经典网文分享

初等数论Part 1：欧拉定理

这是一个关于初等数论的入门级别文章
适合中学数学水平的读者
主要内容：唯一分解定理，互质，最大公因数，最小公倍数，同余关系，同余类，完全剩余系，缩剩余系，欧拉函数，欧拉定理，费马小定理，中国剩余定理，逆元。

求正整数 $3^{83}$ 的最后两位数

看到类似这样求一个数的某次方的最后几位数的问题，

没有接触过初等数论的同学可能第一反应是小学的做法：找规律。

$\begin{align} &3^0 = \quad\space \space \color{red}1\\ &3^1 = \space \quad \space \color{red}3\\ &3^2 =\space \quad \space \color{red}9\\ &3^3 =\space \space \space \space 2 \color{red} 7\\ &3^4 =\space \space \space \space 8 \color{red} 1 \\ &3^5 =\space \space 24 \color{red} 3 \\ &3^6 =\space \space 72 \color{red} 9 \\ &3^7 =218\color{red}7 \\ &3^8 = 656\color{red} 1 \\ \end{align}\\$

可以看出来 $3^n$ 的个位是 $1,3,9,7$ 循环，循环周期是 $4$

而十位是 $0,0,0,2, 8, 4, 2, 8, 6, 8, 4, 4, 4, 2, 6, 0, 2, 6, 8, 6$ 循环，循环周期是 $20$

所以 $3^{83}$ 最后两位是 $27$

接触过一点初等数论的同学表示这种方法too young，因为这个问题可以用欧拉定理(Euler's theorm)秒杀。

如果正整数 $n$ 和整数 $a$ 互质，那么就有
$a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\\$
其中欧拉函数 $\varphi(n)$ 是「小于 $n$ 的正整数中和 $n$ 互质的数」的个数

因为

$\varphi(100)=100\left( 1-\frac{1}{2}\right)\left( 1-\frac{1}{5}\right)=40\\$

我们又知道 $\gcd(3, 100)=1$ ，所以

$3^{83}=3^{3}\times 3^{80} =3^{3}\times \left(3^{\varphi(100)}\right)^2 \equiv 3^3\times 1 = 27\pmod{100}\\$

利用好欧拉定理我们还可以解决很多类似的问题（部分选自Brilliant）

求 $2014^{2014^{2014}}$ 的最后两位数
求 $1^{2016}+2^{2016}+\cdots + 2016^{2016}$ 除以 $2016$ 的余数
求 $8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}$ 的最后三位数
有多少个正整数 $1\le n \le 2015$ 使得 $n^{n^{n}}$ 和 $n^n$ 的个位数相同？
$249$ 的奇数次方末尾总会出现其本身 $\color{red}{249}^3 =15438\color{red}{249}$ ， $\color{red}{249}^5=957186876\color{red}{249}$ 等等。 $1000$ 以内有多少个正整数有这样的性质？

我们首先从初等数论最基本的几个概念说起

1.唯一质数分解定理（Unique factorisation theorm）

任何一个正整数 $n>1$ 都可以唯一地分解为一组质数的乘积

$n=2^{e_1}\times3^{e_2}\times 5^{e_3}\times \cdots=\prod_{k=1}^\infty p_k^{e_k}\\$

其中 $e_1, e_2,\ldots \in \mathbb{N}$ ，我们称这个分解为 $n$ 的标准分解

2.互质（Coprime）、最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）

对于整数 $a, b$ 我们记 $\gcd(a, b)$ 和 $\operatorname{lcm}(a, b)$ 为 $a, b$ 的最大公因数和最小公倍数，有时候我们会直接把他们简写为 $(a, b)$ 和 $[a, b]$ 。如果 $\gcd(a, b)=1$ ，我们称 $a, b$ 互质，也就是说他们没有任何共同的质因数。

