经典网文分享: 质子和中子电子是什么颜色？

发现了之前的bug，完全是计算方面的错误（具体的会在下面解释）。然而，原先写的实在是太乱了，这次更新就直接删掉原先的，重新写了。原先的部分可能给大家造成了很多误解，深感抱歉。

我们观测到的物体是什么颜色，取决于这个物体散射回来的可见光是什么颜色的。某个频率的光散射得越厉害，进入我们眼中的这个频率的光就越多，从而我们就会看到这个颜色。比如，我们看到天空是蓝色的，这是因为气体分子对可见光进行散射时，波长越短/频率越高的光散射的越厉害，从而进入我们眼中的蓝光也越多。

对于电子/质子/中子，也是同样的道理。不过题主这里想使用的方法不太恰当。单个的这种粒子很难观测，就算是能反射回来一丁点光，人眼也根本识别不了，所以看起来就是透明的。我们需要的是大量的这种基本粒子，比如电子气体/质子气体/中子气体。

我们引入一个新的物理量——散射截面 $\sigma$ 。它的定义是，两种粒子A和B发生散射时，单个A粒子和单个B粒子发生散射的概率再乘以粒子束的截面面积。你可以直观地理解为，B粒子位于原点，有一束A粒子沿着z轴打过来，只有在x-y平面的投影位于B粒子为中心、面积为 $\sigma$ 的圆内的A粒子能和B粒子发生散射，从而有可能进入我们的眼睛。

量子场论中可以计算这个物理量，具体的计算过程可以参考Peskin的《量子场论导论》第5章第5节，这里只放结果。（预警：以下计算结果非常复杂，想知道最终答案的直接跳过这些公式吧。）

使用自然单位制，电子（质子和中子不是基本粒子，与光的散射应该挺复杂的，这里就不考虑了）和光的散射（就是康普顿散射）公式为

$\frac{d\sigma}{d\cos\theta}=\frac{\pi\alpha^2}{m^2}\frac{1}{[1+\frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)]^2}\left\{ \frac{1}{1+\frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)} +\left(1+\frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)\right)-\sin^2\theta \right\}$

其中 $\theta$ 是散射的光子和入射的光子的夹角， $\alpha$ 是精细结构常数，其值约为 $1/137$ ， $m$ 是这些基本粒子的质量， $\omega$ 是光的角频率，和波长的关系是

$\omega=c\frac{2\pi}{\lambda}$

这个积分严格做出来就是

$\sigma=\frac{\pi\alpha^2}{y^3(m+2my)^2}\left\{ 2y(2+y(1+y)(8+y))+(1+2y)^2(-2+(-2+y)y)\ln(1+2y)\right\}$

其中 $y=\omega/m$ ，在自然单位制下是光子能量和粒子静质能的比。

以电子为例，电子的质量是0.511 $MeV$ (也就是 $0.511\times10^6eV$ )，取可见光的波长为 $500nm$ ，则可见光的光子的能量为 $2.48 \times10^{-6}MeV$ ，远远小于电子的静质能。于是y约是百万分之一的大小，从而可以对上式做泰勒展开。这也是 @逸心说的可以用经典的电子散射来计算的原因。展开之后，前几阶的结果是

$\sigma=\frac{8\pi\alpha^2}{3m^2}-\frac{16\pi\alpha^2y}{3m^2}+\frac{208\pi\alpha^2y^2}{15m^2}+\mathcal{O}(y^3)$

（原来用mathematica画了一些鬼畜的图，并且得出了这个东西在 $y$ 很小时发散的错误结论。事实上并不是这样的。之前是因为带数值的时候，普朗克常数太小，可能已经超出了mathematica的极限，所以最后出错了。）

领头阶的微分散射截面的数值与 $y$ 无关，结果是

$\sigma=\frac{8\pi\alpha^2}{3m^2}=0.0017MeV^{-2}$

换回国际单位制，就是 $6.68\times10^{-29}m^2$ （我之前又双叒叕换算错了）。

（这个换算，就是先将 $\sigma$ 的单位换回焦耳，再用约化普朗克常数和光速凑量纲。如果用 $\hbar^m c^n$ 能凑回面积量纲，那就在原先的结果的数值上乘上 $\hbar^m c^n$ 的数值。这个问题里 $m=n=2$ 。我要是又算错了，望不吝指正。）

对于中子和质子，它们的质量约是 $1000 MeV$ （电子质量的2000倍）, 所以也是用领头阶就可以了。算出来的散射截面约是电子情形的四百万分之一。

一个典型的散射过程——大气分子的散射截面面积是 $5.1\times10^{-31}m^2$ （数据来自

Rayleigh scattering

）（大气分子的散射已经不能再用上面的散射公式计算，因为大气分子不能看成基本粒子，而上述公式只对基本粒子成立。这个散射是用瑞利散射公式计算的，计算结果也在这个词条里）。

这个比较说明，当电子气体的浓度达到大气中气体分子的浓度的百分之一这个量级或者更浓的时候，电子气体对光的散射将达到大气分子的程度甚至更强。由于电子气对于可见光的散射几乎是不依赖于波长的（因为领头阶的微分散射截面是不依赖于光的波长的，次领头阶已经是百万分之一的修正，可以不考虑了），所以会散射各个波段的可见光，看起来就像是逸心的答案中说的"类似于金属的反射"。

当电子气的浓度不高时，看起来是无色透明的。

质子和中子气体的浓度得达到大气分子的浓度的一万倍，才能开始出现"类似金属的反射"。更稀薄的情况也是无色透明的。（不知道中子星里中子的浓度有没有到这个程度。。。）

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：鸟雀呼晴

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