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实分析Ⅱ|笔记整理（4）——第二三章部分习题解答

（估计这图你们都看烦了，下次我试图换一个……）

大家好！

因为知乎在版本升级的时候出现了意想不到的bug（草稿内容再一次打开会被清空），导致我之前的笔记丢失，损失惨重，所以二三章的笔记整理的内容不会出现在这一系列笔记中，目前我有一些给大家补救的方案，已经专门写在了这里，大家可以看一下：

刘理：杂烩|2018.5-近期情况说明，相关typo修改

这一章是Prof习题课的内容，针对了二三章较难或者重要的习题进行了一些整理。

提供之前的笔记：

我们开始本节的内容。本节是复习章节。

Exercise 1:
设 $I=[0,1] \times [0,1]$ ，令 $E=\{(x,y) \in I : \sin x < \frac12, \cos (x+y) \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\}$ ，求 $m(E)$ 。

根据"可数集的测度为零"的结论，我们可以自然考虑这个集合的另一面。首先根据 $\sin x < \frac12$ 可以得到 $x \in [0,\frac \pi 6)$ ，之后再考虑 $\mathbb{Q}$ ，把集合改成 $[0,\frac \pi 6) \times [0,1] \setminus L$ ，其中 $L=\{(x,y) \in [0,\frac \pi 6) \times [0,1] : \cos (x+y) \in \mathbb{Q}\}$ 。关注重点自然在 $\cos (x+y) \in \mathbb{Q}$ 上。

注意到 $\frac \pi 6 + 1 < \frac \pi 2$ ，所以 $\cos(x+y)$ 在题目给定区间上是一个单减函数，那自然就可以考虑将它的每一个值与区间 $[0,1)$ 上的有理数一一对应。设 $\{r_k\}_{k=1}^{\infty}=[0,1) \cap \mathbb{Q}$ ，并且记 $L_k=\{(x,y) \in L , \cos (x+y) = r_k\}$ ，也就是 $L_k=\{(x,y) \in L, x+y=\arccos r_k\}$ 。那么显然根据 $\arccos x$ 函数的图像，容易得到对于每一个固定的数，这个集合在平面上都是一条线段。注意到 $L=\bigcup_{k=1}^{\infty}L_k$ ，所以它是可数个这样的线段的并。又因为线段测度为0，所以自然得到 $m(L)=0$ ，进一步有 $m(E)=\frac \pi 6$ 。

Exercise 2:
设 $\{B_k\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的递减可测集列， $m^*(A)< + \infty$ 。令 $E_k = A \cap B_k$ ， $E= \bigcap_{k=1}^{\infty}E_k$ ，证明 $\lim _{k \to \infty}m^*(E_k) = m^*(E)$ 。

这是一个递减集合列，我们在书上有一个结论是说，递增集合列的测度和极限运算可交换。所以可以考虑构造递增集合列。那么自然就是考虑 $\{B_k^c\}$ ，也就是 $\{A \cap B_k^c\}$ 。所以根据集合的运算，容易得到 $\lim _{k \to \infty}m^*(A \cap B_k^c) = m^*[A \cap (\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k)^c]$ 。

接下来怎么办？因为集合的可测性并不清楚，所以要考虑的自然是可测集的定义，因为可测集的定义能够构造一些有用的外测度的等式。考虑集合 $B_k,\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k$ ，它们都是可测集，所以根据定义有 $m^*(A)=m^*(A \cap B_k) + m^*(A \cap B_k^c)$ ，并且有 $m^*(A)= m^*(A \cap \bigcap_{k=1}^{\infty}B_k)+m^*(A \cap (\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k)^c)$ 。但是注意到第一个式子取极限，可以得到的是 $m^*(A)=\lim _{k \to \infty} m^*(A \cap B_k) + m^*[A \cap (\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k)^c]$ （用了刚开始的结论）。是不是看着有一项已经一样了？最后再根据 $A$ 外测度有限即可得到结论。

Exercise 3:
设 $W$ 为 $[0,1]$ 中的不可测集，证明存在 $0 < \epsilon <1$ ，使得对任意的 $[0,1]$ 中满足 $m(E) \ge \epsilon$ 的可测集 $E$ ，有 $W \cap E$ 不可测。