它有几个基本的性质，对于正整数 $a, b, n$

$\gcd(a, b)=\gcd(a\pm b, b)$
$\gcd(na, nb)=n\gcd(a, b)$
$\gcd(a, b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{lcm}(a, b)}$
贝祖定理：总能找到整数 $x, y$ 使得 $\gcd(a, b)=ax+by$

2.同余关系（Congruence relations）

整数 $a$ 和 $b$ 除以 $n$ 的余数相同，则称 $a,b$ 模 $n$ 同余，计作

$a \equiv b \pmod{n}\\$

如果对于整数 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 有

$a_1 \equiv b_1 \pmod{n}\\a_2 \equiv b_2 \pmod{n}$

那么可以把他们相加或相减

$a_1 \pm a_2 \equiv b_1 \pm b_2\pmod{n}\\$

也可以把他们相乘

$a_1a_2 \equiv b_1b_2\pmod{n}\\$

通过这两条性质，我们容易知道，如果 $a\equiv b \pmod{n}$ 那么

$\mathrm P(a)\equiv \mathrm P(b) \pmod{n}\\$

对于任意整系数多项式 $\mathrm P(x)$ 都成立，这个结论很重要哦，经常会用

这里需要注意的一点是，如果整数 $a, b, c$ 满足

$ac\equiv bc \pmod{n}\\$

那么只有当 $n, c$ 互质时才可以把两边的 $c$ 直接约掉，得到 $a\equiv b \pmod{n}$ ，更一般的

$a\equiv b \pmod{\frac{n}{\gcd(n, c)}}\\$

3.同余类(Residue class)、完全剩余系(Complete residue system)、缩剩余系(Reduced residue system)

通过一个整数模 $n$ 的余数，我们可以把所有整数分成 $n$ 类，记

$\overline{r}_n=\{m\in \mathbb{Z} \mid mn+r\}\\$

为模 $n$ 余 $r$ 的同余类（也叫剩余类）举个例子

$\overline{4}_{10}=\{\dots,-16,-6,4, 14, 24, \dots\}\\$

是模 $10$ 余 $4$ 的同余类

从 $\overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n, \dots,\overline{(n-1)}_n$ 中各挑出一个数就组成了一个模 $n$ 的完全剩余系（完系） $R_n$

$R_n = \{r_0, r_1, \dots, r_{n-1}\}\\$

其中 $r_0 \in \overline0_n, r_1 \in \overline1_n, r_2 \in \overline2_n, \dots, r_{n-1} \in \overline{(n-1)}_n$

换言之， $n$ 个模 $n$ 互相不同余的整数组成一个模 $n$ 的完全剩余系。

我们称 $R_n = \{0, 1, \dots, n-1\}$ 为模 $n$ 的最小非负完全剩余系（最小非负完系）。

取一个模 $n$ 的完全剩余系 $R_n$ ，取出里面所有和 $n$ 互质的数，这些数组成一个模 $n$ 的缩剩余系（缩系），记为 $\Phi_n$

$\Phi_n = \{c_1, c_2, \dots, c_{\varphi(n)} \}\\$

其中 $\varphi(n)$ 是序言里提到的欧拉函数，代表「小于 $n$ 的正整数中和 $n$ 互质的数」的个数。

注意，因为 $\gcd(c_i, n)=\gcd(c_i+n, n)=1$ ，每一个模 $n$ 的缩剩余系有相同数量的元素（缩剩余系中的每一个数所属的同余类是确定的，所以总有确定的 $\varphi(n)$ 个同余类）

如果缩剩余系 $\Phi_n = \{c_1, c_2, \dots, c_{\varphi(n)} \}$ 满足 $1\le c_1, c_2, \dots, c_{\varphi(n)}\le n -1$ ，那么称其为模 $n$ 的最小正缩剩余系（最小正缩系）。

4.欧拉函数(Euler's totient function)

