计，山鹰社后全国诸多高校也纷纷效仿创立了登山社团，如清华大学学生山野协会（简称清华山野）、中国农业大学峰云社、中国人民大学自游人协会以及北京地大大地社等等。

以现在的眼光回望快30年前的那段时光，山鹰社早期发展中充满了无数偶然，却始终不断奋进，在户外领域开辟出一片属于自己的天地。

明年4月1日，山鹰社将迎来自己的30周年社庆。一群散落天涯的"山鹰"，用属于每个人的青葱记忆，书写了一部雪线之上的信仰——《高处有世界》

期待山鹰社这群年轻人，以及更多的高校登山社团或其他户外组织的年轻人，能够在之后给我们带来更多惊喜和奇迹。

另户外探险读者特殊福利，添加户外探险官方管家微信：小犀牛（xiaoxiniu2002），前100名读者可6折订购《高处有世界》，售完截止。

扩展阅读：

户外探险杂志：五名学生长眠雪山，这场山难曾举国关注

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：户外探险杂志

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

我和生物学这些年

从很小的时候就有居心叵测的叔叔阿姨表扬我长得像冯巩, 所以我小时候关于未来的理想是当一个相声演员,和郭老师一样成为搭档的爸爸。直到有一天。那是一个夏日的午后, 我手执一只麻皮椿象(chou da jie)，高举过头，而院子里发育比我早整天欺负我的小姐姐在这种力量下瑟瑟发抖。我第一次发现，原来生命是这么的让人敬畏，于是决定长大要当一个生物学家。这只麻皮椿象残留在我手上的散发着香菜味儿的醛类，不断的提醒我，"21世纪是生物狗的世纪"。很多年后，在面对审稿人的枪口时，我会想起这个半翅目昆虫赐予我力量的遥远的夏日午后，默默的往羊肉汤里撒了一把香菜。

小时候我对昆虫学的兴趣在于昆虫分类学，这于我简直像是一个卡牌收集类游戏，每当捉到一只少见的种类，那种感觉就行阴阳师开出SSR。我曾经捉到过一只广翅目巨齿蛉，那种喜悦，大概就跟非酋第一次开出恣木童子差不多。为什么我后来没把昆虫分类学当成职业呢？这就有点像一个学精算的，最后大致不会选择超市收银这种柴务工作（ @邓铂鋆，D大同行）。成本收不回来。当然为了看虫子这个爱好，我在本科毕业的时候在亚马逊雨林里呆了一个星期，天天晚上Night walk钻雨林看虫子，算是了了我儿时心愿。亚马逊雨林的经历后面再说。

后来我转变方向，开始研究动物行为学，比如斗蟋蟀。最多的时候家里有四十多个瓶瓶罐罐养蟋蟀。半夜拿着手电挨着蚊子咬钻路人常屙野屎的地方捉蟋蟀是我经常干的事情。对蟋蟀品相的判断标准了如指掌，比如什么"大头尖腚咬起来没命"。捉到好蟋蟀我就带着去花鸟鱼虫市场和买蟋蟀的小贩们切磋，规则就是抓俘虏，输了的虫归对方。我有一次捉到一只无比猛的，在市场上打遍五元以下无敌手。我不无得意的说哥的蟋蟀是吃屎长大的，比你们这些吃米的蟋蟀高到不知道哪里去。后来在突然降温的初秋给冻死了，我把它冻在一个冰块里，在冰箱里冻了三年。后来有一次停电太久，就化冻臭掉了。读硕士的时候研究的东西也和动物行为学沾边，研究为什么Fintch雄鸟唱歌好听雌鸟不唱（特别不平权）。花了三年的时间，什么也没有研究出来。后来读博士之后国外有个组做了个实验，在鸟窝里放录音机，播鸟叫，后来放录音机的鸟窝里的蛋都被野猫掏了，没放的没事儿。所以他们得出了结论，雌鸟要是会叫这鸟啊早他么灭绝了。

高二那年我们高中（某大学附属高中）承办生物竞赛，所以参加国家集训队的名额有三个，而且决定保送名额的复赛是某大学出题。作为从小偷偷摸摸看男女人体解剖图谱的生理卫生学百晓生，我和另外十几个学生在学校的组织下，逃课一个多学期准备生物竞赛。初赛我考全市第一，差点满分。复赛准备阶段开始培训大学教材，基本是某大学教授们来给我们讲课。研究生入学考试难倒万千生物学学生的王镜岩版生物化学，我高二就倒背如流。后来的结局呢，我们和宿敌高中各自保送五个，我们这边五个里面四个是出题的某大学子弟，宿敌高中五个里面四个是省委子弟。剩下的人都不知道自己的成绩及名次。我后来回国找教职的时候又被某大学坑过一次，这我就不细说了。到现在我们市这一批参加了生物竞赛复赛的选手，包括最后得了全国金银牌的，貌似只剩我一个还在生物这个坑里。

高考那年赶上非典，所有人的志愿都报的乱七八糟，加上我脱产搞了一年生物竞赛，最终连滚带爬的刚刚过了一所食堂达到世界一流水平的985大学生物系分数线。整个本科阶段基本都在打篮球与打CS中度过，篮球水平大概是这样的（打篮球时有什么很棒的过人技巧？），