这里考虑的是"零测集可测"的结论。因为这个结论成立，所以可以考虑当 $\epsilon \to 1$ 的时候是否会出现反例（因为这个时候，另外一边集合的测度就趋于0了）。因此反证法是必需的。

如果对于任意的 $\epsilon>0$ ，存在 $E_\epsilon \subset [0,1]$ ，并且有 $m(E_\epsilon) \ge \epsilon,E_\epsilon \in \mathcal{M}$ ，使得 $W \cap E_\epsilon \in \mathcal{M}$ 。那么这样的话，考虑取 $\epsilon _j =1-\frac1j$ ，这样的话，因为 $m(E_j) \ge 1- \frac1j$ ，所以有 $m([0,1] \setminus E_j) \le \frac1j$ ，所以 $m^*(W \setminus E_j) < m([0,1] \setminus E_j) \le \frac1j$ 。

记得关于等测包结论的证明吗？我们构造出了一系列的集合它的测度趋于0，那么自然考虑的就是取 $E=\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j$ 。这样的话，首先 $E \in \mathcal{M}$ ，其次 $W \cap E = \bigcup_{j=1}^{\infty}(W \cap E_j) \in \mathcal{M}$ 。并且容易得到的是 $m^*(W \setminus E)=0$ ，也就是 $W \setminus E \in \mathcal{M}$ 。

这会出现什么问题？别忘了， $W$ 不可测，但是 $W=(W \cap E ) \cup (W \setminus E) \in \mathcal{M}$ ，这就矛盾了。

Exercise 4:
设 $\mathcal{F}$ 为 $(0,1)$ 上一个连续函数族，则函数 $h(x)=\inf _{f \in \mathcal{F}}\{f(x)\}$ 在 $(0,1)$ 上可测。

要想证明一个函数可测，只要说明 $E_t=\{x \in (0,1): h(x) <t\}$ 是可测集即可。也就是说，对于任意的 $x \in E_t$ ，都会存在 $f \in \mathcal{F}$ ，使得 $f(x) <t$ 。

注意连续函数的条件。通过这个条件可以得到存在 $\delta >0$ ，使得任意的 $y \in (x-\delta,x+\delta) \cap (0,1)$ ，都有 $h(y) \le f(y) <t$ 。这说明什么？这就说明了 $E_t$ 是一个开集，那它自然可测。

显然这里如果把 $\inf$ 改成 $\sup$ 结论也是成立的，证明也是类似的。

Exercise 5:
设有指标集 $I$ ，且 $\{f_\alpha (x) : \alpha \in I\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数族，判断函数 $S(x)=\sup \{f_\alpha(x) : \alpha \in I\}$ 是否在 $\mathbb{R}^n$ 上可测。

是否可测呢？事实上既有可能可测，也有可能不可测。可测的例子上面那个题就是一个，而不可测的例子要稍微难一些。

取 $W \subset \mathbb{R}^n$ 是一个不可测集，那么设 $f_\alpha(x)=\chi _{\{x_\alpha\}}(x),x_\alpha \in W$ ，这显然是可测函数（因为单点集可测），但是 $S(x)$ 是什么呢？注意到如果 $x \in W$ ，那么显然 $S(x)=1$ ，如果 $x \not \in W$ ，就可以得到 $x \in W$ ，也就是说 $S(x)=\chi _{W}(x)$ 。这是一个不可测集上定义的特征函数，所以自然不可测。

Exercise 6:
设 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上存在右导数，证明右导函数 $f'_+(x)$ 为 $[a,b)$ 上的可测函数。

这个题要使用的结论是"几乎处处连续的函数可测"的。首先注意到表示 $f_+'(x)=\lim _{n \to \infty} \frac {f(x+\frac1n)-f(x)}{\frac1n}$ ，也就是说每一个点的右连续点是存在的。这样的话根据第一章例12（原书P20）的结论即可得到 $\forall x \in [a,b),f(x)$ 的不连续点为一个可数集，那么也就是说 $f(x)$ 几乎处处连续。那么自然可测。这样的话，因为 $f(x)$ 可测，那么自然 $f(x+\frac1n)$ 可测，进而即可推得 $f_+'(x)$ 可测，就证明了结论。