对于正整数 $n$ ， $\varphi(n)$ 代表「小于 $n$ 的正整数中和 $n$ 互质的数」的个数，这个函数被称为欧拉函数；欧拉还告诉我们

$\frac{\varphi(n)}{n}=\prod_{p|n}\left( 1-\frac{1}{p}\right)\\$

其中 $p$ 取到 $n$ 的所有质因数

所以我们可以很方便的计算一个正整数欧拉函数的值，比如

$\varphi(1926)=\varphi(2 \times 3^2\times 107)=1926\left( 1-\frac{1}{2}\right)\left( 1-\frac{1}{3}\right)\left( 1-\frac{1}{107}\right)=636 \\$

欧拉函数还有一些非常有用的性质（跳过不影响下一部分的阅读）

如果正整数 $n>2$ 那么 $\varphi(n)$ 是偶数
如果 $n\ |\ N$ ，那么 $\varphi(n)\ | \ \varphi(N)$
对于正整数 $a, n$ 有 $n \ |\ \varphi(a^n - 1)$
对于正整数 $m, n$ 有 $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\frac{\gcd(m, n)}{\varphi(\gcd(m, n))}$
特别地，如果 $m, n$ 互质，那么 $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$
对于正整数 $n$ 有 $\sum_{d| n}\varphi(d)=n$
对于正整数 $n$ 有 $\sum_{1\le k \le n\atop \gcd(k, n)=1}\frac{k}{n}=\frac{\varphi(n)}{2}$

接下来我们进入正题：欧拉定理

如果正整数 $n$ 和整数 $a$ 互质，那么就有
$a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\\$
其中 $\varphi(n)$ 是欧拉函数

以下是证明

考虑模 $n$ 的最小正缩系

$\Phi_n =\{c_1, c_2, \dots, c_{\varphi(n)}\}\\$

已知 $\gcd(a,n)=1$ 我们在 $\Phi_n$ 的每一个元素前面都乘一个 $a$

$a\Phi_n = \{ac_1,a c_2, \dots, ac_{\varphi(n)}\}\\$

利用反证法可以证明 $a\Phi_n$ 也是一个模 $n$ 的缩系（其元素的同余类的顺序有可能会改变，但是这并没有任何影响），假设

$ac_i \equiv ac_j \pmod{n} \\$

其中 $i\ne j$ ，因为 $a, n$ 互质可以将两边消去 $a$ ，那么就得到

$c_i \equiv c_j \pmod{n} \\$

这是不可能的，因为 $\Phi_n$ 中的元素互相模 $n$ 不同余，矛盾啦！

接下来的思路就比较清晰了，因为 $\Phi_n$ 和 $a\Phi_n$ 都是模 $n$ 的缩系

$\prod_{i=1}^{\varphi(n)} c_i\equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)} ac_i = a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)} c_i \pmod{n} \\$

显然 $\gcd\left(n, \prod_{i=1}^{\varphi(n)} c_i \right)=1$ 所以可以两边消去它

$a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\\$

然后我们就证毕啦，是不是意外的简单？

另外，如果我们让 $n=p$ 是一个质数，我们就可以从欧拉定理推出费马小定理（Fermat's little theorm）

如果 $p$ 是质数，那么 $p \ | \ n^p -n$ 对于任意整数 $n$ 都成立

当然，费马小定理也可以用归纳法证明，假设 $p \ | \ n^p -n$ ，那么

$(n+1)^p-(n+1)=\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}n^r + n^p - n\\$

当 $1\le r \le p -1$ 时，二项式系数 $\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!r!}$ 的分子中有 $p$ ，分母中每一个乘子都不能整除 $p$ （因为 $p$ 是质数），所以 $p$ 能够整除 $\binom{p}{r}$ ，进而得到 $p \ | \ (n+1)^p - (n+1)$ 。当 $n=0$ 时显然成立，所以定理成立。

接下来我们看看如何证明

$\frac{\varphi(n)}{n}=\prod_{p|n}\left( 1-\frac{1}{p}\right)\\$

首先考虑 $\varphi(p^e)$ ，其中 $p$ 是质数， $e$ 是非负整数

如果要使 $\gcd(p^e, k)\ne 1$ ，只能让 $k$ 等于 $p$ 的倍数

在 $1\le k \le p^e$ 范围内， $p$ 的倍数有 $p, 2p, 3p, \dots p^{e-1}p=p^e$ 总共 $p^{e-1}$ 个，所以

