经典网文分享: 流动线性稳定性方程推导那点事儿（一）

引言

申请开通这个专栏有一段时间了，一直没有更新。从专栏的名字可以看出来，本意是想写一点与流动稳定性以及转捩相关的内容。流动稳定性与转捩虽然是流体力学中的一个很大的研究方向，但是相对从事CFD国内流体力学大同行来说，了解并且对其有所认识的同志还是数量有限的。特别是最近十年的时间，国内的转捩相关的研究需求也逐渐扩张，实际工作中也确实发现很多大同行是有相关的基础知识的需求的，为此打算利用业余时间在这个专栏里面写点自己所了解的流动稳定性以及转捩。我个人是希望更多的大同行以及广大的本科生研究生对流动稳定性以及转捩问题产生兴趣的，并且介入到这个研究领域，大家共同来提高我国的研究水平。同时呢，写这个的时候我也会尽量把问题说的详细一点点，包括会设置一些练习题，有兴趣的同志可以自己做做试试，算是很好的入门过程。再有呢，我也想通过这个渠道告诉大家，流动稳定性虽然看起来门槛略高，但是实际上还好，而且因为其相对比较倚重数学推导，因此它的逻辑性以及严谨性都非常漂亮，实际接触下来是非常有趣的，有种从基本假设一层一层的建模、推导、分析与理解的过程中的学习快感，是非常非常好玩的事情，而且真心花点时间来研究的话，其实入门本身并不是很难的。所以这也是变相的给我们课题组，即天津大学机械学院高速空气动力学研究室做个广告，有兴趣的同学可以来我们室交流或者读研究生。

当然，我自身的认识水平也不大高，难免有所纰漏或者不对的地方，也请读者在阅读中能够指出，大家一起探讨，共同提高。

第一次呢，我想先写一点关于线性稳定性方程的事情。本来么，理论上来说，应该先写一个引论的，即阐明流动稳定性与转捩预测到底是怎么回事，它有哪些研究内容等等相关的内容。但是呢，因为是专栏，类似于笔记性质的合集的东西，所以往往是我想到哪里，就写到哪里。为此，从科普讲义的角度来看存在一些顺序错乱，还请见谅。适时的时候我会出一个阅读目录给出一个我所认为的合理的阅读顺序的。好吧，废话不说了，我先开始讲讲线性稳定性方程的推导那些事儿。

1. 以单波方程为例

我们先以单波方程为例。已知一维单波方程如下：

$\frac {\partial u} {\partial t}+c\frac {\partial u} {\partial x}=0 \tag{1}$

它的解 $u(x, t)$ 是一个单波，可以写作为 $u(x, t)=\hat u {\rm{e}}^{i(\alpha x-\omega t)}$ 的形式，其中 $\hat u$ 我们叫它扰动的形状。将其代入(1)式，可以简化成：

$(\omega-c\alpha) \hat u=0 \tag{2}$

显然，方程若有非平凡解(即 $\hat u \neq 0$ )，则需要满足 $\omega=c\alpha$ 。根据单波方程的性质，波传播的相速度为 $c$ ，这时该关系即对应于扰动波的色散关系（即波数与频率之间的数学关系）。通常情况下，频率 $\omega$ 和波数 $\alpha$ 二者知其一。因此，需要根据色散关系求出未知量。在这个求解过程中，方程(2)对应于求解一个特征值问题，即根据方程系数行列式等于零确定色散关系，根据特征向量来确定具体的基本扰动形状 $\hat u$ 。

以上即为一个最简单的问题模型。

2. 基本问题背后的数学概念

在明确了单波方程这一最为简单的一维问题的情况后，我们来简要分析一下该问题的基本数学概念。

从泛函问题的角度来考虑，则描述小扰动的任一线性偏微分方程，如果它的解可以设成单波形式，即满足下式：

$u(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)=\hat u{\rm e}^{i(-\omega t + \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2+\cdots +\alpha_n x_n)}.\tag{3}$

其中， $t$ 对应时间坐标， $x_i$ 对应空间坐标，通常为三维问题。将该式带入到原偏微分方程中，那么则构成如下特征值问题：

$L(\omega, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)\hat u =0 \tag{4}$

显然，对应于非平凡解，需要满足 $\left | L \right |=0$ 。该式参数 $(\omega, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ 中通常有一个未知，其它均为给定。通过求解该特征值问题，即可求得这个未知量。这样也就得到了基本的求解扰动波（即微分方程的解）对应的色散关系，并且同时根据特征函数确定扰动的形状向量 $\hat u$ 。

需要指出，对于该问题来说，如果偏微分方程每个坐标都可以写成波数的形式从而对方程进行降维处理，那么特征向量 $\hat u$ 为一个值或者为一个向量，否则 $\hat u$ 即为未能写成波数形式的那个坐标的函数，因此我们常称 $\hat u$ 为形函数（或特征函数）。

例如，如果对于扰动在 $x_2$ 方向不能写成波数形式，那么它只能写成如下形式:

$u(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)=\hat u(x_2) \hat u{\rm e}^{I(-\omega t + \alpha_1 x_1 + \alpha_3 x_3+\cdots +\alpha_n x_n)}.\tag{5}$

