Radiation Magnetohydrodynamics 辐射磁流体力学（零）：磁流体控制方程

一、简介

不严格的说，我们所处的宏观世界由电磁相互作用力和万有引力主导。

下面这个答案介绍的很有意思：

我们心中最优美的方程: Maxwell Equations，麦克斯韦电磁场方程
我们认为最困难的方程: Navier-Stokes Equations，纳维-斯托克斯流体方程
当两者相遇: Magnetohydrodynamics 简写 MHD 磁流体力学
有哪些美丽或神奇的理科公式？

将两者联合考虑是非常自然思考，因为自然界很少有物质没有电磁现象，我们自然会希望描述电磁场中的流体行为。磁流体力学主要由瑞典物理学家Alfven在上世纪30年代开始研究，并第一次发现了磁凝结、Alfven波、磁重联等重要的物理现象。Alfven与1970年获得了诺贝尔物理学奖。

最早磁流体用来研究地磁场的产生与变化，人们认为地球液态铁镍核心在自传下产生了电磁场。后来的研究深入，MHD不仅仅适用带电液态导体，也被用于研究轻元素等离子体物理（恒星物理、核聚变、太阳风），另一方面用于磁流体发电机及等离子发动机的研究，不过MHD发电机好像已经凉了……（除了高中用来出最后一题之类的。。）


二、MHD 控制方程

理想MHD的三维控制方程，主要有下面8个定理推出：

  1. 物质守恒
  2. 动量守恒（xyz三个方向）
  3. 法拉第电磁感应定律（xyz三个方向）
  4. 能量守恒

那么我们先澄清，何谓"ideal MHD"：无粘性，可压缩，电导率近似为无限大，速度远小于光速（非相对论框架），于是，上面八条定理，可以通过下面八个物理量完备表示出：

  1. 密度 \rho
  2. x,y,z 上的动量 \rho u, \rho v, \rho w
  3. x,y,z 上的磁场 B_x , B_y, B_z
  4. 总能量 E

其中，能量的表达式 E = \rho e + \rho ||\vec{u}||^2/2 + ||\vec{B}||^2/2\mu_0 ，式子中的 e = \frac{p}{(\gamma-1)\rho}

对比之前我们接触过的可压缩无粘流的欧拉方程，MHD的能量多了第三项，也就是电磁场带来的能量


1、物质守恒：和一切流形式相同

\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0


2、Faraday's Law 法拉第电磁感应定理 与 电磁力

给定一个面积元 S ，面积元的边界记号 \partial S ，单位时间里，穿过整个面积元的磁场变化，等于这个边界上电场的环路积分，变化大小方向相反。

然后由stokes定理，边界上电场的环路积分，即面积上电场散度的面积分。

因为流体具有运动，所以这里的电场是洛伦兹变换后的电场，加了记号E'来区别。

最后得到公式：-\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B}\cdot\text{d} \mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{E'} \cdot \text{d}l\\ \Leftrightarrow \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\nabla\times\mathbf{ E'}

其中，因为理想的磁流体电导率为无穷大，所以可以认为内部电场场强处处为零，即 \mathbf{E'} = 0 ，我们再考虑洛伦兹变换 \mathbf{E'} = \frac{E+\frac{v}{c}\times B}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx E + \frac{v}{c}\times B

最后得到：

\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\nabla\times (- \frac{v}{c}\times \mathbf{B}) \\ \Leftrightarrow \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\nabla\times(v\times \mathbf{B})


电磁学最基本的知识告诉我们，位移电流为 \bf J ，电荷密度为 \rho_e 的物体在电磁场中受到的电磁力： F_{\text{EM}} = \frac{1}{c}\mathbf{J} \times \mathbf{B} + \rho_e \mathbf{E}

但是呢，回顾法拉第定理

\nabla \times E = -\frac{1}{c} \frac{\partial B} {\partial t}

得到电场的量纲：

[E] = [B][L]/[cT] = [B][v]/[c]

带入安培-麦克斯韦定理

\nabla \times B = \frac{4 \pi}{c} J +\frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t }

发现： [\nabla \times B] = \frac{[B]}{[L]} \\ [\frac{\partial E }{ c \partial t}] = \frac{[v]^2}{[c]^2 }\frac{[B]}{[L]} \ll \frac{[B]}{[L]}

所以电场力在流体速度很小的时候，可以忽视，即 \nabla \times B = \frac{4 \pi}{c} J


而相同的方法， F_{\text{EM}} = \frac{1}{c}\mathbf{J} \times \mathbf{B} + \rho_e \mathbf{E} 中， [\rho_eE] = \frac{[E]^2}{[L]} = \frac{[v]^2}{[c]^2}\frac{[B]^2}{[L]} \ll \frac{[B]^2}{[L]}

于是，电磁力的公式修正成: F_{\text{EM}} = \frac{1}{c}\mathbf{J} \times \mathbf{B}

带入 \nabla \times B = \frac{4 \pi}{c} J

得到 F = \frac{1}{4 \pi}(\nabla \times B) \times B


3、动量守恒

动量守恒来自与牛顿第二定理

Mass \frac{Dv }{Dt} = F_{total}


在NS方程，我们从上面的牛二推出动量守恒式，其中 P 压力, \Phi 是引力势， F_{other} 即我们讲用电磁力加入：

\rho(\partial_t v+v\cdot\nabla v) = -\nabla P - \nabla \Phi + F_{other}


所以MHD的动量守恒式：

\rho(\partial_t v+v\cdot\nabla v) = -\nabla P - \nabla \Phi + \frac{1}{4 \pi}(\nabla \times B) \times B


4、能量守恒

和流体一样

\rho \left(\frac{\partial e}{\partial t} + (v\cdot \nabla)e\right) = - P ~\nabla\cdot v


三、MHD 守恒型方程

\left \{ \begin{array}{l} \frac{\partial \rho}{ \partial t} + \nabla (\rho v) = 0\\ \frac{\partial \rho v }{ \partial t} + \nabla ( \rho v \otimes + \mathbf{I}(P+\frac{B^2}{2})-\mathbf{B} \otimes \mathbf{B}) = 0\\ \frac{\partial E }{ \partial t} + \nabla \left[ \left( E+P+\frac{B^2}{2\mu_0} \right)v - \mathbf{B}(v\mathbf{B})\right]= 0\\ \frac{\partial\mathbf{B} }{ \partial t} + \nabla (v\mathbf{B}-\mathbf{B}v)= 0 \end{array} \right.

这里的E 不是电场场强，而是能量 E = \rho e + \rho ||\vec{u}||^2/2 + ||\vec{B}||^2/2\mu_0


四、阿尔文波

1942年Alfvén在研究太阳黑子的理论中发现，处在磁场中的导电流体，在一定条件下可以使磁力线像振动的弦那样运动，出现一种磁流体波。这种波后来被称为Alfvén波。

但当时人们并不理会他的这个发现，因为按照传统的电磁理论，在导电介质中是不可能存在电磁波的。

7年后的1949年，Alfvén波在液态金属中被观察到，1959年又在等离子体中得到证实，1970年Alfvén因为在磁流体力学及等离子物理上杰出的贡献被赋予诺贝尔物理学奖。


后面的理论细节以后补充



来源：知乎 www.zhihu.com
作者：知乎用户（登录查看详情）

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