经典网文分享: 从哥德巴赫猜想说起

最近一阵，哥德巴赫猜想突然在知乎上非常热门。我发现有很多人有如下的观点：哥德巴赫猜想并不自然，因为素数是用来乘的不是用来加的；哥德巴赫猜想不重要，没有一流数学家关心；以及哥德巴赫猜想与数学的其他分支没有关联，是个孤立的问题。这里我从加性数论的角度，分析一下为什么哥德巴赫猜想重要并且自然。

首先我们看看哥德巴赫猜想具体是什么。（在本文中，用素数来表示大于 $1$ ，并且只被 $1$ 和它本身整除的整数。这里强调一下，以免混入"负质数"。。）

哥德巴赫猜想：
任何大于等于4的偶数可以表示成两个素数的和。

为了更好的理解它，我们先定义加性数论中的Minkovski和：对于两个集合 $A,B$ ，我们定义

$A+B=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}.$

在这个定义下，当 $A=B$ 时我们记为 $2A=\{a+b\mid a,b\in A\}.$

例. 如果 $A=\{1,2,3\}$ ，那么 $2A=\{2,3,4,5,6\}.$

如果我们记 $\mathbb{N}_{>1}$ 为所有大于等于 $2$ 的自然数， $\mathbb{P}$ 为全体素数，我们可以用上面的定义重新描述哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想：
$2\mathbb{P}\supseteq2\times\mathbb{N}_{>1}.$

其中记号 $2\times A=\{2a\mid a\in A\}$ 。更一般的，可以定义 $A\times B=\{a\times b\mid a\in A, b\in B\}$ ，不过本文暂不涉及这个一般的定义。

乍一看，这个猜想确实不太靠谱：素数这么稀疏，怎么可能加起来就能覆盖所有的偶数？另外，可能也有人会问，为什么要研究两个素数集的和？有什么意义？

首先，研究两个集合的Minkovski和，起始于对费马大定理的研究。首先我们定义一个集合 $A$ 叫做无和集（sum-free set）当 $(A+A)\cap A=\varnothing$ 。也就是说，不存在 $A$ 中的两个元素 $x,y$ 使得 $x+y$ 也是 $A$ 中的元素。

例. $\{1,3,5,9\}$ 是无和集，但是 $\{2,5,7,8\}$ 不是，因为 $2+5=7$ 。

我们定义 $\mathbb{N}^k$ 是自然数的 $k$ 次幂构成的集合，即 $\mathbb{N}^k=\{n^k\mid n\in\mathbb{N}\}$ 。那费马大定理就等价于： $\mathbb{N}^k$ 对于 $k\geq3$ 是无和集。从这个观点看，研究无和集的结构是一个很重要的问题。实际上关于无和集的突破进展也大都集中在近些年。我们先考虑下面这个问题：

请快速从 $\{1,2,\dots,n\}$ 里面说出一个尽可能大的无和子集。

我们的第一反应是什么？好吧，可能有两种不同的第一反应。一个是从"奇数加奇数是偶数"的角度，敏锐的发现所有奇数组成的集合是无和集（因为没有偶数在其中）；另一个角度是选取一个大的区间，比如在 $n$ 是偶数的情况下，由于 $\frac{n}{2}+\frac{n}{2}=n$ ，可以发现 $\{\frac{n}{2}+1,\frac{n}{2}+2,\dots,n\}$ 是无和集（因为最小的数和最小的数相加已经大于 $n$ ）。

