经典网文分享: 为什么极限的 ε-N 和 ε-δ 语言具有划时代的意义？

谢邀

为了方便理解 $\epsilon$ 语言的重要性，下面举两个例子

$a_n=\left\{ \begin{array}{ccc} 1\;\;(n=10,100,1000,\cdots10^m)\\ \\ \frac{1}{n}\;\;(n\neq10,100,1000,\cdots10^m) \end{array} \right.$

其中 $m$ 是正整数。

好了，靠直觉的读者们，请问这个数列在 $n\to\infty$ 时的极限存在吗？真的是 $0$ 吗？

显然，随着 $n$ 的增长， $10$ 的整数幂的密度会越来越低， $n$ 无限大时，函数值为 $1$ 的点的密度接近于 $0$ 。显然 $n$ 增大时， $\frac{1}{n}$ 也趋近于 $0$

但这能说明 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ 吗？

再举一个例子

$a_n=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2^n}\;\;(n是偶数)\\ \\ -\frac{1}{n}\;\;(n是奇数) \end{array} \right.$

同样是求 $\lim_{n\to\infty}a_n$ ，显然奇数和偶数时趋近于零的速度不同，整个图像也是断断续续的。

这个如何用直觉判定？究竟和第一个数列是不是一样的？

这时， $\epsilon-N$ 语言就派上用场了。

定义：

如果对于任意正实数 $\epsilon$ ，都能找到一个 $N$ ，使得当 $n>N$ 时， $\left |a_n-a\right|\leq \epsilon$ 恒成立的话，我们可以说 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$

看上去很复杂？我们来简化考虑一下。

假设我们想证明 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ ，那么也就相当于是证明

对于任意正实数 $\epsilon$ ，都能找到一个 $N$ ，使得当 $n>N$ 时， $\left |a_n\right|\leq \epsilon$ 恒成立

一共有三个字母，先考虑第一个字母 $\epsilon$

为了简单，我们先考虑用这个定义证明 $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

因为 $\epsilon$ 是任意数，比方我们考虑 $\epsilon=0.1$

也就是说，我们能否在数轴上找到一个位置，使得这个位置右侧的所有 $n$ 所对应的 $a_n$ 都满足绝对值小于 $0.1$ ？

画出反比例图像即可知道，这个位置只要在 $10$ 之后即可，因为 $a_{10}=\frac{1}{10}=0.1$ ，而且在 $10$ 之后，整个函数就是单调减少的了。

那如果最开始考虑 $\epsilon=0.01$ 呢？同理，这个位置只要是 $100$ 就可以了。

当然也可以不停的把 $\epsilon$ 减小，可以证明无论减小到多少，都能在数轴上找到一个位置，使得这个位置右侧的所有的 $n$ 都满足 $\left|a_n\right|<\epsilon$

把这个道理套到最开始的例子上。

$a_n=\left\{ \begin{array}{ccc} 1\;\;(n=10,100,1000,\cdots10^m)\\ \\ \frac{1}{n}\;\;(n\neq10,100,1000,\cdots10^m) \end{array} \right.$

尽管很反直觉，但这个数列是不收敛于 $0$ 的

假设我们取 $\epsilon=0.5$ ，那么无论在数轴上找到哪一个位置，它都不可能满足

"比这个数大的所有 $n$ 所对应的 $a_n$ 都小于 $0.5$ "

原因是，无论取哪个位置，它的右侧都必定会有一个 $10$ 的整数幂

就算在数轴上位置是取 $1000000001$ ，也有一个 $10000000000$ 是比它要大的

而 $a_{10000000000}=1>0.5$ ，不成立。

同理，无论取多大的数，都不能保证，不存在任何一个比这个数要大 $10$ 的整数次幂。

因此，这个 $a_n$ 是不收敛的！

$a_n=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2^n}\;\;(n是偶数)\\ \\ -\frac{1}{n}\;\;(n是奇数) \end{array} \right.$

那么对于这个呢？

同样，如果我们取 $\epsilon=0.5$ ，那么只需要在数轴上取一个 $2$ 即可，易知所有比 $2$ 大的 $n$ 都满足 $\left| a_n \right|<0.5$

就算我们取 $\epsilon=0.01$ ，也可以在数轴上取 $100$ ，所有比 $100$ 大的 $n$ 都满足 $\left| a_n \right|<0.01$ .

所以这个数列收敛于 $0$

这就是 $\epsilon-\delta$ 语言，它的出现解决了许多直观上无法解决的极限问题，把极限用数学语言表达出来了，是历史上的里程碑。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：sammy711

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为什么极限的 ε-N 和 ε-δ 语言具有划时代的意义？

对于任意正实数 $\epsilon$ ，都能找到一个 $N$ ，使得当 $n>N$ 时， $\left |a_n\right|\leq \epsilon$ 恒成立

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为什么极限的 ε-N 和 ε-δ 语言具有划时代的意义？

对于任意正实数 ，都能找到一个 ，使得当 时， 恒成立

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对于任意正实数 $\epsilon$ ，都能找到一个 $N$ ，使得当 $n>N$ 时， $\left |a_n\right|\leq \epsilon$ 恒成立