经典网文分享: OASP 3

我们需要光谱仪，没有光谱仪哪来的光谱。低分辨率光谱仪可以得到天体的连续谱（第十章），而高分辨率的光谱仪可以得到天体的谱线（第十二章）。

概述

从望远镜中过来的光在狭缝的中心聚焦，然后被准直器变为平行光照到光栅上面，色散后经过改正镜再被聚焦到CCD上。单色光会在焦面上形成一条线；而因为一般狭缝的宽度都比较大，最终在焦面形成的线宽基本不受光栅衍射条纹的影响。而当复色光入射到光谱仪的时候，焦面上将形成一段连续谱。连续谱中每个颜色的"纯净"程度由 $\Delta \lambda$ 决定。 $\Delta \lambda$ 越小，色散程度越大，天文学家们越高兴。不过色散程度也需要和天体入射的光的总量协调，因为色散程度越大每个像素的光流量越小，需要的积分时间就越长。一般来说我们需要 $\Delta \lambda$ 小于我们关心的光谱结构；第十二章有定量计算。

衍射光栅及其原理

令 $P(0)$ 所指示的点为相位0点，则在光栅上任一点和它的相位差为 $x \sin{\alpha}$ ； $\alpha$ 为入射平面光法向与光栅法向的夹角，是一个定值。所以我们可以将在光栅上的入射光表达为：

$F(x, t) = F_0(t)e^{2\pi i\frac{x\sin{\alpha}}{\lambda}} \tag{3.1}$

同时因为入射光的频率很大，积分时间一般又比较长，所以可以将 $F_0(t)$ 用它的平均值 $F_0$ 代替。

令 $G(x)$ 为光栅，

$G(x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{狭缝中}\\ 0 & \mathrm{狭缝外} \end{cases}\\$

在 $\beta$ 角上看到的光强为 $F(x, t)$ 与 $G(x)$ 的乘积加上离开光栅后的相位差在 $x$ 上的积分：

$\begin{align} g(\beta) & = \int^{\infty}_{-\infty} F(x, t) e^{2\pi i\frac{x\sin{\beta}}{\lambda}} G(x) dx \\ & = F_0\int^{\infty}_{-\infty} G(x) e^{2\pi i\frac{x\sin{\alpha}+x\sin{\beta}}{\lambda}} dx \end{align} \\$

令 $\theta = \frac{\theta'}{\lambda} = \frac{\sin{\alpha} + \sin{\beta}}{\lambda}$ ，有 $B_2(x)$

$g(\theta) = F_0 \int^{\infty}_{-\infty} G(x) e^{2\pi ix\theta} dx \tag{3.2}$

将这个式子与第二章的傅里叶变换定义式比较，我们发现它们是一样的，所以光栅就相当于一个傅里叶变换器。因为这里 $F_0$ 是一个常数，重要的是后面的积分，所以之后我们将直接讨论 $G(x)$ 的傅里叶变换。

$G(x)$ 的傅里叶变换

$G(x)$ 是由宽为 $b$ 的狭缝等距 $d$ 摆放直至充满宽度 $W$ 而来的：

$G(x) = B_1(x) * III(x) B_2(x) \tag{3.3}$

$B_1(x)$ 为单个狭缝，它与 $III(x)$ 的卷积为无限宽的光栅， $B_2(x)$ 为光栅的宽度。它的傅里叶变换为：

$\begin{align} g(\theta) &= b_1(\theta) iii(\theta) * b_2(\theta) \\ & = \frac{b\sin{\pi\theta b}}{\pi\theta b} iii(\theta) * \frac{W\sin{\pi\theta W}}{\pi\theta W} \end{align} \\$

将Shah函数用 $\delta$ 函数表达：

$\begin{align} g(\theta) & = \sum \delta(\theta-\frac{n}{d}) * \frac{W\sin{\pi\theta W}}{\pi\theta W} \frac{b\sin{\pi\theta b}}{\pi\theta b} \\ & = \sum_n \frac{W\sin{\pi(\theta-\frac{n}{d}) W}}{\pi(\theta-\frac{n}{d}) W} \frac{b\sin{\pi\theta b}}{\pi\theta b} \end{align} \tag{3.4}\\$

在小角度下 $d\theta'$ 和 $d\beta$ 近似是一样的：

$\sin{\alpha} + \sin{\beta} = \theta' \Rightarrow d\theta' = \cos{\beta} d\beta \approx d\beta\\$