可以证明以上两种无和集的选取都是最大的。最近，Balogh et. al 应用容纳集引理（container lemma）数出了最大的无和集的个数，从而我们可以说出，随机的取一个子集，它是最大的无和集的概率。那么，无和集长什么样子呢？这个显然也是我们非常关心的问题，因为我们了解 $\mathbb{N}^k$ 的样子，如果我们再知道了无和集的样子，通过对比，我们就能从这个角度证明费马大定理。然而遗憾的是，我们现在只知道相对大的无和集的结构：粗略的说，一个 $\{1,\dots,n\}$ 的无和子集，如果他有至少 $2n/5$ 个元素，那么他要么是一个区间，要么都是奇数。2018年Tran的最新结果，也只是把 $2n/5$ 缩小到了 $(\frac{2}{5}-\delta)n$ 。可惜， $\mathbb{N}^k$ 都是非常稀疏的集合；对于稀疏无和集，我们还不知道它的结构。

除了无和集之外，另外一个备受关注的问题是，对于任意集合 $A$ ， $A+A$ 到底有多大。Frieman首先证明了，如果 $A$ 有 $n$ 个元素，那么 $A+A$ 至少有 $2n-1$ 个元素；并且 $A+A$ 的元素个数取到最小值，当且仅当 $A$ 是一个等差数列。

Frieman之后又证明了，如果 $A+A$ 中的元素个数很少，即 $|A+A|<Cn$ 其中 $C$ 是某个和 $n$ 无关的常数，那么 $A$ 的结构差不多是一个高维等差数列。对于高维等差数列，粗略的说，可以理解为一个首项，不同公差的一堆等差数列混到了一起。

Frieman类型的结果很快成为加性数论的核心问题，很快吸引了包括陶哲轩在内的很多一流数学家的兴趣。对于任意有限群，一个子集 $A$ 叫做 $K\text{-}approximate\ group$ 如果 $A+A$ 可以被 $K$ 个 $A$ 的左陪集覆盖。陶哲轩，Ben Green和Breuillard最近的结果，证明了对任意集合 $A$ ，如果 $A$ 是 $K$ -approximate的，那么粗略的说， $A+A+A+A$ 几乎是阿贝尔的。这个结果也加强了Gromov著名的对多项式增长的群的结果。如果 $A$ 所在的群本身就是阿贝尔的，那么我们有更强的结果，把 $A$ 的span的大小和 $A+A$ 紧密联系起来。由于本文是科普的目的，关于这些问题的细节不再多讲了，有空我会在专栏 Some Interesting Combinatorial Problems 里面专门写一篇文章介绍一下。

最后我们回到哥德巴赫猜想。刚才的结果说明，如果 $A$ 有良好的结构，那么 $A+A$ 可以很小，小到和 $A$ 差不多大。那么，有两个问题我们很自然的会问： $A+A$ 至多可以多大？素数有没有所谓"良好的结构"？

关于第一个问题比较容易回答：假设 $A$ 有 $n$ 个元素，我们取 $A$ 为等比数列，可以很容易发现， $A+A$ 这个时候几乎有 $n^2/2$ 这么多个，这个是 $|A|^2$ 的量级，可以说是非常多了。

那素数有没有良好的结构呢？这个问题就很难了。素数定理告诉我们，小于 $n$ 的素数大约有 $n/\ln n$ 这么多，要比 $\sqrt n$ 多很多。那素数是如何分布的呢？这方面有很多著名的猜想，比如黎曼猜想，都没有解决。不过我们可以从已经证明的定理，以及看上去很像是正确的著名猜想来推测一下素数如何分布。孪生素数猜想，以及关于素数的最大间隔的Cramér猜想，都是以"素数为随机分布的数"建立的模型推测而来。另外，Green-Tao定理，素数包含任意长的等差数列定理，其中关键步骤是应用Goldston et. al的结果，将素数嵌入了一个稀疏的伪随机图。这也暗示着素数，有着像随机数一样的分布。

那如果 $A$ 是随机数构成的集合， $A+A$ 有多大呢？可以用概率方法证明，这时 $A+A$ 基本取到了所能取到的最大值。这也说明，如果我们对素数分布的猜测正确，哥德巴赫猜想很可能是正确的。同时，我们也能看到哥德巴赫猜想和素数分布，以及代数，几何，分析和组合之间的关联。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：Yifan

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