基础课学得一塌糊涂，专业课凭着高中底子都还不错，所有的实验课都是优秀。本科快毕业的时候得到一个机会：美国一个教授是我们院的客座教授，搞动物学的。给我们做讲座的时候说他在组织美国学生去亚马逊雨林和加拉帕格斯群岛，欢迎我们参加。我当时听了虎躯一震，心想这次不去下回有机会还不知道何年何月。于是拼着正在考研复习也报了名准备材料。于是本科毕业那年的五月，我飞往厄瓜多尔。

我们进入的是该国雨林最原始的一部分，和哥伦比亚接壤。从首都基多飞到一个小城市，1个多小时以后，飞机开始下降，穿过云海，我看见了从小无数次在电视上照片上书上看到的景象，茂密而翠绿的热带丛林中间，巨蟒般盘曲着一条大河——亚马逊河。我知道这肯定不是亚马逊河那宽达几公里奔流6000公里的主流，而是从安第斯山脉滚滚而下的他的15000条支流之一，但依然让我兴奋不已。下飞机后，还要沿着一条幽暗的小河道坐着独木舟往雨林深处行进3小时才能抵达营地。营地住宿是些小木屋，木屋四角上有木砖支撑悬在半空，只有一面有木墙，其他三面都是空的，连窗户都没有，说是木屋，实际上是个木头亭子。可想而知这屋子晚上会比较热闹。木头亭子里还有个马桶，我掀开盖儿一看，一个树蛙在里面直愣愣的盯着我看。

我在雨林住的这一周，早上裤子里爬进过拳头大捕鸟蛛，手指被黄蜂蛰过，脚被红火蚁叮过，冲澡的时候头上爬过巴掌大的蟑螂（身上还有美丽的花纹）。也钓过食人鱼，在有食人鱼和凯门鳄的湖里游过泳，在林子里像人猿泰山一样荡过藤蔓，见过部落里的萨满；被暴雨困在深林里两小时，最后趟着齐腰的积水回营地。基本上想象到的想象不到的野性亚马逊玩儿法全都玩儿遍了。

一周之后，我们钻出雨林，在基多休整了两天。立刻飞往达尔文最早得到进化论灵感的地方，加拉帕格斯群岛。我们在船上住了十天，每天夜里从一个小岛驶往另一个岛屿，观察了每个岛上地雀的差异，和鲨鱼、鳐、海狮一起潜过水，见了孤独的乔治，看到了成群结队的海鬣蜥（哥斯拉原型）和陆鬣蜥。后来出国读博士，去了不少国家，但南美这20多天依然是唯一称得上Trip of my life的旅行。

从南美回来，考研也尘埃落定，我去了帝都的积水潭女子师专读硕士。读生理学。宿舍里面有个温州同学，读动物行为学，主要研究的内容是从熊猫大便里面提取激素。还有个四川同学，主要研究湿地的鸟。还有个在新疆读本科的山东同学，研究河流生态，平时主要实验是筛沙。这些研究方向简直令人着迷。我于是经常和这三个加起来可以喝40瓶啤酒的室友一起喝酒。喝酒的标配是燕京加泡椒凤爪，话题标配是温州同学说操实验做不出来老板变态，四川同学说操头发又少了，山东同学说操腰肌劳损。后来温州同学换了专业，也去研究师弟的鸟；四川同学的头发全没了，所以不再感慨头发；山东同学终于去了盲人按摩，盲人师父摸着他的根骨，自信的说，小兄弟，你是民工吧？于是他果断quit生物，进了著名流氓软件公司当了销售，现在做的风生水起。

整个硕士期间我自己的科研做的乏善可陈，但积水潭师专的生态学全国第一，有个一个特别有趣的大牛老师。我经常去听他的种群生物学课程，听他扯物种起源，自私的基因，中性进化。前几天看知乎有个题目，问有没有什么性状在进化上是不利于个体生存但利于种群生存。孔雀的大尾巴其实就是一个很好的例子，拖着大尾巴的孔雀面对天敌时的存活率肯定不如秃尾巴的大，跑不动嘛。然而自然选择为什么没把这种大尾巴的性状淘汰掉呢。为了弥补进化论的理论漏洞，生态学家提出性选择，假如雄孔雀都没尾巴，雌孔雀在择偶的时候就会很踌躇，所托非孔雀的概率就会大大提高，这在进化上对物种很不好。所以雄孔雀长了一个大尾巴，雌孔雀一看，我靠，带着这么一个累赘还活得生龙活虎有滋有味的，就很倾倒，大尾巴的基因就这么传了下去。换种说法更好理解，就是我们身边始终存在一种长着E cup胸部，以至于走路不稳的女人，她们个体生存能力降低了，可是在性选择上处于优势。这个例子我也给一个小姐姐讲过，小姐姐悲愤的对我说为什么我的个体生存能力不降低呢。至于对于大尾巴或者大胸部最初的审美是怎么形成的，费舍尔的理论认为大尾巴开始是偶然突变产生的，对孔雀的飞翔起着积极的作用，雌性很热衷于选择这个样子的，于是大尾巴的基因蔓延开来形成了雌性对大尾巴的审美情趣，于是在正反馈的作用下，像军备竞赛一样，孔雀的尾巴越来越长越来越累赘。