$\varphi(p^e)=p^e - p^{e-1}=p^e \left( 1-\frac{1}{p}\right)\\$

然后我们证明对于 $\gcd(m, n)=1$ 有 $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ ，我们首先构造两个集合，第一个集合是模 $mn$ 的最小正缩系 $\Phi_{mn}$ ，第二个集合定义为

$S=\{(m, n)\mid m\in \Phi_m, n\in \Phi_n \}\\$

其中 $\Phi_m, \Phi_n$ 分别是模 $m,n$ 的最小正缩系，显然 $|\Phi_{mn}|=\varphi(mn)$ 和 $|S|=\varphi(m)\varphi(n)$

如果我们证明存在一个双射 $f:\Phi_{mn}\rightarrow S$ ，就证明了 $\varphi(mn)=\varphi(n)\varphi(n)$

我们让

$f(a)=(a \bmod m,\ a \bmod n)\\$

首先我们用反证法证明 $f$ 是单射，假设 $a, b \in \Phi_{mn}$ 满足 $a\ne b$ 且 $f(a)=f(b)$ 那么

$\begin{align}a&\equiv b \pmod{m}\\a&\equiv b \pmod{n}\end{align}\\$

显然因为 $\gcd(m,n)=1$ 我们能得出 $a\equiv b \pmod{mn}$ ，这与我们的假设矛盾（因为 $\Phi_{mn}$ 是模 $mn$ 的缩系， $a, b$ 是 $\Phi_{mn}$ 的两个不同的元素，所以他们模 $mn$ 不同余）。接下来，中国剩余定理告诉我们

如果整数 $r_1, r_2$ 和正整数 $\gcd(n_1,n_2)=1$ ，同余方程组
$\begin{align}x&\equiv r_1 \pmod{n_1}\\ x &\equiv r_2 \pmod{n_2}\end{align}\\$
在 $0 \le x < n_1n_2$ 范围内有且只有一个解

通过中国剩余定理我们能够证明 $f$ 是满射，所以 $f$ 是双射。

所以对于 $\gcd(m,n)=1$ 就有 $\varphi(mn)=\varphi(n)\varphi(n)$ ，假设 $n$ 的标准分解为

$n=2^{e_1}\times3^{e_2}\times 5^{e_3}\times \cdots=\prod_{k=1}^\infty p_k^{e_k}\\$

其中 $e_1, e_2,\ldots \in \mathbb{N}$ ，那么

$\begin{align}\varphi(n)&=\varphi\left(\prod_{k=1}^\infty p_k^{e_k}\right)\\&=\prod_{k=1}^\infty \varphi\left(p_k^{e_k}\right)\\&=\prod_{k=1}^\infty p^{e_k} \left( 1-\frac{1}{p_k}\right)\\&=\left(\prod_{k=1}^\infty p^{e_k}\right)\prod_{k=1}^\infty\left( 1-\frac{1}{p_k}\right)\\&=n\times\prod_{k=1}^\infty\left( 1-\frac{1}{p_k}\right)\end{align}\\$

证毕

序言中题目的解答

求 $2014^{2014^{2014}}$ 的最后两位数
正确答案是 $36$

因为 $100$ 和 $2014$ 不互质，我们把它拆成 $100=4\times 25$

注意到 $\varphi(25)=25\left( 1-\frac{1}{5} \right)=20$

$2014^{2014^{2014}} \equiv 2014^{2014^{2014} \bmod 20} \pmod{25}\\$

再拆一次 $20=4\times 5$

$2014^{2014}\equiv 2014^2\times \left( 2014^{\varphi(5)}\right)^{503}\equiv 2014^2\equiv4^2=16 \pmod{5}\\$