Exercise 7:
设 $f(x)$ 为 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上几乎处处有限的可测函数， $m(E)<+\infty$ ，证明对于任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $E$ 上的有界可测函数 $g(x)$ ，使得 $m(\{x \in E : |f(x)-g(x)|>0\})<\epsilon$ 。

这个题有两种方法，我们分别写在下面。

第一种方法，考虑 $E_0=\{x \in E : |f(x)|=\infty\},E_k=\{x \in E : |f(x)| \ge k\}$ ，那么根据这个构造可以得到 $\{E_k\}$ 是一个递减序列，并且 $m(E_0)=0$ ，其中 $E_0=\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k$ 。那么根据 $m(E) <\infty$ 可以得到 $\lim _{k \to \infty}m(E_k)=0$ 。也就是说 $\forall \epsilon >0$ ，存在 $k \in \mathbb{N}$ ，使得 $m(E_k)<\epsilon$ 。

因为我们的 $E_k$ 的目的是把无界的部分"挖掉"，所以只需要在有限的区域上做定义就可以了。令 $g(x)=\begin{cases}f(x) & x \in E \setminus E_k \\ 0 & x \in E_k\end{cases}$ 。那么这个就是满足条件的函数。

第二种方法是考虑Lusin定理。首先构造 $E_k=E \cap B(0,k)$ ，那么这样的话，对于任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $k$ ，使得 $m(E \setminus E_k)<\epsilon /2$ （这是因为这个构造在 $k \to \infty$ 的时候一定可以做到 $E_k \to E$ ）。又因为 $f(x)$ 为几乎处处有限的可测函数，所以根据Lusin定理，存在闭集 $F_k$ ，使得 $F_k \subset E_k,m(E_k \setminus F_k)<\epsilon /2$ 。并且 $f$ 是连续的。现在只需要令 $g(x)=\begin{cases}f(x) & x \in F_k \\ 0 & x \in E \setminus F_k\end{cases}$ ，那么自然会有 $g$ 也是一个连续函数，这样就可以得到有界性。并且也不难证明它是满足条件的。

事实上，这个题就是要构造一个和原来的函数"差不多"的函数，因此根据这个结论想到的两个方法都是有源头的。第一个方法是考虑挖掉"无界"的部分，通过函数几乎处处有限，来得到想要的结论。第二个方法是根据Lusin定理本身"挖掉一部分测度"的特性，结合连续函数的有界性来得到结论。

Exercise 8:
设 $f(x),f_1(x),...,f_k(x),...$ 为 $[a,b]$ 上几乎处处有限的可测函数，且 $\lim _{k \to \infty}f_k(x)=f(x)(a.e. ~x \in [a,b] )$ ，证明存在 $E_n \subset [a,b]$ ，使得 $m([a,b] \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n)=0$ ，并且 $\{f_k(x)\}$ 在每一个 $E_n$ 上都一致收敛于 $f(x)$ 。

这个结论显然要使用的就是书上的定理3.12（第三节的各个收敛定理务必记得滚瓜烂熟）。根据 $m([a,b])<\infty$ ，可以得到存在 $E_n \subset [a,b]$ ，使得 $m([a,b] \setminus E_n)<\frac1n$ ，并且 $\{f_k(x)\}$ 在 $E_n$ 上一致收敛于 $f(x)$ 。这样的话， $m([a,b] \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n)$ 自然满足结论，相信剩下的部分不难完成。

Exercise 9:
设 $\{f_n(x)\}$ 为 $[a,b]$ 上的可测函数列， $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的实值函数，如果对于任意的 $\epsilon>0$ ，有 $\lim _{n \to \infty}m^*(\{x \in [a,b]: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\})=0$ ，判断 $f(x)$ 是否在 $[a,b]$ 上可测。