硕士期间我只发过一篇中文论文。但某个暑假去英国做了两个月的访问学生，在我后来博士实验室做实验，被我后来的老板看中了，强烈要求我读他博士。于是我硕士毕业就奔赴英国，转了方向，做离子通道。博士第一年基本上都是做各种免疫荧光。当我还是一个无忧无虑头发茂密的硕士，我唯一拥有的相机是一个卡片机，而生物狗的身份基本断绝了我像陈老师一样不靠器材就能在摄影界大放异彩的可能性。看着同寝室的鸟学硕士挺着800mm黑又硬大炮去研究湿地的鸟，昆虫硕士拿着百微环闪去拍臭虫的交尾，羡慕莫名。直到我去英国成为了Ph.D。很多年后，当面对拍鸟的大炮时，我依然回想起我Ph.D第一周时，埃及胖子默罕默德∙S∙艾莫带我去看DeltaVision荧光显微镜的那个遥远的下午。所有摄影器材在它的面前都显得那么Simple，那么Naive。一个不用全幅不用大三元不用妹子也能拍出牛逼照片的方法向我打开了大门。

博士花了两年，做了一篇Paper，试了几个10分左右的杂志，基本都送审了，但审稿人的要求一本比一个难实现。另外一个参与的文章，第一次投稿投的Nature Cell Biology,影响因子20左右，被拒绝。转投Mol Cell，影响因子14，被拒绝。转投Circulation Research, 影响因子12，被拒绝。转投JCB, 影响因子8，被拒绝。老板一怒之下把稿子压住了，说你换个新方向，研究一个新发现的离子通道的生理功能。细胞水平做的很顺，结果不错。于是投了顶级杂志。编辑直接Reject，说要动物数据。补了敲除鼠，重投，送审。审稿人的主要意见是要Mechanism。于是花了4个月，大修补数据。我们运气不错把机理做出来了，然后论文投了回去。结果审稿人又冒出问题，认为我们的敲除是全身性的，不够specific，要求我们做组织特异的敲除。并且只给我们两个月。当时Crispr-cas9还没广泛应用，两个月的时间重做敲除鼠肯定不可能。我们运气好在为了下一个课题，我们早就在做组织特异敲除鼠。终于在deadline前送了出去。两个月后接受。从第一次投出去，到接收，一共一年零八个月。这一年零八个月里，我基本上一个周末都没有休息过，每天夜里下班看到的实验室是这样的

在为了这篇文章延期了一年之后，我迎来了我的博士论文答辩。英国的博士答辩和别的地方的不太一样：一个本学校的内审，一个外校的外审，两个人拿着你厚达400,500页的博士论文，在一个小房间里，一页一页拷问你。我的答辩持续了4个小时，算是比较正常的。我还听说过答辩两天的。

2015年，距离我举起麻皮椿象从而立志学生物的那个午后过去了20年，我终于拿到了我的生物医学Ph.D学位。真正学生物的十几年里，各种痛不欲生是日常，实验结果没几次如你所想，发际线也大踏步后退。但在这个坑里，有一点总是持续的吸引着我一直往前走，这就是在这个整体非常无聊的世界上，生物学总能带给我难能可贵的趣味。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：Cool Ape

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

解惑“法医学”专业各种问题——（二）法医专业求学、就业的各种问题篇

在上一篇中，介绍了法医学专业的基本情况和关于职业工作的一些问题。

死者代言人：解惑"法医学"专业各种问题——（一）专业和职业基本介绍篇

下面这一篇进入到如何学习到法医学专业，选择学校、选择专业、就业上的一些更细节的问题。还有一些零零碎碎的小问题。

（希望没有下一篇了。。。。）

一、法医学专业求学

（一）明确学习原因

我很喜欢《法医秦明》、《CSI》，我很喜欢推理，我喜欢破案，我想当法医。

并不是反对从各类影视剧或者小说中"得知"一个职业，但是这远远不是你觉得"我了解这个职业"的途径！！

职业规划是一个很严肃的事情，毕竟艺术作品与现实有很大差异。仅凭一时热情、三分钟热度可是不行的，甚至事后了解实情可能误了前程啊！

各种影视剧、小说中所塑造的法医形象往往是为了剧情需要，是为了迎合观众们的猎奇心理或者艺术效果，是做了一定程度的艺术加工的，这种聚集了积极向上的正能量，仿佛聚集了大量的优点于一身的完人——胆子大，不惧脏、乱、臭、冷静睿智、一丝不苟、精准推理、富有人情味儿而又无所畏惧。

醒醒醒醒，这不是一个活人，这是一个被贴满了各种优秀标签的艺术形象！！！！

现实的法医是一个鲜活的人，是生活中形形色色的人，可能每个人都有一些优点，但是也肯定是带着自己的缺点的。千万不能因为一些职业特点而给他们直接打上XXX的标签，这很不公平，也很不实际！

我坚持认为：
选择一个职业的时候，绝对绝对绝对不能仅仅关注这个职业的光环，相对于一个职业所能带来的好处而言，更需要关注一个职业的真实情况，关注那些更可能让人不喜欢的方面。
一份工作，不能接受工作中的某个方面的时候，不能继续从事下去，那些优点、那些好处对于这个人也就没什么意义了。

