[Rendering] 基于物理的大气渲染

# 要解决的问题


以下我们推导单次散射（single scattering）的气渲染模型，即光线从太阳发出过、只经过一次散射被改变方向后射入我们的眼睛。


下图显示了我们观察大气时的观察路径AB，我们想知道B点的大气颜色：


来源：https://ift.tt/2A7GiMZ


这个过程实际上就是对视线路径AB上每一点的光照贡献进行一个积分，下面我们把问题一步步拆分。


## 问题一：P点的光照是什么？


由于我们关心的是单级散射，那么唯一的一次散射发生在路径AB上的每一点P，那么该点的光照强度Ip要怎么求呢？它可以理解成是，从P点出发沿着光照方向与大气边缘的交点为C，从C点的光照（我们认为大气层边缘的光照就是太阳发出的光照）经过路径CP衰减后到达P点的光照：


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用公式表示就是：

其中，T项是衰减系数（Transmittance），它表示在某段路径上的对光照的衰减程度。该公式也可以被认为是零级散射（zero scattering），即不考虑任何散射事件、直接考虑经过衰减后光强。


## 问题二：在P点发生了什么？


我们已知到达P点的光照强度为Ip，那么光线在P点经过一次散射后、经路径PA其他大气粒子的衰减后，最终到达人眼的光照强度Ipa为：

其中，λ是波长，θ是图中所示的光线入射方向和观察方向的夹角，h是P点的高度。通俗解释下，S项是散射系数（Scattering），它表示此次散射事件中有多少光被反射到了θ方向上，T项是衰减系数（Transmittance），它表示在PA路径上的对光照的衰减程度。它们之间是有联系的，简单来说正是因为大气对光线不断发生散射（S项）才导致经过一定路径后光线会发生衰减（T项）。接下来对每一项进行解释。


(1) 散射系数： S(λ,θ,h)


散射系数和粒子的大小和折射率有关，这里就得解释一下大气粒子的分类。我们知道大气中有很多不同种类的大气分子/粒子，一般在大气渲染模型里把它们分成两大类。一种是小分子，例如氮气和氧气分子等，另一种是大粒子，例如各种尘埃粒子。之所以要进行分类是因为它们对光线有着不一样的行为（这里忽略对光的吸收，只考虑散射）：

  • 小分子：指大小远小于光线波长的粒子。小分子对光的散射在前后方向上分布比较均匀，通常会使用Rayleigh散射（Rayleigh Scattering）对它们进行建模。由于这些分子大小比波长还要小很多，因此光的波长也会影响Rayleigh散射的程度。
  • 大粒子：指大小远大于光线波长的粒子。大粒子在发生散射的时候会把更多的光散射到前向，通常会使用Mie散射（Mie Scattering）对它们进行建模。由于光的波长相较于这些粒子大小来说是可以忽略的，因此我们认为Mie散射跟光线波长无关。


下面以Rayleigh散射为例，解释S(λ,θ,h)的含义。这里直接给出公式，在Rayleigh散射模型中，散射到θ方向上的比例为：

其中，λ是光的波长，n是粒子折射率，N是海平面处的大气密度，ρ(h)是高度h处的相对大气密度（即相对于海平面的密度，可以理解成h处真正的大气密度与海平面处大气密度的比值，因此它在海平面处值为1，随着h增加不断减小），我们一般会使用指数函数对它的真实曲线进行数学拟合（是一种近似拟合，不要和后面提到的指数函数弄混）：

其中，H是大气的整体厚度。


可以看出Rayleigh散射大致和波长的4次幂的成反比，波长越小（越靠近紫光）的光被散射得越厉害。所以白天的时候天空为蓝色，因为蓝光在大气里不断被散射，黄昏的时候天空会变红，因为相比于白天，阳光此时要穿越更厚得多的大气层，在到达人眼之前，大多数蓝光都被散射到其他方向，所以剩下来的就是红光了。


(2) 衰减系数：T(PA)


对于大气粒子对光的散射，在传播路径PA上光线会继续衰减。S(λ,θ,h)关心的是被反射到某一特定角度上的光线比例，那么现在我们就需要考虑经过一次散射后，在入射方向上还"剩下来"多少光。


我们先来看一次衰减。假设I0在经过一次散射后损失了β比例的能量，则剩余的能量I1为：

那么经过一段传播路径PA后，余下的能量为：

  • 简单情况：如果β为定值，我们可以直接通过微积分得到衰减一段距离x后的剩余能量：
  • 复杂情况：复杂情况是β是与波长λ和高度h都相关，即不能简单地当成定值。此时，我们就需要用积分来表示了：


那么问题是，β是什么？在简单情况下，也是很多游戏里雾效的实现方法中，就拿一个类似雾效密度的参数来代替β。在复杂情况下，我们就需要考虑真实的β是如何计算的。


之前我们一直在讨论的S(λ,θ,h)是在某方向上的散射系数，那么β就是在所有方向上的总散射系数。我们还是以Rayleigh散射为例，如果我们对Rayleigh散射的S(λ,θ,h)做球面积分，得到总散射系数β(λ,h)为：


