关于Katok猜想

2018年4月30日，著名数学家Anatole Katok不幸去世。

他在数学上是我的曾祖父，也就是我导师Jean Lafont的导师Ralf Spatzier的导师。但是我未曾有幸见过他，而且也永远没有机会了。然而对于我而言，我的很多数学思想、数学品味乃至数学审美，都很大程度上受他影响，所以我觉得自己多少应该写点什么。只是Katok一生涉猎甚广，之前也有知友们详加介绍（见如何评价Anatole Katok的数学成就？），加上鄙人才疏学浅未能通盘了解，所以只能尝试着来介绍一下自己稍有了解的Katok猜想。

Katok猜想的叙述，我认为本质上是一种刚性定理，它诠释了一类空间关于一类性质的独特性。也就是说，人们发现了某些空间具有一些简单的性质（比如说好猫会抓老鼠）后，神奇得发现，竟然只要满足了这些简单的性质之后，空间就只能是这样的一类空间了（会抓老鼠的猫就是好猫）。或者说，这些性质可以完全刻画这类空间。笔者非常喜欢这样的结论，它往往叙述简单而内容深刻，其美感是不言而喻的——庞加莱猜想就是这样的例子。

那么Katok猜想到底是说的哪一类空间以及哪一类性质呢?

1.空间——秩为1的（负曲率）局部对称空间（rank one locally symmetric space）

局部对称空间（非正曲率）有两种描述方法。从微分几何的观点看：它是一个满足曲率张量的共变导数为0（ ）的流形，也即曲率张量平行的流形。从李群的观点看：它的万有覆盖为G/K，其中G是一个非紧半单李群，K是G的极大紧子群。

而秩为1的情形下，或者说负曲率的情形下，我们有更清楚的描述，它的万有覆盖可以完全分类为实双曲空间 ,复双曲空间 ,四元数双曲空间 ,和Cayley平面 。

2.性质——两种不变测度的熵相同

一个紧致无边负曲率黎曼流形M的单位切丛 上有自然的测地流 :一个单位向量v在 作用下对应于始于v沿测地线向前流t个单位后所在的切向量。 上可以定义两种 不变测度：Bowen-Margulis测度和Liouville测度。测地流关于这两个测度都是遍历的，也就是说，不变集合要么是零测度的，要么是全测度的（详见动力系统的基本知识：遍历论）。

事实上，关于不变测度，它还对应了一个数值，称为测度熵，它描述了相应测度的可测集在 作用下的某种混乱程度。而在所有不变测度当中，Bowen-Margulis测度的熵是最大的，它等于拓扑熵。拓扑熵有个等价的几何定义(体积熵)——流形万有覆盖 上球体积关于半径的指数增长律，即 ，其中 是中心为x，半径为r的球，而容易看出此极限与x的选取无关。而Liouville测度就是M的单位切丛上（自然诱导的Sasaki度量）的体积形式，一般来说，它的熵要小于拓扑熵。Katok猜想，Liouville测度熵只可能在局部对称空间上达到最大可能，等于拓扑熵，并且他在1982年证明了二维情形下是对的。

所以总结来说，Katok猜想的叙述为：如果一个负曲率紧致无边黎曼流形M的单位切丛 上Liouville测度熵等于拓扑熵，那么M一定是局部对称的。

这个猜想非常难。我们系David Fisher教授曾经和我聊起这个猜想，他说他不觉得这个猜想短时间内有人能证出来。我合作者也跟我提过他曾经考虑过这个问题，清楚其本质困难所在。当然，年轻人要有鸿鹄(hao)之志，若是证出来了，哪怕是3维情形，我觉得也是不愁工作的。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：汪湜

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