这里取 $16$ 因为要保证它能被 $4$ 整除，接着

$2014^{2014^{2014}}\equiv2014^{16}\equiv 14^{16}\equiv36 \pmod{100}\\$

因为 $36$ 能被 $4$ 整除，所以最后两位是 $36$

求 $1^{2016}+2^{2016}+\cdots + 2016^{2016}$ 除以 $2016$ 的余数
正确答案是 $48$

因为 $2016=2^5\times 3^2 \times 7$ ，我们只需分别找出这个数模 $32, 9, 7$ 的余数

因为 $\varphi(32)\ | \ 2016$

$\begin{align}1^{2016}+2^{2016}+\cdots+2016^{2016}&\equiv 63\times \left(1^{2016}+2^{2016}+3^{2016}+\cdots+32^{2016} \right) \pmod{32}\\ &=63\times (1^{2016}+3^{2016}+5^{2016}+\cdots+31^{2016})\\&\equiv 63\times 16\\&\equiv 16\end{align}$

因为 $\varphi(7)\ | \ 2016$

$\begin{align}1^{2016}+2^{2016}+\cdots+2016^{2016}&\equiv 288\times \left(1^{2016}+2^{2016}+\cdots+7^{2016} \right) \pmod{7}\\ &=288\times (1^{2016}+2^{2016}+\cdots+6^{2016})\\&\equiv 288\times 6\\&\equiv 6\end{align}$

因为 $\varphi(9) \ | \ 2016$

$\begin{align}1^{2016}+2^{2016}+\cdots+2016^{2016}&\equiv 224\times \left(1^{2016}+2^{2016}+\cdots+9^{2016} \right) \pmod{9}\\ &=224\times (1^{2016}+2^{2016}+4^{2016}+5^{2016}+7^{2016}+8^{2016})\\&\equiv 224\times 6\\&\equiv 3\end{align}$

可以列出同余方程组

$\begin{alignat}{2} x &\equiv 16 &&\pmod{32}\\ x&\equiv 6 &&\pmod{7}\\ x &\equiv 3 &&\pmod{9}\end{alignat}\\$

由中国剩余定理，我们解得

$x\equiv 48 \pmod{2016}\\$

求 $8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}$ 的最后三位数
正确答案是 $008$

因为

$7^{4n}=(50-1)^{2n}\equiv 1\pmod{100}\\$

从 $\varphi(125)=125\left( 1-\frac{1}{5}\right)=100$ 我们能够得到

$8^{7^{4n}}\equiv 8 \pmod{125}\\$

因为 $125 \ | \ 8^{7^{4n}} - 8$ 以及 $8 \ | \ 8^{7^{4n}} - 8$ 且 $\gcd(8, 125)=1$

$1000 \ | \ 8^{7^{4n}}- 8\\$

所以

$8^{7^{4n}}\equiv 8\pmod{1000}\\$

最后开几个坑

Part 2 介绍一下Wilson定理，中国剩余定理，欧几里得算法（即辗转相除法）和其扩展
Part 3 待定，以后有时间就更

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：Daniel Xiang

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

汽车买卖合同纠纷中“退一赔三”的操作指南！

购置的新车若发现问题，怎么办？

关注《消费者权益法》的伙伴们一定首先想到用"退一赔三"规则来维护自己权益，那是不是只要合法权益受到损害的，都可以支持"退一赔三"？

答案是否定的。

案例一：（2017）鄂28民终1389号

周华山2016年1月20日在龙凤商贸公司购买的猎豹风尚款汽车，购买的中配，商家提供的现车和官方风尚款不一致，配置要低一些，而且零配件有改装过。

经与商家联系，商家称补偿4000元，不同意，遂投诉，巴东县工商行政管理局消费者权益保护分局受理后派员进行了调查，并组织双方进行调解，未能达成一致意见，诉至法院，要求退一赔三。

