这种解法错在哪里：生男生女概率各 50％，每个家庭都生到第一个男孩就不再生，那么产生的男女比例是多少？

为避免混淆，本回答采用有中国特色的背景，即每家只生一个男孩，而女孩数量服从几何分布。

先指出错误解法最明显的错误：所有家庭中男孩所占的比例，并不是各家男孩所占的比例的直接平均，而应该是按每家孩子总数加权后的平均。

用数学式子来说是下面这样。设共有 n 个家庭，第 i 个家庭有 1 个男孩和 X_i 个女孩，则：

所有家庭中男孩所占比例 = \frac{\sum_{i=1}^n 1}{\sum_{i=1}^n (X_i + 1)} \quad (1)

各家男孩所占比例的直接平均 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i + 1} \quad (2)

各家男孩所占比例按每家孩子总数（即 X_i+1）加权后的平均 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i + 1) \cdot \frac{1}{X_i + 1}}{\sum_{i=1}^n (X_i + 1)} \quad (3)

容易看出 (1) 式和 (3) 式是相等的，但跟 (2) 式不是一回事。

若要求「全社会男孩所占比例的期望」，应该是对 (1) 式求期望之后再取 n \rightarrow \infty 的极限。

而错误解法没有加权，算的其实是 (2) 式的期望（这个期望与 n 无关，所以没有体现出「求极限」的步骤）。

再深入说几句：对 (1) 式求期望之后再求极限，就对了吗？其实也不对。

第一个问题：题目问的是「男女比例」，(1) 式擅自把它换成了「男孩占总体的比例」，合理吗？

我们来看，如果真的去算「男女比例的期望」，会发生什么。

我们可以把「n 个家庭总的男女比例」定义成一个随机变量 A_n = \frac{\sum_{i=1}^n 1}{\sum_{i=1}^n X_i} 。

注意了，有 2^{-n} 的概率，这 n 个家庭都没有女孩，此时 A_n = \infty 。

也就是说，对任意有限的 n ， A_n 都不存在！这是怎么回事呢？

原来，我们日常所说的「男女比例趋于 1」，并不是说 A_n 的期望趋于 1，而是说 A_n 作为一个随机变量，在 n \rightarrow \infty 时收敛于常数 1。

这就是第二个问题：题目里根本就没提到「期望」！

那么「A_n 作为一个随机变量收敛于 1」是什么意思呢？

随机变量的收敛有很多种，常见的包括依分布收敛、依概率收敛、几乎一定收敛。

这三种收敛是越来越强的；对于收敛于常数的情形，前两者是等价的。

A_n \rightarrow 1 应该是哪一种收敛，我说不清楚…… 但既然 1 是常数，最弱也应该是依概率收敛。

依概率收敛的定义是： \forall \varepsilon, \lim_{n \rightarrow \infty} P(|A_n - 1| > \varepsilon) = 0 ，这才是应该去证的式子。

这时候我们再回来看第一个问题：「男女比例」能不能替换成「男孩占总体的比例」？

「n 个家庭中男孩占总体的比例」，同样可以定义成一个随机变量 B_n = \frac{\sum_{i=1}^n 1}{\sum_{i=1}^n (X_i + 1)} 。

容易看出 B_n = \frac{A_n}{A_n + 1} 。

依概率收敛有个性质：若 X_n 依概率收敛于 X ， f 是一个连续函数，则 f(X_n) 依概率收敛于 f(X) 。

而 A_n 与 B_n 是通过一个连续函数联系在一起的，所以 A_n \rightarrow 1 跟 B_n \rightarrow 0.5 等价。

也就是说，在抛弃了「期望」之后，是可以把「男女比例趋于 1」替换成「男孩占总体的比例趋于 1/2」的。甚至还可以替换成「女男比例趋于 1」、「女孩占总体比例趋于 1/2」，这四个命题相互等价。

其中，「女男比例趋于 1」应该是最好证的，因为「n 个家庭总的女男比例」 的表达式为C_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sum_{i=1}^n 1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i ，分母上没有 X_i ，形式最简单。



来源：知乎 www.zhihu.com
作者：王赟 Maigo

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