有没有碰到过可以通过建立物理模型来解决的数学题？

一个比较cute的例子是用退火算法来解魔方，更广义的来说就是解全局最优化的问题

退火算法一种由统计力学启发的做优化问题的方法。当一个问题的势能面非常复杂并有很多local minima的时候，用梯度的方法很容易卡在一个local最优而非全局最优的地方。退火的策略就是可以将系统的有效温度升高然后慢慢"降温"来寻找能量最低点。这样做的好处是当系统状态离全局最优的位置较远时，比较剧烈的涨落来探索更多的可能路径，这样不比较不容易卡在一个的路径上。当温度降低后，系统就更将倾向于能量的最低，当"温度"降为零的时候，优化自由能的问题就变成能量的最低点。

Chen和Ding在一篇文章里面就用这种退火的方法来解魔方【1】。在某种程度上说，魔方的能量最小化的问题可以类比一个有几何限制的六面Ising Model。当然因为几何和操作的限制，使得魔方的势能面变得非常复杂。可以想象当魔方被打乱的时候，能量是高的，而当魔方还原的之后的能量是处于一个能量最低点。每次操作定义为对魔方的旋转操作，并计算操作之后的能量变化，根据metropolis算法来接受或者拒绝每一次的操作。同时通过分步地将魔方整理，依次sort 面，边和角块，并通过交替使用两种能量函数针对解决跳出每一步local minima的问题。

用他们的方法可以做到在一个电脑上用996s解一个一百零一阶的魔方。解一个5000阶的魔方在hpc上用8个node只需要半个小时左右.

当然解魔方并不必须用退火的方法，用Group Theory是更自然的表示。只是把统计力学的方法和魔方结合起来感觉还是很有趣的想法。感兴趣的小伙伴可以看看他们的文章。

Reference:

[1] Xi Chen, Z.J. Ding， Solving extra-high-order Rubik's Cube problem by a dynamic simulated annealing， Computer Physics Communications 183 (2012) 1658–1663

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：SushiCondensate

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