每个尖峰下降到0时的宽度由 $B_2(x)$ 决定：

$\Delta \theta' = \frac{\lambda}{W} \\$

每个尖峰的位置由 $III(x)$ 决定：

$\theta' = \frac{n\lambda}{d} = \sin{\alpha} + \sin{\beta} \tag{3.5}$

所以不同波长的光有不同的宽度和尖峰位置。这里的 $n$ 称为级数，0级光谱所有波长的光都集中在 $x=0$ 处，所以为白光。1级和其他级光谱的分辨率为：

$\frac{d\theta'}{d\lambda} = \frac{n}{d} \tag{3.6}$

将 $\Delta \theta' = \frac{\lambda}{W}$ 代入 $(3.6)$ ，得：

$\Delta \lambda = \frac{\lambda}{W} \frac{d}{n} \tag{3.7}$

这个量可以理解为单位角度上的波长改变量是多少；我们当然希望它越小越好，所以 $n$ 小的时候要增大板宽和多刻线； $n$ 大的时候则不一定。

闪耀光栅

上图中我们可以看到透射光栅的光谱受到狭缝宽度影响，主要的能量落在了0级处，并没有分开。我们自然不希望这样，而是想让多数的光落在我们想要的级数上。要做到这一点，我们只需要将 $b_2(\theta)$ 的最高点从0移动到对应的级数位置即可。第二章傅里叶变换的性质2表明如果想在某个域上平移函数，需要在另一个域上引入相位差，在这里也就是不同的光程。实际的操作可以在狭缝中插入三棱镜让光线偏转，但是棱镜会带来色散，而且这样的光栅也很难制作。所以常用的是将狭缝改成倾斜的面镜，从而将光反射到某个特定角度。这样的光栅叫闪耀光栅，光栅法线与槽面法线之间的夹角 $\phi$ 叫闪耀角(在法线同侧的角度正负号相同)。

这个时候式子 $(3.4)$ 的最后一项发生了变化， $\alpha, \beta$ 变成了 $\alpha-\phi, \beta-\phi$ 。这里用减号的原因是虽然对于槽面来说，图示的 $\phi$ 角会使得入射角和反射角都增大，但是 $(3.4)$ 中的 $\alpha, \beta$ 指的是箭头所指的线段长度，这两段线在反射光栅的情况下都减小了。所以对于归一化的这一项，我们有：

$I(\beta) = \left[\frac{\sin{\left\{ \pi b/\lambda [\sin{(\alpha-\phi)}+\sin{(\beta-\phi)}]\right\}}}{\pi b/\lambda [\sin{(\alpha-\phi)}+\sin{(\beta-\phi)}]}\right]^2 \tag{3.8}$

因为光栅的分光，只有符合 $(3.5)$ 的波长的光才能通过，所以我们可以将 $(3.5)$ 代入 $(3.8)$ 消去 $\lambda$ （注意 $(3.5)$ 中的 $\alpha, \beta$ 不变），得到：

$I(\beta) = \left[\frac{\sin{\left\{ n\pi b/d [\cos{\phi}-\sin{\phi}\frac{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}]\right\}}}{n\pi b/d [\cos{\phi}-\sin{\phi}\frac{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}]}\right]^2 \tag{3.8}$

示例图如下( $\phi=15^\circ$ )：

可以看到这个时候整个函数的最大值被推到了$$ \alpha+\beta = 2\phi $$的地方。当然我们也可以用$$ \lambda $$作为自变量，画出$$ I(\beta) $$随$$ \lambda $$的变化情况。

利特罗条件

一般来说光栅在制造的时候会被造成当入射角和衍射角一样的时候，1级光谱会被闪耀，这被叫做利特罗条件。但是当入射光线和衍射光线在同一个方向的时候，我们并不能接收到光谱，所以一般使用的是别的入射角；这种情况下1级光谱的闪耀波长会发生变化。假设利特罗条件下的闪耀波长为 $\lambda_0$ ，则根据 $(3.5)$ 有：

$\frac{n\lambda}{d} = \sin{\alpha} + \sin{\beta} \\$

$\begin{align} \frac{n\lambda_0}{d} &= 2\sin{\phi} \\ &= 2\sin{\alpha+\beta} \end{align} \\$