法院认为：

被告明知涉案车辆并非双方合同约定的猎豹CS10风尚版，而未履行告知义务的行为，使原告周华山陷入错误的意思表示，从而将车辆接走。

据此认定被告具有欺诈消费者的故意，构成销售欺诈。为维护消费者利益，规范市场诚信，原审法院判令龙凤商贸公司退一赔三符合法律规定，予以支持。

案例二：（2017）黔0302民初6172号

原告曾维勇于2017年3月26日向被告四扬公司以132800.00元价格购买了一汽奔腾X801.8T自动豪华型多用途乘用车一辆。

该车于2016年10月10日维修更换过左前翼子板、前门限位器，销售时四扬公司未告知原告其所购买的车辆曾被维修和更换过零部件的事实。

法院认为：

基于公平原则，撤销权要善意行使，不得有损害合同相对方的意图，被告履行合同虽有瑕疵，但并未影响双方合同目的实现，故原告的撤销权请求本院不予支持。

关于三倍赔偿，本案中，四杨公司采取适当方式对案涉车辆进行了修复，且目前未有证据证明被告的上述行为，造成案涉车辆的质量缺陷或者曾维勇的人身财产损害。

四杨公司的欺诈行为并未严重影响曾维勇的权益，未达到《中华人民共和国消费者权益保护法》第五十五条规定的程度，不宜适用"退一赔三"条款。

在实际案件中，若仅涉及配件、外观，不涉及核心部件时，通常不撤销合同，无法要求"退一赔三"。

只有当经营者确实存在欺诈行为，且该行为导致消费者购买的车辆有质量缺陷或者造成人身损害的，可以要求"退一赔三"。

如果只是在配件上进行欺诈的，法院将直接判令经营者按欺诈部份配件金额的三倍予以损失赔偿。

1、主张"退一赔三"的主体须为消费者。

如果购买主体为机关团体、公司、合伙企业等法人或非法人组织，则其购买目的应属于业务或经营活动，不属于生活消费的范畴。

即便"欺诈"属实，因主体原因，可能不会得到法院的支持。

2、经营者的行为确实为欺诈。

首先，经营者是在明知自己的陈述是欺诈，并会导致对方陷入错误认识，并且希望或放纵结果的发生；

其次，欺诈人实施了欺诈行为，即故意陈述错误事实或隐瞒真实情况使他人陷入错误认识；此外，被欺诈人因欺诈而陷入错误，即行为与结果直接存在因果关系；

最后，被欺诈人因错误而做出了一定的意思表示，即决定购买车辆等。这种欺诈行为可以主张"退一赔三"。

3、当经营者的欺诈行为所导致的后果，达到了使消费者不能实现合同根本目的的程度。

综合案例来看，大部份法院审理案件若未达到消费者合同根本目的不能实现，均参照《合同法》"当事人一方迟延履行债务或者有其他违约行为致使不能实现合同目的，当事人可以解除合同"的规定，就可以"退一赔三"。

4、经营者以次充好、以国产组装充作全新进口、隐瞒车辆事故或翻新等均属于实施了欺诈行为。

5、欺诈行为实施的时间应在消费者签订购车协议、实施购车行为之前。

6、注意诉讼时效，即消费者"退一赔三"的主张，须在消费者知道或应当知道经营者具有欺诈行为之日起一年内行使诉讼权利，否则，将被视为超过诉讼时效而不被法院支持。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：汪超男律师

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

比赛日：真正的职业球员

凯尔特人vs.雄鹿

在第一节比赛打到六分钟的时候，凯尔特人终于打出了一套让人眼前一亮的战术：奥杰莱和塔图姆在弱侧交叉掩护，霍福德把球运往他们一侧，奥杰莱假装要接霍福德的传球，实际上只是做了个普通的无球掩护，霍福德真正要做递手掩护的对象是塔图姆，塔图姆接过球与霍福德打挡拆，吸引了雄鹿三人的防守注意力，然后击地分给霍福德，后者轻松上篮得手，轻松程度堪比最后时刻接斯玛特拼死抢下的地板传球上空篮杀死比赛。