首先，根据分解可以得到 $\lim _{m \to 0 \\ n \to 0} m^*(\{x \in [a,b]: |f_n(x)-f_m(x)|>\epsilon \} = 0$ （拆为 $m^*(\{x \in [a,b]:|f_n(x)-f(x)|>\epsilon/2\}$ 和 $m^*(\{x \in [a,b]: |f_m(x)-f(x)|>\epsilon/2\})$ ），也就是说 $\{f_n(x)\}$ 是一个依测度收敛的Cauchy列。那么根据定理3.16，可以得到，存在 $g$ 在 $[a,b]$ 上有限并且可测，使得 $\{f_k(x)\}$ 依测度收敛到 $g(x)$ 。这样的话根据同样的分解，可以得到 $m^*(\{x \in [a,b]: |f(x)-g(x)|>\epsilon\})=0$ 。那么这就是 $f(x),g(x)$ 几乎处处相等的意思，这样的话根据 $g(x)$ 可测即可得到 $f(x)$ 可测。

Exercise 10:
设 $f(x),f_k(x)(k=1,2,...)$ 为 $E \subset \mathbb{R}$ 上的实值可测函数，如果对于任意的 $\epsilon>0$ ，有 $\lim_{j \to \infty}m(\bigcup_{k=j}^{\infty}\{x : |f_k(x)-f(x)|>\epsilon\})=0$ ，证明对于任意的 $\delta>0$ ，存在 $e \subset E$ ， $m(e)<\delta$ ，使得 $f_k(x)$ 在 $E \setminus e$ 上一致收敛于 $f(x)$ 。

这个题目根据题目中给定的条件，容易想到的自然是引理3.11中的一些结论，它的证明中间的构造思想可以用在这里。

根据条件，对于任意的 $i$ ，有 $\lim_{j \to \infty}m(\bigcup_{k=j}^{\infty}\{x : |f_k(x)-f(x)|>\frac1i\})=0$ （我觉得，你不应该再对这个构造表示陌生了），所以对于任意的 $\delta>0$ ，存在 $j_i \in \mathbb{N}^*$ ，使得 $m(\bigcup_{k=j_i}^{\infty}\{x : |f_k(x)-f(x)|>\frac1i\})<\frac {\delta }{2^{i+1}}$ ，那么我们自然考虑把里面这一串集合再并起来，也就是考虑 $m(e)=m(\bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcup_{k=j_i}^{\infty}\{x : |f_k(x)-f(x)|>\frac1i\})<\delta$ 。

考虑并起来后，别忘了它的补集就是一致收敛含义的集合表示，也就是说，对于任意的 $\epsilon >0$ ，只要取 $\frac1 {i_0} <\epsilon$ ，即可得到对于任意的 $k \ge j_{i_0}$ ，有 $|f_k(x)-f(x)| \le \frac1 {i_0} <\epsilon$ ，（这个证明比较简略，更详细的细节读者可以自己完成）。

小结

这一节主要关注了原书的第二三章（测度，可测函数）的相关习题。要注意的是这一块的一些习题都是一些相对来说比较普适性的，看懂和独立解答这些习题后可以算是"过关"实分析的这一部分内容了。但是如果是要备战考试，可能还需要补充一些技巧比较独特的习题以作为积累。

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本专栏为我的个人专栏，也是我学习笔记的主要生产地。任何笔记都具有著作权，不可随意转载和剽窃。

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作者：刘理

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火箭阵地进攻战术分析：战术分析：当保罗被激活得41分时，火箭将如虎添翼

今天给大家带来的战术分析是17-18赛季西部半决赛爵士vs火箭第五战，第二节9分40秒时由保罗发起的一次阵地进攻配合，本场比赛保罗得到了41分10助攻7板的数据，可以说是保罗职业生涯最经典的比赛之一。

第二节9分40秒，爵士打进后火箭发底线球，保罗持球推进。这个时候的保罗的防守人是英格尔斯，所以不难看出爵士希望用身高和身形的优势去限制保罗的进攻，增加他的出球难度。注意，这个时候有个细节，英格尔斯一直在左顾右盼，因为保罗是一个左右都能攻的球员，所以英格尔斯要知道火箭的挡拆要从哪面过来，对于火箭来说现在是属于小打大。