两式相除，得：

$\lambda = \lambda_0 \cos{0.5(\alpha-\beta)} \\$

阴影

光栅的摆放方式有很多种。我们之前讨论的都是入射光线和光栅法线在槽面法线的两侧；当然也可以倒过来摆，将入射光线和光栅法线放在槽面法线的同一侧( $\alpha < \beta$ 的时候)。不过这样的话会引起一部分的光在反射后照射到槽的侧面，引起光损和杂散光。光损比例由下式决定：

$f=\frac{2\tan{\phi}\tan{\beta-\phi}}{1+\tan{\phi}\tan{\beta-\phi}}\\$

如果光谱仪有缺陷

首先有周期性缺陷的光谱仪一般会产生鬼线。这样的光谱仪相当于两个光谱仪的叠加：

$G'(x) = G(x)H(x)$

$H(x) = B_3(x) * III(x) B_2(x)$

所以"缺陷光谱仪"会在原来的谱线周围再加上一堆鬼线。如果周期性缺陷相对于原来的光谱的间隔很大，那么鬼线会在母线（原来的谱线）附近。我们可以仿照 $(3.5)$ 并且代入 $(3.6)$ 写出鬼线的 $\Delta \lambda$ ：

$\Delta \theta_g = \frac{m\lambda_g}{D}$

$\Delta \lambda_g = \frac{d}{n}\frac{m}{D}\lambda_g$

所以鬼线是等距分布的。鬼线的光强比较复杂，但是一般母线的强度最大。还有另外的几种因缺陷引起的线，如卫星线（有一块刻歪了）等。

色散和分辨率

分辨率是光谱仪很重要的一个参数。但是在讨论分辨率之前我们需要分清楚它和色散的区别。

角、线色散

如上图，如果两束不同波长的光射入镜头的角度为 $\Delta \beta$ ，则称它们的角色散为 $\Delta \beta$ 。角色散的大小是由光栅决定的，具体来说是 $(3.6)$ 式。这个角度最终在焦平面上投影的长度叫做线色散，易得：

$\Delta x = f_\mathrm{cam} \Delta \beta\\$

或者

$\frac{d\beta}{dx} = \frac{1}{f_\mathrm{cam}}\\$

将角度转化成波长，有：

$\begin{align} \frac{d\lambda}{dx} &= \frac{d\lambda}{d\beta} \frac{d\beta}{dx} \\ &= \frac{1}{f_\mathrm{cam}} \frac{1}{d\beta/d\lambda} \\ &= \frac{1}{f_\mathrm{cam}} \frac{d\cos{\beta}}{n} \end{align} \\$

这里没有小角度入射的假设，所以有一个 $\cos{\beta}$ 在。同样，高的色散程度对应着小的 $\frac{d\lambda}{dx}$ 。

分辨率

我们从狭缝的大小开始考虑。令 $f_\mathrm{coll}, f_\mathrm{cam}$ 为准直器、成像相机的焦距，在小角度情况下，宽度为 $W'$ 的狭缝在准直器（或者光栅）上的角度为：

$\Delta \alpha = \frac{W'}{f_\mathrm{coll}}\\$

对 $(3.5)$ 式求导，得出：

$\Delta\beta = -\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} \Delta \alpha\\$

所以

$\Delta \beta = -\frac{\cos{\alpha}W'}{\cos{\beta}f_\mathrm{coll}}\\$

令 $w$ 为狭缝在CCD上的像宽，则

$\begin{align} w &= \Delta \beta f_\mathrm{cam} \\ &= -\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} \frac{f_\mathrm{cam}}{f_\mathrm{coll}} W' \end{align}\\$

${w/W'}$ 正比于 $f_\mathrm{cam}/f_\mathrm{coll}$ 。一般来说我们需要CCD的像素与狭缝在CCD上的像宽相匹配，最好是1个单位像宽对应CCD上的两个像素（奈奎斯特频率）。稍微的过采样可能会有好处，但是面临着更长时间曝光和深度减小的问题；而欠采样会使得信息丢失。

我们也可以将像宽 $w$ 转换成单位长度上的波长改变量（分辨率）：

$\begin{align} \Delta \lambda &= w \frac{d\lambda}{dx} \\ &= -\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} \frac{f_\mathrm{cam}}{f_\mathrm{coll}} W' \frac{1}{f_\mathrm{cam}} \frac{d\cos{\beta}}{n} \\ &= -\cos{\alpha} \frac{W'd}{f_\mathrm{coll}n} \end{align} \\$