终于，我们的公式长度缩短成了两项，不用再看密密麻麻的符号了！上式可以理解成，β(λ)是海平面处的散射系数，随着高度增加，散射强度也不断减小。因为大气相对密度ρ(h)不断减小。据此，我们可以改写T(PA)部分，可以看出，β(λ)其实只跟波长相关，在传播路径上不需要进行积分，因此可以提到积分外部：


我们可以进一步改写其中的积分项。对比简单情况下的公式，积分项对应的其实就是路径长度x，而这部分积分可以理解成光学距离——Optical Depth：


同样，我们也可以改写S(λ,θ,h)部分：


其中，P(θ)表示在这些被散射的能量中，有多少比例被反射到了θ方向上，它有一个专有名字——相位函数（Phase Function），也被称为Scattering Geometry。所以对于Rayleigh散射来说，它的相位函数就是：


至此，我们简单推导了S项和T项，这样一开始的公式就可以写成：


总结起来，公式表示的含义就是，计算观察路径AB上某一点P的光照贡献：

  1. 光线从太阳出发，到达大气边缘的C点
  2. 经过路径CP上的衰减到达P点（0级散射）
  3. 在P点发生一次散射，将一部分光散射到了观察方向上（1级散射）
  4. 这部分光又经过AP路径上的衰减最终到达了我们的眼睛


## 问题三：路径AB之间发生了什么？

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P只是AB上的某一点，我们需要对路径AB上的每一点进行积分：


其中涉及到了散射系数β(λ)、相位函数P(θ)、光学距离D(PA)等。


## 小结


至此，我们完成了单级散射模型的简单推导。但实际情况要复杂得多，在到达人眼之前，光线已经在大气里被散射了无数次，而更高一级的散射总是可以靠它前一级的散射来定义，即是一个递归定义：


上式的含义是，在A点、从观察方向v、光线入射方向s贡献的第i+1级散射（左侧）等于，对观察路径AB上的每一点P的贡献度进行积分：

  1. 在P点处发生最后一次散射，把光线从积分方向v'散射到观察方向v上（β(v,v')），然后经过T(PA)衰减后到达A点
  2. 在最后一次散射前，对之前发生在P点、从方向v'、光线入射方向s贡献的第i级散射做球面积分，表示从各个方向v'贡献的第i级散射


回顾我们之前对单级散射的推导过程，其实就是i=0的情况。对于第0级散射来说，由于v'不等于s的方向来说，第0级散射都为0，所以我们省略了公式里做球面积分部分。而在A点、从观察方向v、光线入射方向s最后的光照结果应该是把所有级的散射都加起来：


如果是离线渲染，理论上我们可以求得上述公式的精确解。但对于实时渲染来说，第0级和第1级散射都是可以较为快速的求得精确解的，而更高级的散射要计算起来就非常划不来了。在早期的大气渲染资料（例如GPU Gems 2）里，都是对第0级和第1级散射的求解和渲染。直到2008 Precomputed Atmospheric Scattering的提出，我们也可以实时计算更高级别散射的近似解了。


# 大气渲染模型


具体应用到游戏渲染里，我们一般会把大气渲染分为两个部分：一是天空背景的渲染，即skybox，二是大气透视的渲染，也是我们俗称的大气雾效。在渲染的时候需要考虑光线入射方向s上的遮挡（阴影），通常使用传统的shadow map就可以了。这样我们就可以得到god ray效果。


## 天空背景


我们之前推导的公式可以直接拿来渲染天空盒，这里就不重复了。多说一句，第0级散射可以理解成对"sun disk"的渲染。


## 大气透视


大气透视（aerial perspective）是渲染场景里物体距离摄像机远近的很重要的效果，也是所谓的雾效。与渲染天空盒略微不同的是，我们还需要考虑反射地表颜色等。


依然是考虑在A点、沿着观察路径AB接收到的光照。这部分光照可以分为两个部分：一是B点反射的地表颜色Rb经过路径AB衰减后的光照，也就是第0级反射，二是路径AB上由于散射贡献的光照：

Textinction就是我们之前推导的T(AB)，Iinscattter则是之前推导的多级散射模型。


## 优化


核心是使用LUT，例如可以T(AB)存到一张2D纹理里。


## 例子：简化模型


大部分游戏的视角只会在地表附近，因此可以使用简化模型来渲染大气雾效。简化模型有两个最明显的特征：

  • 使用直线距离d直接代替光学距离D(AB)
  • 基于上一点，我们可以使用恒定的散射系数β


（1）Unity的Exponential Fog


最简单的例子应该就是Unity的Exponential Fog（docs.unity3d.com/Manual）了，公式表示就是：


其中的exp部分就是Textinction，即使用恒定的散射系数的简化模型。但后面计算Iinscattter的部分其实是不准确的，可以说是"不怎么基于物理"。


（2）The Blacksmith中的大气散射


Unity的The Blacksmith给出了大气散射部分的代码（blogs.unity3d.com/cn/20，assetstore.unity.com/pa）。这部分以后再补吧。


# 参考资料


推荐阅读顺序即为排序顺序：


Unity有很多插件的实现都是基于2008年的Precomputed Atmospheric Scattering，例如uSky（assetstore.unity3d.com/#）、Azure（assetstore.unity.com/pa）等，可以参考和优化。



来源：知乎 www.zhihu.com
作者：Lele Feng

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