继续往下走，当火箭落入阵地进攻时，火箭的5号位和2号位同时上来掩护。

注意，这里有两个细节，第一是掩护的位置发生在三分线外1.5米，这个掩护给火箭接下来的进攻创造了极大的空间。第二是一定是大给小掩护，这样掩护之后就会容易造成错位。继续，保罗选择了突左边，这时候一定是大往下顺，小往外弹，也就是卡佩拉下顺，戈登往外弹。

注意细节，这个时候爵士的防守就开始发生变化，由于火箭的双掩护，造成了爵士防守端的错位，此前他们希望用身形上的优势去占据场上的空间，但这个时候费沃斯的速度跟不上保罗，所以内托选择了跟费沃斯对保罗实行局部夹击。

然后，保罗第一时间找到了下顺的卡佩拉，爵士内线这个时候必须有人来协防。而与此同时大家看现在画面，火箭在场上的无球侧被完全放空，甚至连摄像机都没有捕捉到埋伏在底角的巴莫特，这就是火箭对空间的利用。

继续往下走，卡佩拉接到球后运了一步，其实这个时候卡佩拉完全可以打比自己身高矮的杰里布克，可是他却选择了无球侧的巴莫特。

此时爵士的防守已经是失位的，当巴莫特接到球后，他马上回给戈登，这个时候英格尔斯基本处于蒙圈状态，根本补不过来。火箭戈登手起刀落，命中三分。

以上的战术总结就是由保罗在距离三分线1.5米处接到卡佩拉和戈登的双掩护，他选择了从左路进攻，这个时候由于卡佩拉的下顺和戈登的外弹，保罗和他们俩人形成了一个局部的三角，内线必须要补防卡佩拉，外线也不敢放戈登，这个时候就漏了无球侧的巴莫特，经过一次传导之后由戈登命中三分，这是典型的利用空间破解防守的打法，不过有两个非常重要的细节要跟大家讲解一下。
第一，就是戈登跟巴莫特的位置，他俩必须站在三分线外。否则的话空间是出不来的，协防人员也可以轮转到位。仔细看，他俩的位置在卡佩拉接球前后一直都在三分线外。

第二，就是巴莫特，一定要在配合顺利的情况下一定要站在45度角往下的位置，因为在这个位置协防人员的视角是很难注意到的。另外空间也可以拉的最大，球场的宽度是15米，我们再看保罗和巴莫特的距离至少有14米，这个时候协防人员是很难滑过来的。除此之外，这个位置千万不能动，这个位置动了的话整个战术就基本失误了，我们看到巴莫特，戈登都投篮了，他还在三分线。而我们平时打野场时，站在巴莫特这个位置的人通常没有什么耐心，但是信心却是十足，早就出去要球自己单干了，正常来说这个位置是不应该的动的。

综上，这个战术讲的就是火箭对空间的利用，保罗对进攻方式的选择，对对手防守变化后做出的判断，所以不得不说保罗确实是阵地进攻大师，很骚一批。不过他真正牛B的地方在于自身有着强大的进攻能力，不包夹就单打你。

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作者：马健

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如何评价《复仇者联盟 3 ：无限战争》?

有轻微剧透。

既然大家都在夸，那么...我负责浇凉水。

我一向认为，商业动作片的剧本并不好写——那些说"动作片不需要剧情"的人，劳驾把《木乃伊》看十遍好吗？如果创作者的野心不止限于把轰炸眼球的动作场面喂给观众，他得注意：

叙事节奏。把数场动作戏均匀安插于影片中调动观众神经。不能太密集，得给观众消化时间；也不能太分散，观众会觉得冗长无聊——《超凡蜘蛛侠2》就败在这里。

就算没时间深入刻画人物，不代表人物是移动台词机。你得给他/她/它情感基础、行为动机、性格特点等等等等…让ta的行为流畅自然，为关键时刻的思想/行为转变打基础，而不是为剧情硬拗。

