经典网文分享: 为何要引入同伦群，同伦群可以解决什么问题？

总结一下学了那么久的同伦论吧

虽然说代数拓扑学家的梦想是做出同胚分类，但若真的能构造出拓扑的全性不变量（即两个空间同胚当且仅当这个不变量相同），它必定是和拓扑分类一样复杂的东西，难以计算，没有意义。所以研究一个更容易计算的不变量是更切实际的选择，而容易越计算的东西丢失的信息也越多，同伦不变量就是一个nontrival的平衡点

一.引入同伦群的原因，同伦群在很大程度上决定了一个空间的同伦类型，在整个同伦论中，同伦群是同伦论的核心。

同伦群 $\pi_{n}(X,x_0)$ 的定义是 $S^n$ 到 $X$ 的保持基点同伦类 $[(S^n,s_0)\longrightarrow (X,x_0)]=\langle S^n, X\rangle$

而说到同伦群就不得不说CW复形，是因为我们有下面定理

CW approximation ：对任何空间 $X$ ，都有一个CW复形 $W$ ，和弱同伦等价 $W\longrightarrow X$ （即诱导所有阶同伦群的同态 $\pi_n(W)\longrightarrow \pi_n(X)$ 是同构）。值得注意：弱同伦等价只是一个连续映射，并不是等价关系

而又有定理告诉我们弱同伦等价诱导任意系数的同调和上同调的同构，这就非常有意思了，同伦群和同调群两大不变量都在弱同伦等价下不变，所以我们只需研究CW复形的同调或是同伦就能很大程度上推广到任意空间

CW复形是一个聚万千好性质于一身的空间，随便列举一下都可以说个两三行：

正规（normal）
局部可缩（蕴含局部道路连通）
任何CW复形 $X$ 和它的一个子复形 $A$ ， $(X , A)$ 具有同伦延拓性质，即给定空间 $Y$ 和映射 $g:X\times 0 \cup A\times I \longrightarrow Y$ ， $g$ 总可以延拓至 $X\times I$ 。这个性质在延拓问题上有奇妙的作用：

为了延拓至 $X$ （让上图交换），只需要在同伦意义下延拓（让上图同伦交换）即可，障碍理论的延拓思路就是如此

为什么说同伦群在很大程度上决定了一个空间的同伦类呢？因为我们有下面定理

Whitehead's Theorem：

1.CW复形之间的弱同伦等价是同伦等价

2.若 $X$ 是CW复形， $Y\overset{f}{\longrightarrow} Z$ 是弱同伦等价，那么 $f$ 诱导的 $[X, Y] \rightarrow[X, Z]$ 和 $\langle X, Y\rangle \rightarrow\langle X, Z\rangle$ 都是双射

我们知道，CW复形是由胞腔堆砌而成，而若解决了最简单的胞腔：球面 $S^n$ 的高阶同伦群，就能在一定程度上解决CW复形的同伦群。 $S^n$ 的高阶同伦群的计算是一个古老的问题，至今仍未完全解决，Serre在上世纪50年代用谱序列为工具，证明了

球面高阶同伦群 $\pi_{i}(S^{n})$ 当 $i>n$ 时是有限群，除了 $n$ 是偶数且 $i=2n-1$ 时，此时 $\pi_{2n-1}(S^{n})$ 同构于 $\mathbb{Z}$ 直和一个有限群

所以我们只需要计算同伦群的素因子。

最新的进展是王国祯教授计算出了60和61阶球面稳定同伦群素数2的因子，证明了61维球面只有唯一的微分结构，并发表在Annals上。对球面同伦群我们还知之甚少，必须发展新的工具才有望解决

二. 高阶同伦群可以看成某个空间的基本群，球面的稳定同伦群

对任意空间 $X,Y$ 我们有自然同构 $\langle \Sigma X, Y\rangle \rightarrow\langle X, \Omega Y\rangle$

所以 $\pi_{n+1}(Y)\cong \langle S^{n+1}, Y\rangle \cong \langle \Sigma S^n, Y\rangle \cong \langle S^n, \Omega Y\rangle\cong\pi_{n}(\Omega Y)$ ，所以loop space的同伦群相当于都降了一阶

