经典网文分享: 整度数角中，是不是只有 3° 整数倍的角度可以用尺规作图画出来？

先看这个答案里的万能构造法: 高斯作出正 17 边形的依据是什么？

首先尺规作图能被抽象成加减乘除和开方运算, 其次n倍角公式服从切比雪夫多项式.

所以只要计算最低的 $\sin 3°$ 是多少即可, 如果出现高次根那就不能尺规作图.

那么问题来了, 我咋知道 $\sin 3°$ 是多少, $\small{\color{red}{那我们来一波常规操作}}$ :

二倍角公式知道吧, 来两次得到三倍角公式:

$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$

让我们从等式 $\color{blue}{\sin36°=\cos54°}$ 开始

$\color{blue}{\sin(2×18°)=\cos(3×18°)}$

左边二倍角, 右边三倍角展开

$2\sin18°\cos18°=4\cos^318°-3\cos18°$

$\cos18°$ 显然不为零, 直接消掉,

$\color{blue}{2\sin18°=4(1-\sin^218°)-3}$

整理下得到二次方程:

$\color{blue}{4\sin^218°+2\sin18°-1=0}$

$\sin 18°$ 显然是正的, 舍去负根.

$\begin{cases} \sin18°=\dfrac{\sqrt5-1}{4}\\ \cos18°=\sqrt{1-\sin^218°}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \end{cases}$

然后对30°用半角公式得:

$\begin{cases} \sin15°=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \cos15°=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{cases}$

于是最终

$\color{blue}{\begin{aligned} &\sin3°=\sin(18°-15°)\\ =&\sin18°\cos15°-\cos18°\sin15°\\ =&\frac{1}{16} \left(\sqrt{2} \left(\sqrt{3}+1\right) \left(\sqrt{5}-1\right)-2 \left(\sqrt{3}-1\right) \sqrt{\sqrt{5}+5}\right) \end{aligned}}$

可以看到sin 3 °全部都由二次根式构成, 所以3°的角能尺规作图

尺规作图的步骤能用万能构造从公式倒推出来...

然后倍角公式总是一个多项式, 所以3°的整数倍也能用尺规作图搞定.

然后1°, 2°就必须用到三次方程求根公式了, 所以不能尺规作图.

$\color{red}{\mathtt{Q.E.D.}}$

我们知道三等分任意角 $\angle\alpha$ 不可能, 但是如果 $\cos \frac\alpha3$ 能被根式表示, 那么三等分该角就是可行的.

比如三等分直角就是可行的, 三等分9°角也是可行的, 有无数个可三等分的角, 作图过程留作习题.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：酱紫君

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

此问题还有 8 个回答，查看全部。

经典网文分享

整度数角中，是不是只有 3° 整数倍的角度可以用尺规作图画出来？

没有评论:

发表评论