台词大多是功能性的，我理解，但不能写成直白的剧情攻略：我们得去A（地点）找B（人物），然后去C（地点）拿D（物品）....不能让台词太傻/太脱戏/太背离人物性格。你可以往里面适量放点笑料调剂，但不能让人物单纯斗五分钟嘴皮而无实质内容。为推进剧情安排的信息要适度，不能同样的事一说再说说了又说——观众不是傻瓜，信息接受一次就够了。每段对话最好限定在两分钟内，说完了赶紧到下一场戏。

你可以在前半个小时就设好最终目标，然后让人物们冲着目标跑吧。有些傲娇的观众会说"剧情俗套"——没关系，商业类型片嘛。但在少则一个半小时多则两个半小时时间里还是要安排一些波折，不能太平铺直叙；也不能缺乏剧情/人物性格铺垫而生硬转折。有些电影过程过于出乎意料（比如《哥斯拉》和《星战8》）并非好事。

总之请记住：观众是有上帝视角的。观众能掌握剧中角色不知道的内容，在这一前提下，剧本处理要格外小心：如果过于"套路"，观众会厌倦；如果转折生硬，观众会产生抵触感。

即使避开《复仇者联盟3》上映前的所有剧透，我还是知道结局：灭霸一定能够集齐六颗宝石，所有反对派都是纸老虎。是的，这就是"终点"，非常糟心，非常惨，但剧情还是得朝着它跑。在这一上帝视角加持下，第一件让我不爽的事情发生了：

为什么我方一再怒送人头？

影片中发生了三次：洛基行刺灭霸；星爵拉着卡魔拉、德克斯和螳螂女说"我们组团刷灭霸吧！"；托尼拉着奇异博士（身上还带着时间宝石）和小蜘蛛说"我们组团揍坏蛋吧！"。

——你说这三次，哪次不被灭霸揍得灰头土脸？！嗷？？！！

还不包括影片没拍出来的星云行刺灭霸失败，导致卡魔拉泄露灵魂宝石埋藏地点。

如果灭霸主动出击，我方节节败退——是的我说的就是瓦坎达保卫战，在必输之战中观众还能感受到悲壮。但我方主动出（送）击（死）行为，在开了上帝之眼的观众眼里实在太傻了，很难产生共鸣。而且用了三次！三次！！在剧本创作上，这是偷懒行为：一再用同一种驱动模式推动剧情。

第二件让我不爽的事：在商业类型片中经常出现一种角色行为：你叫ta别这么干，ta偏要这么干；你叫ta一定要这么干，ta偏不这么干。尤其在生死存亡之际，角色偏要作大死，拥有上帝视角的观众对作死行为是有抵触情绪的。比如《潘神的迷宫》中女主角两次作死行为，让我对她好感度大降，进而影响对影片观感。当然，编剧可以采用一系列伏笔和铺垫使角色行为合理化，但在商业类型片有限的时间里，这些铺垫很难到位。

《复仇者联盟3》也出现了两次作死行为，且全部集中在星爵身上——星爵何罪之有，为啥被剧本安排连作两次不讨喜行为？如果说第一次"你叫他一定要这么干，他偏不这么干"还有客观原因限制——灭霸实力太强，他真的做不了；那么第二次"你叫他别这么干，他偏要这么干"就是不折不扣作大死了。尤其是身边一群人围着劝"大哥算了算了一定要忍住…"，而且我方胜利在望的情况下。这场景让我想起…《王者荣耀》中四名玩家死死抱住第五名队友："大哥求求你别再送了！！"即使知道是剧情安排，也有情感描写铺垫，我还是忍不住想：星爵这次人设很不讨喜啊….

以上两点是影片中最让我不爽的地方。还有一些在我眼里的小瑕疵。

灭霸真的爱卡魔拉——啥？铺垫在哪儿？？这事儿是动动嘴皮就来的吗？？？

"拿宝石换命"的梗用了两次。请注意，我不是从剧情逻辑角度批评——第二次有博士的"预测未来"作为剧情铺垫，我理解——而是从剧本角度批评：难道编剧想不出其他桥段让灭霸获得宝石吗？