虽然这只是史蒂文斯教练战术手册中不起眼的一页，但考虑到首节前六分钟几乎全是尴尬到窒息的错位单打+花式打铁，这种值得反复回放分析的流畅配合实属罕见。霍福德的连续两次掩护打乱了雄鹿三人的防守轮转，再次把雄鹿防守端沟通不畅的老问题暴露了出来。

斯玛特的回归让凯尔特人的防守更加稳若金汤，他们甚至敢让塔图姆和布朗去盯防字母哥，而不是让霍福德再面对字母哥的疯狂消耗，于是霍福德在进攻端逞威逞能，砍下22分14篮板，有斯玛特在，凯尔特人的换防变得更加频繁，沉迷于单打和一次突分的雄鹿半场只得到37分——当然，在这种防守和打铁大战中，凯尔特人也只有48分而已。

下半场的雄鹿首先在防守端发力，他们对传球线路的高压让凯尔特人的挡切配合更加艰难。不过我更好奇他们怎么不从进攻端下手？让布罗格登连续两次发动挡拆突破，结果全部以失败告终，这种水平的进攻就算防死了凯尔特人，你们自己也拿不了分啊。

然后，下一回合，雄鹿让布罗格登底线单打杰伦-布朗。

布莱德索和罗齐尔在底线玩起了碰碰车，两个人像小孩子一样顶来顶去。布莱德索之前还嘴硬："罗齐尔是谁？我不认识。"

然后罗齐尔就在三分线外颜射布莱德索——你现在认识了？

罗齐尔手起刀落，凯尔特人领先16分，绿凯主场人声鼎沸，雄鹿需要奇兵，于是沙巴兹-穆罕默德站了出来。他完美演绎了所谓"奇兵"的含义：先来一个三分暖场，再用一个空切2+1热手，接着背转身上篮命中，在两队全员打铁的第三节，穆罕默德连得11分。

然而他也难免防守拉丝化的俗，光顾着补防霍福德，把杰伦-布朗漏了个干干净净。于是凯尔特人顶住了雄鹿第三节的得分潮，继续保持领先。

第四节的剧情就简单了，耐心的凯尔特人没有被雄鹿的高压防守吓倒，继续把球倒来倒去，寻找雄鹿防守端的弱点，面对贾巴里-帕克和字母哥的干拔跳投，凯尔特人抓住对手的每一个防守漏洞。最后，拼抢地板球越凶的球队胜算越大。

这是一场比较典型的东部季后赛，铁血、防守、便秘，以及——几乎整场比赛，凯尔特人都没有让雄鹿靠防守反击打出气势。

76人vs.热火

白边本场比赛只打了10分钟，他再次忍不住发出抱怨："至少给我一个机会。如果我打了30分钟打不好，我能理解。至少给我一个机会吧。"

热火不是没给你机会，詹姆斯-约翰逊第一次进攻就在给白边做球，然而换来的却是一次失误。然后，白边被恩比德面框突破打进2+1。接着，白边总算靠着进攻篮板搏得了一次犯规，然而他两罚不中。

白边真正能干好的，是抢篮板（虽然白边是否在场，对76人的篮板率并没有什么影响）、保护禁区——最好是在篮圈附近保护禁区，而不是在三分线外防恩比德突破/在高位防挡拆/配合队友轮转防守。

当白边在篮下面对西蒙斯的防守，用自己最擅长的勾手也拿不到本场比赛第一分的时候，他就该明白，是时候把中锋位置让给阿德巴约和奥利尼克了。至少阿德巴约能跟出三分线防恩比德，至少奥利尼克有三分和策应，而他俩的掩护都比白边做得更好。

当白边下场时，热火的进攻效率从97暴涨到110。这就是斯波教练不给你机会的理由。

这场比赛的上半场还是典型的绞肉局——恩比德连空篮都没上进，比赛过程充斥着犯规、碰撞和对抗。然而到了下半场，德拉季奇眼见西蒙斯反击，不惜拿西蒙斯的头当皮球；而西蒙斯则在篮下耍出半套大梦脚步，助攻考文顿飚进三分。

比赛的势头就此改变，西蒙斯哪怕眼前廖无人烟，也会毫不犹豫选择突分，而热火的防转换则彻底乱套，让西蒙斯获得空位不要紧，让刚刚投进三分的考文顿获得空位就太失败了，要是再让雷迪克获得三分空位......