《法医秦明》这类网剧，并不是一个展示法医真实工作状态的影视作品，这其实应该算是一部犯罪类的偶像剧。

因为它不真实。

采用大家最喜闻乐见的方式塑造一个符合大家想象中的法医形象：冷酷，认真，帅气，对重口味淡定的异乎常人等等等等。

毕竟如果掏出来一个邻居家王叔叔的形象，是没人喜欢的，没有收视率的。

现实中的法医不应该穿着小西装、扎着领带出现场，不应该没有保护就上手干活，不应该把生活的衣服穿到工作中来。

影视剧为了收视率，为了吸引人，往往都是着重塑造与死亡有关的病理法医，实际法医的分类还有很多。而且为了剧情需要，往往还将大量的痕迹工作人员或者是其他刑事技术工作人员的工作加到了法医身上，显得似乎法医非常神通广大一样。

我很喜欢尸体，我喜欢重口味，我能边吃饭边看尸体图片！我不怕血腥，我胆子大，我适合当法医！

法医绝对绝对绝对不是因为喜欢看重口味，喜欢看尸体，喜欢这些东西才来当法医的！！

曾经有人加了我的微信之后，天天追着我要尸体的照片，追着我要血腥的，杀人的视频，我一再表示我没有，工作中的照片涉及保密，不能外传。

最后人家来了一句：你不喜欢尸体你当什么法医？？！！！！！！！！！！！！！！！！

什么逻辑？？？删除不送！！

谁说当法医就要喜欢重口味的？谁说当法医就要喜欢尸体的？谁说当法医就要喜欢血腥的？

我喜欢的是追求真相，我喜欢的是用自己的努力换来一个公平公正的结果。

血腥的现场、令人不适的气味、不辨人形的尸体，这些是为了实现这个目的，得到真相所必经的工作内容。

为了追求最终的真相，为了让凶手不至逍遥法外，为了让活着的人得到安慰。

这是这个职业身上的美好光环和吸引人的目标。

为了这个目标，我愿意接受这些让人难受的场景，愿意经过这些污秽去得到背后的事实。

这怎么就成了：法医冷血无情，法医喜欢重口味，法医是变态，法医是肮脏的？？？？？

法医行业并没有什么类似"喜欢尸体、不怕血腥、不怕鬼、强大心理素质、不与人交往"之类的特别要求，以自己有这些特点而认为适合法医更是极其的不靠谱！！！！这种观点也是非常错误的！！！

（二）为了学法医，高中需要怎么做

学习！

好好学习！！

只有好好学习！！！

啊，当然也要做对职业的了解，比如看我这篇文字。

想学法医，高中/初中要学好哪一科？

学好每一科！！不需要刻意特别的学好某一科。偏科才最可怕！

大学无论学习什么专业，初高中的各种课程都是基础，基础中的基础。也只有学好每一门，才能在未来的中考、高考中考得好的成绩，这才是你最后能选择你想学习的专业的资本。

当前的录取考试，是以分数说话的，分数不够，考不上大学，达不到录取分数，其他都是空谈！

需要提前看医学/法医学的书来打基础？

完全不需要！！！！

好好学习，学好高中的各种课程就是打下的最好基础了！！！

大学里有足够的时间来更加系统、科学地学习医学和法医学知识，完全没有任何必要在中学阶段就开始所谓的"打基础"。零零散散的提前学习这些，并不能对高考有什么特别的帮助。

况且，法医的基础是医学，医学的基础就是高中阶段学习的这些课程，学好现在的内容就是在打基础了！！

不要想着造空中楼阁！

什么基础都还没有的时候就想着"我要看什么专业书提前做准备"。

这是没有意义的。谁知道准备出来是摩天大厦还是茅草屋呢？

此外，法医学是一门经验类的实践学科！其实医学本身就是！

书本上的理论知识远远不够，高中阶段学点书本理论并没有什么用处，距离真正的实践还远得很，没有系统的、成体系的学习只会让你们越学越混乱！

要学法医，应该选理科还是文科？

这个问题需要区分当前正在进行的高考改革。

改革前和尚未进行改革的：理科。
已经改革后和即将改革的：从目前情况看，医学类专业的招生仍然集中在选择"物理、化学、生物"为主。或者是"化学、生物"，勉强可以不要物理。

纯粹的文科类可能性还是不大的。

比如这个浙江的：2018年拟在浙招生普通高校专业（类）选考科目范围

大部分的医学类专业需要选择的科目都是物化生。。。会有部分是化学和生物。。我大四川大学甚至是"不限"，不过为了自己未来高考的时候有更多的选择，还是建议尽可能的选择物化生比较稳妥一点。

至于想要更精确的某些学校的具体要求，可以结合下面列举的学校，具体到学校的网站—招生板块寻找相关的通知。或者去本省的招生网站寻找。

已经选择了文科or选择了文科类的科目，还可以报考法医学专业吗？

未改革的，文科生不能报法医学专业。法医学专业只招收理科，同理，绝大部分医学类专业都是只要理科。

已经改革的，未来有机会选择那些不限科目的学校，但是相对的选择范围可能就小了一些，具体请向本省考试部门咨询，或者自行到相应学校的网站上寻找公布的类似规定。（一般寻找方法：大学首页—招生就业板块—本科生招生—寻找规定或具体老师联系方式）