此时特征值问题对应于

$L(\omega, \alpha_1, \alpha_3, \ldots, \alpha_n)\hat u(x_2) =0 \tag{6}$

显然，这里特征值问题的解矢量对应于 $\hat u(x_2)$ 是一个特征函数。

所以，从数学本质上讲，所谓线性稳定性问题对应于一个特征值问题的解。因此，其解集对应的就是 $L$ 算子所对应的子空间。此时特征值问题中 $L$ 算子的特征值所满足的方程 $|L|=0$ 对应于扰动的色散关系，而特征值问题的特征向量则对应于子空间的线性无关向量。也就是说，子空间内的任一元素都可以用用特征值问题给出的这些特征函数的线性组合来表示。通常情况下会将这些线性无关的特征函数归一化后作为基向量使用。

注：由于对应流动线性稳定性问题，通常情况下算子 $L$ 不是自伴随的，因此这些线性无关的特征函数虽然线性无关但互相之间并不正交。这也是进一步的对流动线性稳定性问题存在伴随问题的数学依据。

算子 $L$ 不是自伴随对应于如果 $L$ 是矩阵的话，则 $L$ 并非Hermitian矩阵（即共轭转置是它本身的矩阵）。

当写成矩阵形式时，大多数时候未必能写成经典特征值问题 $Ax=\lambda x$ 的形式，这时依然可以写成广义特征值 $Ax=\lambda Bx$ 的形式。

3. 流体力学线性稳定性方程的一般推导方法

以下介绍流体力学线性稳定性方程的一般推导方法

3.1 小扰动方程

以下先以一维Burgers方程为例进行推导。

设某问题存在以下控制方程：

$\frac {\partial u} {\partial t}+u\frac {\partial u} {\partial x}=0\tag{7}$

那么，我们可以先认为瞬时状态下的 $u$ 可以写成如下形式： $u=U_0+u^\prime$ 。其中 $u$ 为瞬时量， $U_0$ 为基本状态下的量（对应流动稳定性问题则为待分析动力稳定性的基本流动），而 $u^\prime$ 为扰动量。显然，对应于线性动力系统即线性稳定性问题时， $u^\prime$ 是小量。因此，我们也可以将瞬时状态下做如下分解以利整理：

$u=U_0+\epsilon u^\prime \tag{8}$

这里， $\epsilon$ 是小参数。我们将上式代入方程(7)，那么就有：

$\frac {\partial{(U_0+\epsilon u^\prime)}} {\partial t}+ (U_0+\epsilon u^\prime) \frac {\partial{(U_0+\epsilon u^\prime)}} {\partial x}=0 \tag{9}$

对该方程整理，显然有：

$\frac {\partial U_0 } {\partial t}+U_0\frac {\partial U_0} {\partial x}+ \epsilon\left( \frac {\partial u^\prime } {\partial t}+ U_0\frac {\partial u^\prime} {\partial x}+ u^\prime\frac {\partial U_0} {\partial x}\right)+ \epsilon^2 u^\prime\frac{\partial u^\prime}{\partial x}=0\tag{10}$

考虑 $\epsilon$ 为任一小量。式（10）忽略掉二阶小量，剩余部分有如下形式：

$\frac {\partial U_0 } {\partial t}+U_0\frac {\partial U_0} {\partial x}=0 \label{u0}\tag{11}$

$\frac {\partial u^\prime } {\partial t}+ U_0\frac {\partial u^\prime} {\partial x}+ \frac {\partial U_0} {\partial x} u^\prime=0\label{u'}\tag{12}$

方程(11)描述了基本状态量的数学关系。事实上对于基本状态量 $U_0$ ，显然它依然满足于基本方程(7)，两个方程形式完全相同。而对于方程(12)，它描述了一阶扰动量的数学关系，即是线性扰动方程，又称小扰动方程。

3.2 线性稳定性方程

得到小扰动方程之后，我们就可以考虑解的形式，即将解写成(3)的形式。但是这里有一个问题——小扰动解的形式实际上是与 $U_0$ 的特征有关系的。我们注意到(3)的形式中暗含着波动解的概念，因此就需要看在什么坐标下解可以写作为波动的形式。

首先，通常 $U_0$ 是定常的，因此小扰动在时间方向上是波动的，这样时间项就可以写成e指数的形式，对应扰动波的频率。而在空间上，就需要考虑 $U_0$ 的变化了，即小扰动是否可以在空间上写成波动函数的形式。

这里我们引入一个假设，即平行性假设。我们认为小扰动在某一方向上存在变化尺度，即在该方向上的波长 $\lambda$ 。而基本流 $U_0$ 在同样的方向上也存在着一个变化尺度，称之为 $l$ 。如果在某一方向上 $l>>\lambda$ ，那么就可以认为相对于扰动波的变化，基本流流场的变化可以忽略，而此时扰动在该方向上就可以写作为波动函数的形式。显然这是一种假设，因为除非基本流 $U_0$ 在某一方向上绝对平行(即不变)，否则波动函数的形式一定存在着误差。我们将这种假设称之为平行性假设。相反，如果基本流 $U_0$ 在某一方向上是快变的，即基本流变化尺度与扰动波尺度相当，那么就不能在该方向上写成扰动波函数的形式，即只能采用方程(5)的形式。这时就要将该方向写在特征函数的坐标中，并不写到e指数所表征的相位上去。