热火不要命一般地在防守端施压，试图用这种方式来弥补之前的错误，但高压防守的连锁反应就是犯规过多，热火全场32次犯规，比对手多出12次，而且76人显然已经适应了这种强度，在这段时间内，热火的高压防守并没有夺走76人哪怕一次球权。

76人在第三节彻底打出了状态，他们有跑位挡切，有错位背打，有突分投射，他们在第三节尽情展现天赋的魅力和体系的可怕，他们在第三节用一波34-20彻底浇灭了热火。然后在更衣室里把运动饮料和巧克力奶浇在了布伦特-布朗教练的身上。

他们有披着新秀外衣的球队核心，有与核心相适配的球员和体系，还有"我们可以拿到一切自己想要的东西"的自信。正如巴克利所说："76人现在可能是东部最好的球队。"

勇士vs.马刺

在开场勇士打出9-0的时候，我更加确信了一点：马刺今天要凉。

这本应是除了马刺队员之外所有人的共识，双方的实力差距放在月球上都可见，上一场的奇迹更像是篮球之神对本赛季多灾多难的马刺的网开一面，然而我还是低估了马刺队。

所以我说——这本应是"除了马刺队员以外的"所有人的共识。

因为马刺的目标依然是胜利，他们依然相信自己能胜利，作为证据，他们到最后时刻甚至追到了只差两分。

然后杜兰特用一记干拔中投收割走了最后的反超希望。

但杜兰特割走的，只是我们的希望，马刺还没有放弃，盖伊还在出手三分，米尔斯还在拼抢前场篮板，吉诺比利在传球失误之后，依然在对勇士犯规。

直到最后一个回合，吉诺比利望着将近10分的分差，这才彻底放弃了比赛。

如果杜兰特那一球没有进，我毫不怀疑，马刺会拼到最后一秒，甚至会拼下这场比赛的胜利，然后带着2-3的大比分回到圣城主场，迎接主场球迷疯一般的欢呼和怒号。他们会朝着3-3的方向前进，毫不犹豫地前进。

他们不会说什么"为了尊严而战"之类的话（丹尼-格林在系列赛前说过，但我很高兴，在整轮系列赛期间，没有一个马刺球员说出这种没出息的话），他们追求的就是下一场比赛的胜利。去年0-3落后的时候是如此，今年1-3落后的时候如此，在2013年G6被雷阿伦一箭穿心后同样如此。

这，才是真正的求胜心，才是真正的职业球员。

马刺的问题多如牛毛，波波维奇的未来、吉诺比利和帕克的未来、莱昂纳德的伤势与合同、丹尼-格林的球员选项、大加索尔关于退役与否的犹豫不决、马刺几位助教也在其他队伍的有意名单之列......我不打算在这里煽情，贤者时间一般的煽情毫无意义。只要莱昂纳德的合同没搞定，马刺管理层今年夏天就有的是事情要忙。童话故事已经落伍了，我们应该习惯马刺的"在商言商"，用纯粹商业化、职业化的角度来看待球队管理层和球员之间的交流与博弈。

反正连保罗-乔治都说过"我会留在印第安纳"，比起乔治，莱昂纳德距离"职业道德败坏"，还有一个小乔丹的距离。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：潘志立

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

订阅：博文 (Atom)

初等数论Part 1： 欧拉定理

汽车买卖合同纠纷中“退一赔三”的操作指南！

比赛日：真正的职业球员

初等数论Part 1：欧拉定理