已经选择文科的孩纸们，有一条理论上的道路可能可以实现法医梦：
高考—报文科类或者文理兼收的A专业—录取—符合学校转专业条件—转专业到法医专业。
这种路径需要满足几个必须的条件：
1.该学校必须开设有法医学专业；
2.该学校必须有能招收文科生或者文理兼收的A专业，并且满足A专业的录取条件（这里最好是与医学相关的，比如护理、中西医这类专业，但是我见到过有学校不接受护理学专业转入法医学的规定哦。所以，继续看下面。）
3.该学校允许转专业
4.该学校允许从A专业转到法医学专业。
5.自己的条件符合该学校的转专业要求、限制。

6.最后通过了转专业的考试、面试等等。
以上条件必须同时满足才能顺利转专业。注意：同时满足！
某一环被卡住都意味着基本没戏。所以，强烈不建议这条路，风险太大。

采用这种方式，务必提前咨询好所有步骤的条件，以及最重要的是做好不满足条件，只能就读A专业的各种准备。

与其赌这么多的不确定，还不如。。。。。。高中降个级。。。去读理科吧。

什么？？？理科实在不好？？？额。。。。我还能说啥？

法医找工作有没有身体限制、视力限制、色觉限制？身高太矮？近视行不行？色弱、色盲行不行？

首先，这些限制的目的都是为了能够完成学习，胜任最后的工作。所以，限制的目的是从学习和实际工作的角度出发的。

身高：

这一点是从未来工作角度来的，本身学习并不需要特别要求身高。

毕竟法医学专业的毕业生绝大部分是要走向公安机关岗位，成为"心心念念"的破案那种帅法医的。

曾经的公安机关招录警察是有明确的身高要求的，但是现在已经取消啦！！！！

不过别高兴太早，现在没有了明确的身高数值要求，但是考录警察是有体能测试的，体能测试中的一项——纵跳摸高是有高度要求的。

具体：公安机关录用人民警察体能测评项目和标准（暂行）

标准：男子≥265厘米，女子≥230厘米。
三、纵跳摸高
　　场地要求：通常在室内场地测试。如选择室外场地测试，需在天气状况许可的情况下进行，当天平均气温应在15~35摄氏度之间，无太阳直射、风力不超过3级。
　　测试方法：准备测试阶段，受测者双脚自然分开，呈站立姿势。接到指令后，受测者屈腿半蹲，双臂尽力后摆，然后向前上方快速摆臂，双腿同时发力，尽力垂直向上起跳，同时单手举起触摸固定的高度线或者自动摸高器的测试条，触摸到高度线或者测试条的视为合格。测试不超过三次。
　　注意事项：（1）起跳时，受测者双腿不能移动或有垫步动作；（2）受测者指甲不得超过指尖0.3厘米；（3）受测者徒手触摸，不得带手套等其他物品；（4）受测者统一采用赤脚（可穿袜子）起跳，起跳处铺垫不超过2厘米的硬质无弹性垫子。

身高高度在这里是有优势的。。。。当然，身高不高，但是也能达标倒是也可以。

视力也是找工作的要求，这次是根据：公务员录用体检特殊标准（试行）

第一部分人民警察职位
第一条 单侧裸眼视力低于4.8，不合格（国家安全机关专业技术职位除外）。法医、物证检验及鉴定、信息通信、网络安全管理、金融财会、外语及少数民族语言翻译、交通安全技术、安全防范技术、排爆、警犬技术等职位，单侧矫正视力低于5.0，不合格。
第二条 色盲，不合格。色弱，法医、物证检验及鉴定职位，不合格。

可见，度数低一点的近视也还好。。。实际工作中也有很多戴眼镜的法医哒。

至于色盲和色弱则是完全的不合格。

除此之外的体检标准还有：《公务员录用体检通用标准（试行）》、《公务员录用体检操作手册（试行）》和关于修订《公务员录用体检通用标准（试行）》及《公务员录用体检操作手册（试行）》有关内容的通知。

上面这些都是考录公务员所要求的体检、体测标准，至于社会鉴定所等则一般没有这么严格的要求了。

基于以上这些要求，部分学校会出于对学生未来就业负责的角度考虑，在招生阶段就按照这类要求提出一些限制，比如：

你们秦明大大的母校—皖南医学院：皖南医学院2018年普教招生章程

5.体检标准：按《普通高等学校招生体检工作指导意见》及有关规定执行。新生入校后需进行体格检查，体检结果异常者按我校有关规定执行。报考法医学专业学生需参考《公务员录用体检通用标准（试行）》（国人部发〔2005〕1号）、《公务员录用体检特殊标准（试行）》（人社部发〔2010〕82号）及《关于调整公安机关和监狱及劳动教养管理机关录用人民警察招考年龄的通知》（人社部发〔2011〕115号）对体检、体能测试要求及年龄要求，以免影响今后就业。左利手（左撇子）慎报口腔医学专业。

