经典网文分享: 爱因斯坦场方程是怎么推导出来的？

在经典力学中，重力被表述为 $\nabla^{2}\Phi=4\pi G\rho$

其中 $\Phi$ 是经典力学中的重力势（gravitational potential）。

在往相对论的方向推广时，密度 $\rho$ 的地位会被能动张量（energy-momentum tensor）所替代，而重力势 $\Phi$ 所描述的重力则要转而取决于时空的度规（metric） $g_{\mu\nu}$ 。

于是我们可以先对推广之后的张量方程的形式做一些猜测。首先，通过观察上述式子，我们可以合理地猜测最终的方程应该有如下性质

$F(g,\partial_{\lambda}g,\partial_{\gamma}\partial_{\sigma}g)_{\mu\nu}\propto T_{\mu\nu}$

其中 $F_{\mu\nu}$ 是一个取决于度规及其一阶和二阶导数的 $(0,2)$ 型张量。于是，一个很自然的尝试便是里奇张量（Ricci tensor）：

$F_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}$

但这显然是不正确的，因为我们有

$\nabla^{\mu}T_{\mu\nu}=0$
$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R$

但是，我们可以构造

$\nabla^{\mu}(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})=\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla^{\mu}R=\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R=0=\nabla^{\mu}T_{\mu\nu}$

于是便可以写下

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$

接下来的目标便是确定系数 $\kappa$ 。

我们知道，当物体运动速度远小于光速，且重力场为静态的弱场时，上述方程会退化为经典力学中的情况。我们可以利用这一点来确定 $\kappa$ 。

首先写下理想流体（perfect fluid）的能动张量

$T_{\mu\nu}=(\rho+p)U_{\mu}U_{\nu}+pg_{\mu\nu}$

在低速情况下，能动张量中的压强可以忽略不计，因此

$T_{\mu\nu}=\rho U_{\mu}U_{\nu}$

于是在相对流体静止的参照系中我们有

$T_{00}=\rho$

因此得到

$T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=-\rho$
$R=\kappa\rho$

所以 $R_{00}=\frac{1}{2}\kappa\rho$ 。

根据 $R_{\mu\nu}$ 的定义，我们知道

$R_{00}=R^{\mu}_{\ 0\mu 0}$

其中，利用黎曼张量（Riemann tensor）的反对称性可以立即得到 $R^{0}_{\ 000}=0$ 。再加上为了得到牛顿极限我们默认此时重力场是静态的，于是度规的所有一阶导数都为零，最终化简得到

$R_{00}=-\frac{1}{2}\nabla^{2}h_{00}$

其中 $h_{00}$ 是度规的扰动 $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}$ 的 $(00)$ 分量

也就是说

$\nabla^{2}h_{00}=-\kappa\rho$ 。

由测地线方程（geodesic equation）可以推出为了得到经典力学极限必须令 $h_{00}=-2\Phi$ 。也就是说

$\nabla^{2}(-2\Phi)=-2\nabla^{2}\Phi=-\kappa\rho$

将上式与经典力学中的 $\nabla^{2}\Phi=4\pi G\rho$ 作比较，可以立即得到

$\kappa=8\pi G$

于是便将Einstein Field Equations确定下来了

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}$

更进一步，考虑到广义相对论中所用到的联络（connection）与度规是相容的，也就是说 $\nabla^{\mu}g_{\mu\nu}=0$ ，于是我们发现如果往上述方程的左边再加入一项 $\Lambda g_{\mu\nu}$ ，方程仍然是合理的，因为此时左右两边取协变导数 $\nabla^{\mu}$ 都为零。

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}$

方程中的常数 $\Lambda$ 被称为宇宙学常数（cosmological constant），它被认为是暗能量的一种可能的形式，为了得到宇宙学常数，我们可以在原来的方程右边加上一项代表真空能量密度的能动张量 $T^{(vac)}_{\mu\nu}=\rho^{(vac)}g_{\mu\nu}$ ，得到

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi G(T_{\mu\nu}+T^{(vac)}_{\mu\nu})$

化简可得 $\rho^{(vac)}=\frac{\Lambda}{8\pi G}$ 。由于真空能量密度与宇宙学常数之间只相差了一个常数因子，因此在很多情况下这两个概念可以被认为是等同的。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：卢健龙

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