经典网文分享: Bernstein 多项式是怎么想出来的？

谢邀，可以从概率论角度理解。这不是后人的强行理解，1912年Bernstein（见参考文献）自己给出这个逼近就是基于概率论的论证方式，他老人家原先的想法就是从概率论的角度给Weierstrass定理一个构造性的证明。别问我Bernstein是怎么想到这个天才的方式，那你得去天堂问他了。

具体论证过程如下：设一个连续函数为 $f$ , $X_n$ 是相互独立同分布的随机变量，而满足伯努利分布（Bernoulli law），也就是说

$P(X_n=1)=x\quad P(x_n=0)=1-x$ . 然后设 $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ ，它服从二项式分布(Binomial distribution)，我们发现

$B_n(f)(x)=Ef(S_n/n)$ . 根据大数原理，我们发现 $S_n/n \to x$ . 于是，我们直觉上我们能猜到 $B_n(f)(x)\to f(x)$ 。

具体点，我们这样证明。已经知道

$B_n(f)(x)-f(x)= E(f(S_n/n)-f(x))$ .

然后，我这里用了一个切比雪夫不等式

$P(\{\|S_n/n-x\|\geq \delta\})\lesssim \frac{1}{n\delta^2}$ .

然后，我们根据一致连续性可得对于任意 $\epsilon$ , 存在 $\delta$ 使得 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ 对于任意 $|x-y|<\delta$ 成立。于是，我们发现

$\begin{align} E(f(S_n/n)-f(x))&\leq \int_{\{\|S_n/n-x\|\geq \delta}| f(S/n)-f(x)| dP+\int_{\{\|S_n/n-x\|< \delta}| f(S/n)-f(x)| dP\\ &\lesssim \frac{1}{n \delta}+ \epsilon \end{align}$

由此可得Bernstein逼近一致收敛到 $f$ 。其中有点细节请读者自己补充。

这个结果还能布朗运动来解释，但是这个更加不友好了，说清楚也更加复杂。如果这个回答有足够的回响，然后我自己也有空的话，我会补充一下的。

这个结果也可以看成是Korovkin定理()的一个简单推论。这个定理我在自己的专栏介绍过了，有兴趣的童鞋自己看吧。

dhchen：一致有界定理, Korovkin定理和逼近问题

Korovkin有一个推论（Bohman's theorem）,你用这个也能马上证明Bernstein逼近问题。

Bernstein, S. N., Démonstration du Théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des Probabilités, Comm. Soc. Math. Kharkov 2.Series XIII No.1 (1912), 1-2.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：dhchen

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

经典网文分享

Bernstein 多项式是怎么想出来的？

没有评论:

发表评论