再比如苏州大学本科招生网：

第十一条 报名条件
2.身体健康状况要求：……报考法医学专业者，建议身高男生不低于1.70米、女生不低于1.60米。

再再比如：昆明医科大学

（4）双眼矫正视力 4.8而镜片度数大于 600度，各专业慎录（考生慎报），矫正度数大于 800度各专业限录（考生慎报）。（5）左利者口腔医学专业不录。（6）皮肤过敏：药学类各专业不录，其他慎录（考生慎报）；酒精过敏者，医学类及医学相关类专业不录。（7）原则上，法医学专业建议身高为男生≥165cm、女生≥ 160cm（考生慎报），同时要求体重不超过标准体重 25％，不低标准体重15％；护理学专业建议身高为男生≥165cm、女生≥158cm（考生慎报）；医学类及医学相关类专业建议身高为 ≥150cm者（考生慎报）

（三）高考后，法医专业怎么报志愿？

首先，我要强调一点：关于高考志愿报考，我并不属于专业人士，这方面我仅能从原则性角度给出一些建议，具体的实际操作请向自己的老师咨询，他们会专业的多！！

学法医要考多少分？多少分才能上某某大学？我想去某某大学最低要考多少？？

首先，高考虽然时间上是全国统一的，有一些省份连试卷也是一样的，但是到了录取的时候是要分省的！！！！

所以，没有自己所在省份的信息，不针对某个具体学校在自己省份的具体情况的问题是毫无意义的。

当然，知乎似乎也并不是进行这种咨询的常规网站吧。。。。。

一般而言，报考志愿有这么个流程：

1.了解那些学校在本省有招生计划；

2.了解具体招生人数；

3.确定自己有意向的学校；

4.寻找学校历年分数线；

5.结合自己情况，确定自己是否有机会或者判断大致需要什么样的分数。

实际上，因为具体省份的不同，学校的不同，招生计划也可能在变，每年的题目难易程度等等都存在变数。不管不顾的上来就问"多少分能读法医学"、"多少分能不能去某学校读法医学"没有任何意义的，也没人回答的了。

目前开设法医学本科专业的部分大学名单：

四川大学、西安交通大学、复旦大学、华中科技大学、中山大学、中国医科大学、山西医科大学、河北医科大学、内蒙古医科大学、苏州大学、皖南医学院、济宁医学院、新乡医学院、中南大学、广东医科大学、重庆医科大学、贵州医科大学、昆明医科大学、新疆医科大学、河北北方学院、内蒙古科技大学、南京医科大学、赣南医学院、河南科技大学、川北医学院、遵义医学院、南方医科大学。

顺序不代表排名！！

时间仓促，可能搜集的不是很全！如有缺漏和学校名字错误，还请评论指出，及时补充！！

什么学校的法医学专业最好？

"最好"这东西同样意义不大。

我国并没有官方的法医学排名，坊间流传的这家第一那家第二的都只是民间自己的排名，有多大效力真的难说。

这种第一第二的排名其实很虚的，在学习这件事上，"历史的进程固然也重要，但是更得考虑个人的努力呀"！！

学校录取分数有时候能反映一定的问题。。。。所以，高中好好学习，高考考出尽可能高的分数来，到时候还不是随便挑、美滋滋？

那到底要怎么选学校？

多方考虑，适合自己！

选大学不仅仅要考虑学校好不好，学校所处的城市，地域也都是很重要的问题。

比如南方的孩子到北方上大学，北方的孩子到南方等等，气候、饮食、风俗、离家远近等等都是问题。吃喝拉撒的出了问题，足以打击掉学习什么专业的快乐的。

有一点是肯定的——请选择医学院校！

沈阳的中国刑事警察学院虽然也有法医，但是那个算是个"第二学位"，自己也并没有专门的医学教育基础。工作上，警院不警院的都要参加公务员考试。。。也没什么例外的。

所以。。。还是选择专门的"法医学"专业就读最靠谱了！

尤其是医学水平比较高的学校！法医学的基本是医学，高水平的医学教育可以提供一个良好的医学基础，医学基础牢固了，未来可以带来大量的便利。

能去原来的985、211当然最好。。。。要不现在双一流也成。。。

不过最基本都是。。。自己考得上，进不去不都是扯犊子？？

听说学临床医学也可以当法医？

额。。。。

这是个有点复杂的问题，详细版的见这个回答：

如何评价医生都可以当法医而法医却不能当医生这句话？

脱水版的解释就是：

想当医生，必须要通过执业医师资格考试，就像开车上路要拿驾照一样。参加这个考试是对学历和专业有要求的。按照国家文件的相关规定，现在本科法医学专业的学生已经不能参加医师资格考试了，即使再考临床医学的研究生也不可以！