那么 $\pi_{n+1}(Y)\cong \pi_{n}(\Omega Y)\cong\pi_{n-1}(\Omega^2Y)\cong\cdots\pi_{1}(\Omega^nY)$

同伦双角锥定理：悬浮映射 $\Sigma :\pi_{i}\left(S^{n}\right) \rightarrow \pi_{i+1}\left(S^{n+1}\right)$ 是同构当 $i<2 n-1$ 时，是满射当 $i=2 n-1$ 时

推论：

$n\geq i+2$ 时，球面同伦群稳定 $\pi_{n+i}(S^n)\cong \pi_{n+1+i}(S^{n+1}) \cong \pi_{n+2+i}(S^{n+2}) \cong \pi_{n+3+i}(S^{n+3}) \cong \cdots$

三. 为何又要引入谱的概念来推广同调理论？

同伦群和同调的关系在很早就被发现：

Hurewicz定理：一个 $n\geq 1$ 连通（ $\forall i\leq n , \pi_i(X)=0$ ）的空间 $X$ ，Hurewicz map : $\pi_{n+1}(X)\longrightarrow H_{n+1}(X)$ 是同构

这样的联系暗示着同伦论和同调论还有更深刻的联系，每个范畴上我们都可以把空间 $X$ 到另一个固定的空间 $K$ 的态射提取出来做出上同调理论，例如de Rham上同调就是在流形的范畴上把光滑函数 $\Omega^{k}(X)$ 提取出来做出的上同调理论。

CW范畴内我们也可以做同样的事情，任意给一个谱： $\left \{ K_n \right \}$ 满足 $K_n\approx \Omega K_{n+1}$ （ $\approx$ 表示弱同伦等价），我们都有一个CW范畴上的reduced上同调理论 $\tilde{H}^n(X)=\langle X, K_n\rangle$ ，和unreduced上同调理论 $H^n(X)=[X, K_n]$ （ $[-,-]$ 表示映射的自由同伦类，即无需保持基点）

对任给的CW pair $(X , A)$ ，都有长正和列

$\cdots \rightarrow H^{n}(X/ A) \stackrel{p^{*}}{\longrightarrow} H^{n}(X ) \stackrel{i^{*}}{\rightarrow} H^{n}(A) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^{n+1}(X/A ) \rightarrow\cdots$

而当 $K_n=K(G,n)$ 时，这个上同调理论竟然和 $G$ 系数的奇异上同调理论有如下的自然同构

$[ X, K_n] \overset{h}{\longrightarrow}H^{n}(X;G)$

其中 $h([f])=f^*(\alpha)$ （ $\alpha$ 是 $H^{n}(K_n;G)$ 中一固定元素）

这个定理在障碍理论中起重要作用，而且有很多有趣的结论：

给定CW复形 $X,Y$ ，满足 $Y=K(G,n)，Ext(H_{n-1}(X),G)=0$ （特别地， $X$ 是 $n-1$ 连通空间时）

那么 $[X,Y] \cong H^{n}(X;G)\cong Hom(H_n(X),G)\cong Hom(H_n(X),H_n(Y))$

这告诉我们 $X$ 到 $K(G,n)$ 的映射同伦类完全由诱导的同调的同态决定 ： $f\sim g\Leftrightarrow f_*=g_*$

四. 映射的提升和延拓问题

最后说一说障碍理论，障碍理论完全解决了CW pair 在simple空间 $Y$ （即 $Y$ 道路连通，且 $\pi_1$ 在高阶同伦群 $\pi_n$ 上的作用平凡）上的延拓问题

假设 $Y$ 是simple空间，那么 $Y$ 有principle postnikov tower $\left \{ Y_n \right \}$ ，由于 $Y\longrightarrow \lim_{\longleftarrow }Y_n$ 是弱同伦等价，只需将映射延拓到每个 ${Y_n}$ 上即可，而延拓至到 ${Y_n}$ 的障碍类来自于 $\gamma_n\in H^{n+1}\left(X, A ; \pi_{n} Y\right)$ ，当每个障碍类都是0时，我们就可以延拓到所有的 ${Y_n}$ 上，更多细节可以参考我写的notes