经典网文分享: 对于由非规范变换相联系着的拉格朗日量，由它们正则量子化得到的结果有相同的物理吗?

这个问题我看了半天应该是和Yang-Mills规范理论的规范变换（gauge transformation）没什么关系。题主无非是想说，同样能得出谐振子运动方程的两个函数，为什么一个可以当作谐振子的Lagrangian而另一个却不行，以及它们在物理上一不一样。

有这种困惑其实是由于对物理系统的一般性理解不够深入导致的。我就以你写的这两个谐振子的Lagrangian为例来简单说一下。首先答案是这两个Lagrangian并不等价，自然物理上描述的并不是一个东西。我们就先假设第一个Lagrangian描述的是谐振子系统的动力学，然后看看第二个Lagrangian描述的是什么。谐振子Lagrangian为如下形式：

$L(x,\dot{x})=\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{m\omega^2x^2}{2}$ ...(1)

于是你写的第二个Lagrangian可以用如下代换得到：

$\dot{x}\rightarrow\ a\dot{y}^2+by, x\rightarrow cy$ ...(2)

这里要求，

$a=\sqrt{\frac{m}{6}}, b=-\frac{\sqrt{3m}}{2}\ \omega^2,c=\sqrt{2m}\omega$ ...(3)

最后利用（2）（3）两个式子替换掉（1）式子，用变量 $y$ 重新表述（1）式即可得到你写的第二个Lagrangian,

$L(y,\dot{y})=\frac{M^2\dot{y}^4}{12}+m\dot{y}^2V-V^2, where \ V=-\frac{M\omega^2 y}{2}$ ...(4)

因此可以看出，（1）式的Lagrangian的物理自由度是由 $x,\dot{x}$ 描述，这是一对互相独立的变量，但（2）式的变换若想使得（4）式中的 $y,\dot{y}$ 仍是独立变量，那么 $x,\dot{x}$ 就不可能完全独立，因为（2）的变换总会给出 $x,\dot{x}$ 或者 $y,\dot{y}$ 之间存在一个约束。换句话说， $x,\dot{x}$ 和 $y,\dot{y}$ 不可能同时为物理自由度或者说同时是两组独立的正则变量。众所周知，Lagrangian力学原理都是对系统的正则自由度，或者说正则变量做变分可得运动方程，因此若（1）式中的 $x,\dot{x}$ 描述的是谐振子的物理自由度，那么（4）式中 $y,\dot{y}$ 描述的就不是谐振子的物理自由度，也就是说（1）和（4）并不等价。

上面说的都是一些数学上的技巧，当然你可以从更加数学化的理论，比如辛几何利用纤维丛的语言很容易看出来这两个Lagrangian的正则形式之间并不等价，所以物理上描述的东西不一样。实际上这种情况在物理学里并不少见，如果找到一个系统的Lagrangian不唯一且不等价，那么这只是说明了这个系统真正的物理自由度还不清楚，当然谐振子这么简单的系统不会存在这种困惑。其实物理上区分一个系统的物理性质另一个要素是系统的对称性。比如这里的（1）和（4）式子，（1）式显然具有P宇称但（4）式存在P宇称破坏，所以对称性上也能一眼区分出这两个Lagrangian必然描述里两个不同的系统。再举个例子，比如我们熟知的电动力学，其Maxwell Lagrangian为：

$\mathcal{L}=\mathrm{Tr}{F\wedge ^*F}$ ,如果你在这个Lagrangian里加入一个topological term $\mathcal{L_{\theta}}=\mathrm{Tr}{F\wedge F}$ ,就会破坏Maxwell系统的C,P对称性。尽管这个topological term并不改变运动方程，但是它的存在意味着理论上来说，他描述了不同于Maxwell理论的系统。从对称性上来区分物理系统的例子很多，再比如广义相对论里面经常提到的Gibbons-Hawking term也属于不改变运动方程的项。以及尽管Dirac Lagragian可以得出Klein-Goldon方程，但是描述的却是旋量场的动力学，这就是因为基本物理自由度于Klein-Goldon方程不一样导致的，所以Dirac粒子与Klein-Goldon粒子很不一样。

总之，区分一个物理系统的要素不只是看运动方程，对称性/守恒律，热力学等等也是很重要的因素，所以如果对一个系统的Lagrangian只是做一些数学上的变换并不能一定还得到一个能够真正描述物理系统动力学的Lagrangian。最后说一句，如果做quantization一定是要对系统真正的物理自由度去做才有意义，因为波粒二象性是指真正有物理动力学的正则坐标和正则动量存在不确定性关系，而对非物理的自由度谈及波粒二象性是没意义的。你可以看一些这方面的例子，比如规范场的Faddeev-Popov量子化，如何用Ghost抵消到对非物理自由度的quantization进而保证只有真正的物理自由度存在波粒二象性。还有BRST量子化在场论或者弦理论的应用，用对称性保证量子化是针对真正物理自由度实施的等等。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：CloudK

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