这就意味着，本科是法医学，则未来基本没可能取得医师职业资格，也就没可能去当医生了。

但是在公务员考试中，有一部分省市为了扩大招考的人员范围，尽可能的招到人，会把专业限制从法医学扩大到临床医学，甚至是医学类专业即可。

只是未来工作之后还要参加一定时间的法医学专门培训和进修。

这也就是，临床医学专业的为什么可以未来当法医的原因。

通过报考临床医学，未来参加公务员考试从事法医工作这条路，有利有弊吧。

临床医学专业未来就业面相对广一点，即使不想当法医了，还是可以去当医生的。。

只是。。。。似乎是一条更坎坷的道路。

弊端是临床医学可以报考的岗位相对法医学可以报考的比较少了一点，而且大量是很基层的岗位，同时未来有什么岗位也不是能提前预知的，存在很多的不确定性。

专业学习上，两者的医学基础课程基本是一致的，法医学多了一些法医课程，临床多了一些临床课程。但是思维方式上的区别是更为关键的，教学中，不同专业会或明或暗的讲授一些思维方式方面的内容，这个东西比较玄。。。要说也说不太清，总之就是一种思考问题，解决问题的思考方式，这一点对于工作来讲还是很重要的。

临床医学未来转到法医学可能需要在思维方面补很多。。。而且可能并不如一开始教育的时候就培养来的更快速、更方便、更深刻一点。

法医学未来需不需要考研？？？？

就业而言，目前公务员考试的路子对学历的要求还大多是本科以上。

所以，法医学专业本科毕业即可参加公务员考试，成为法医。

至于研究生，会有部分高级别单位要求硕士学历以上，但是这类岗位相对少很多。

读研究生会有一些优点，比如：进行了更深层次学习；通过导师接触了一些法医学界专业的大家；公务员直接定为副主任科员；如果想留校，研究生是个起步吧。

可是。。。同样也有缺点了：

还要三年读书，交学费、花时间；未来同样还得就业，还得靠公务员，甚至可能因为硕士岗位太少或者没有心仪的，得去和本科弟弟妹妹竞争，公考也不给硕士什么额外的青睐；副主任科员这么个级别，工资上比本科进来的科员多上百十来块的，单位级别也不高，未来没什么大的晋升的话，其实没什么不一样。

当然啦，本科毕业就就业的话，最大的劣势也就是学历问题的，未来虽然可以通过在职啊什么的继续学习，但是一来这事到时候就不是自己说了算了，得单位同意哦；二来到时候还有没有考研的勇气、时间、能力。。。掂量掂量自己吧。

其他专业跨考法医学？？？

跨考本身就很有难度，很有挑战。

先明确自己为什么要跨考的原因吧，看看自己究竟为什么想去学"法医学"。

如果是这篇文字之前那些原因。。。。。

呵呵呵呵呵呵呵呵呵呵呵呵~~~~~~~~~~~

医学相关类的专业可能还好点，非医学类的真的基本没戏。

具体要求请到心仪学校的网站去查询，从我的了解来看，基本都是医学类的还有机会，如毒物分析、物证类的可能生物专业有希望。

具体还得询问研究生招生老师，以及最重要！！！

联系导师啊！！！有导师愿意要，那就去考！连愿意要的导师都没有？？？那考个鬼？

导师怎么找？？？？

这点基本的信息查询能力都没有。。。。那还是不要搞什么跨考的幺蛾子了好不好！！！

关于女生报考法医专业问题

这个问题真的是不想提，究竟是要政治正确呢？还是怎么样呢？

基本上啊，每次提到这个问题都是被喷，被指责。。。。╮(╯-╰)╭

以前曾经在一个回答中提到过这个问题了：

学法医专业，从事法医工作是一种怎样的体验？

女生学法医没有任何问题。只能说，当前的现状是：

法医这一行，女孩子找工作是存在客观阻力的——即，性别限制。

大部分大学的法医学专业对性别没有限制，但有一部分学校会出于对未来就业的考虑，建议女孩慎报。只有很少几个学校要求按照公安院校的要求来限制男女比例。

其实出发点都是未来毕业的时候，大家都想去公安做那种最"纯粹"的法医，然而，当前公安是有性别的限制或者是倾向的，相对男性，对女性的招录名额要少得多的多，所以造成了这一部分"想去公安而去不得"的女孩子就业困难的问题。

而去检察、法院、社会鉴定所、保险公司，乃至考研未来留校等，基本都是没有限制的。

未来这种限制或许可以消失，我也是支持平等的，但是当前现状而言，承认也好，不承认也罢，接受不接受，这现实阻力都在那里摆着。

我曾经这样写过：

我的一个女同学，也曾经在最后接触到最真实的法医工作之前认为自己已经看过了很多东西，在学校里接触过尸检，也接触过高度腐败，自己接受这个工作是没有问题的。
可是在半年的实习之后，她表示，这份工作确实太累了，和自己当初想象中的样子不一样。
案子来了没日没夜的工作。半夜刚想睡觉被叫去出现场，天亮了活才干完。因为工作吃不上饭的事情都是再正常不过。
她觉得，这样的情况一次两次可能还好，如果变成了一种长期的状态，她认为这并不是自己所希望的工作。
年轻的时候可以。谈恋爱了呢？有家庭了呢？有孩子了呢？有父母需要照顾了呢？
我并不否认确确实实有十分优秀的女法医，我很敬佩她们。
但这一份工作，女性相对男性，真的是有劣势。无论是体力上的，精力上的，社会的不理解等等等等。
行业的改善是需要一步一步来的，但是基本的工作内容和工作形式是客观存在的。

