前一阵和本科室友(目前在做调和分析)聊到了Kakeya问题,在这里简单写一下。
Kakeya问题是在问,在 上"全方位"转动指针,指针划过的面积最小是多少。换句话说,一个Kakeya set 满足其包含任意方向的单位向量(比如一个半径为 的球),那么 最小有多大?
Besicovitch很出人意料的证明了 的测度可以是0 。目前的主要猜想是 的Hausdorff维数是 。这个猜想应该是调和分析里面最难的猜想之一了。
回到finite field。我们有如下定义:
Definition.
A set is called a Kakeya set if it contains a line in every direction.
也就是说,对任意 ,存在 使得 。可以看到全空间是Kakeya的。那么, 可不可能比全空间显著的小?
Theorem (Dvir).
A Kakeya set has at least elements, where .
证明说起来很容易。在Dvir证明之前,这个问题被认为和 中的Kakeya问题有同等的难度,所以Dvir的证明可以说震惊了数学界。不过对于这个问题,目前还没有可以不使用多项式的证明。在不让用多项式方法的情况下,这个问题还是个绝世难题的..
证明需要两个facts。第一个是说,对于一个点集 ,存在一个次数不高的非零多项式,以 中的每个点为根;第二个是说,对于一个次数为d的一元多项式,如果有 个根,那么这个多项式是0 。
设 是 上的 元次数不超过 的多项式组成的空间, 是 的一个子集,那么如果 ,则存在 中多项式,以 中所有点为根。这大概是一个大一线性代数习题的难度。
值得一提的是上面的Lemma虽然简单,但是并不显然。比如考虑 上的次数最低的二元多项式,使得他的根包含所有的点 ,对 。我们可以构造出下面两个满足条件的多项式:
这样看起来,貌似最小次数多项式的次数大概就是 上下了,很难构造出再小的多项式了。然而上面的引理告诉我们,存在次数不超过 的多项式满足条件。
回到finite field Kakeya problem的证明。假设 足够小,小于定理叙述的值。通过上述的多项式零点引理,存在一个次数小于 的非零多项式,使得其在 上值为 。然后我们给这个多项式的每个变量赋值 ,得到了一个同样次数的一元多项式。根据Kakeya set定义, 上的每个点都是这个多项式的根,又由于次数小于 ,于是这个多项式恒为零,矛盾。
来源:知乎 www.zhihu.com
作者:Yifan
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