只能说，权衡好自己的目标选择和风险收益，综合取舍吧。

有的人喜欢提前预知风险，提前做好准备，厌恶做不确定的事情；

而有的人喜欢去搏一个可能，怀揣美好愿景，风险什么的遇到了再说。

无所谓对与错，都是自己的选择。

路是自己走，快乐是自己享，幸福是自己争，好处是自己拿。

当然风险也是自己担，痛苦是自己忍，疾风是自己面对。

这些内容在前面那个回答：死者代言人：学法医专业，从事法医工作是一种怎样的体验？中也用一个局部的数据做了例子，尽管现在这种情况已经有所改观。但是，未来究竟如何，并不好去做一个确定性的预计，是否要赌这个前程——取决于你自己。

至于所谓的从事法医专业，未来在交友、择偶上的问题。

你说人家讨厌你这个职业，你就换个不讨厌的不就好了，还就非要去热脸贴冷屁股？给自己找不痛快能获得经验加成是怎么着？？人生Hard模式更刺激好玩是吗？？

别人不喜欢就不喜欢呗，凭什么要求人家都喜欢自己的职业呢？人家歧视就歧视呗，反正我自己开心就好了嘛？不过话说回来。。。豆花甜咸，粽子白肉都能掐的热火朝天的人啊。

估计给他们什么都能上纲上线吧。╮(╯-╰)╭

父母反对的话。。。。那是自己的问题，有能耐不听父母可以独立生活，那就自由自在。

没能耐，自己又没主见。。。那还是乖乖听父母的吧。

三、就业

终于到了最后一部分了，其实这一部分的内容在前面已经多多少少涉及到了。这里就挑拣一些再详细说说。

（一）就业途径

如前所述的法医就业方向选择，其实就业途径本质上就两条：考公务员和应聘。

进入公、检、法这类必然要经过公务员考试。一般而言一个法医岗位的竞争差不多在1：30左右吧。和很多职位相比，这个竞争比例已经很不错了。

只有一种情况比较特别——特招。

这个特招并不是说直接招人，而是一些单位会面向某一个或者某几个学校有一些单独的名额，同时对报名做了一些限制条件，比如年龄、性别、学习成绩、生源地等，然后符合条件的学生报名后，由单位统一组织参加当年当地的公务员考试，走完全套流程录取。

特招并不意味着不需要考试，也不意味着条件放松。仅仅是一个不面向社会公开的岗位，其中公务员流程都是要走完的。只是竞争的人数会相对更小一些。

这种情况，非特招所面向的学校就没什么戏了。。。。知道就好。

此外，请把那些所谓的"听说"、"据说"、"传说"公务员考试如何如何的东西扔一边儿去吧，自己要是有这种门路这种背景的。。。。那也犯不上去听说了。。。自己要是没有，那关注这种东西对就业有什么帮助么？？还不如刷刷考试题去！

PS:前面提到了一个考录警察的体能测试问题：

公安机关录用人民警察体能测评项目和标准（暂行）

（二）法医专业的大致就业情况

就我个人经历而言，我的同学基本上是三分之一考公务员去了公安和检察，三分之一考研，三分之一当年待业或者直接转行了。

总的来说，想找到一份工作还是比较容易的，但是想找到一份特别满意的，那可是有难度，不仅仅是自己能力啊，学习啊什么的，还有那么一些运气成分的。

这个事情，其实所有的专业并没有什么区别的。

（三）关于就业信息查询

这个问题其实已经超出了这篇文字给高中生看的范畴了。。。不过想来我也偷个懒，省着以后再写了。

各种招聘信息首先可以自己询问心仪的公司，企业，甚至可以直接投简历去。毕业的时候关注自己学校网站上的就业信息，也会有招聘会等发布。

以及，充分利用自己的老师、学长、学姐的资源，法医这个行业圈子很小的。。。很多信息多沟通多询问就来了。

至于公务员的信息，关注各省市的人事考试网站！看看各种通知、公告。

不要没头苍蝇一般到处乱问、乱看、道听途说，放着好好的官方信息发布渠道不去看，东一榔头西一棒子的你也信得过？真是心大！

养成从各种官方渠道获取信息的能力，上学的时候总去自己学校的网站，学院的网站，教务处的网站，就业的网站逛一逛，要不了一局王者农药或者吃鸡的时间，多总结总结各种通知信息，多留心一点历年的情况。

都成年人了，都20好几的人了，也该为自己操点心了。。。。。

———————————————————————————

好了，这两大篇关于法医的介绍终于是写完了，回头看去真是又臭又长。。。。

希望能有点用吧。

最后想说一点，也是我之前在其他回答中说过的：

我希望：

真正喜欢法医的人，切身的了解了这些实际之后，会觉得这就是我想要的职业，不会因为这些就轻易改变了自己的理想。

因为自己主观臆想，误解了现实的人，希望能因为我的文字得到提醒，及时更改自己的目标，不至于在自己并不喜欢的路上熬时间，过得不开心。

我是因为对职业的深爱，无论现实如何依然要披荆斩棘的走下去。

希望可以在前行的路上，遇到你们来并肩前行，甚至后来居上。

2018年6月8日。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：死者代言人

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

订阅：博文 (Atom)