漫威还是搞不定人物实力档位。幻视是半神存在，实力惊人。但过强的实力会破坏群架战斗平衡，于是一而再再而三的被强行降档。《美国队长3》已经让我很不爽——如果幻视火力全开，还有队长吧唧什么事儿啊——到了《复仇者联盟3》完全酱油。红女巫也是厉害角色，以一顶N不是梦；但这次就像琼瑶剧女主角，大部分时间哭哭唧唧上演苦情戏码。最后红女巫和幻视的生离死别是催泪大戏，我都感觉情感浪潮要涌上来了，然后灭霸一个时间大招——白煽情了！

黑寡妇的实力定位很尴尬。没有科技强化也没有魔法加持，只是一个战斗力稍强的凡人。对手越来越变态（不是神仙就是妖怪），还得肉搏，连个趁手的远程武器也没有。看电影的时候我想：这个情况貌似我见过，就像…就像…《天上天下》！学院里动辄一帮血统怪物，可黑寡妇不是俵文七啊！

同样，由于敌人和我方越来越变态，不是飞天走地就是魔法/导弹对轰，《美国队长2》中令人眼前一亮的近身肉搏也没机会展现了。《复仇者联盟3》各种大场面视觉奇观不少，但观众早已见多识广，内心难起波澜。唉，真怀念《美国队长2》中的电梯肉搏啊。

灵魂宝石犹如从天而降，毫无铺垫。真的，在影院看到这一幕我差点笑出声——那么多公众号/营销号分析来预测去，又是海姆达尔的眼睛又是瓦坎达某处。结果呢，真是万万没想到咩哈哈哈哈~~~

即使有这样那样的细节瑕疵，我居然不认为《复仇者联盟3》差，算是合格之作。《复仇者联盟》系列的群戏框架（那么多角色怎么拍，哪些人和哪些人放到一起拍，每条叙事线的内容/目的是什么，最后线索如何汇聚，等等等等）是最难安排的，尤其在人物越来越多的情况下。这次群戏框架做得不错，多线叙事表现沉稳，我个人认为是全片最大亮点——说到《正义联盟》的群戏框架啊…我就不吐槽了。

我最喜欢哪场戏呢？索尔修好熔炉获得战斧。这是非常难得的流畅自然不拧巴的戏——因为《复仇者联盟3》大多动作场面，都自带"我方必败"的隐藏结局。而"铸战斧"不是，观众知道一定会成功，终于一抒憋了半天的闷气。这是我观影过程中情绪最昂扬的时刻。

《复仇者联盟2》肩负过重任务：要总结前文，要引出新角色，要塑造反派，要为未来作品铺垫，要展现动作场面和视觉奇观，还要描写人物关系…过量的内容被压缩在有限时间内，以至于节奏失衡，把它拍好真是"神仙难为"。而《复仇者联盟3》的任务就轻松多了：阶段性总结作品，连新角色惊奇队长的引入都交由单人电影。那么它能否表现更好？也许。比如修正剧本细节。这就是观众各花入各眼的问题了。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：丁勾

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延伸阅读：
如何评价《复仇者联盟 2：奥创纪元》？
如何评价《雷神 2》？

从开发人员角度使用 iPad Pro 最佳实践

我主要做后端开发，近期一直在使用 iPad Pro 做些编码之外的事情，在很大程度上提升了我的工作、学习效率，在这里分享下一些使用实践。

主题：

为什么要买 iPad Pro
使用场景
常用软件

一、为什么要买 iPad Pro

主要有两方面的需求：

需要阅读大量文档
需要对文档深入理解

我当前的工作主要集中在「容器云」领域的开发，这个领域发展很迅速，市面上的书籍跟不上当前的进展，需要通过诸如 github、blog 等途径获取资料来提升。面对电脑，即使是 Retina 屏的 Mac，长时间阅读文档的效率也比较低，眼睛会很酸疼。前段时间左眼患了结膜炎，让我对保护眼睛更加重视。

同时，除了坐在电脑面前，我还有很多时间在交通工具、外出等，阅读的场合比较多样化。

虽然有 Kindle，但几年下来感觉用 Kindle 更适合阅读非工作相关、个人感兴趣的书籍，如各类文学书、心理学书籍等。缺乏便利的标注、笔记、检索等功能，使得 Kindle 阅读与工作相关的书的场景很少。

iPad Pro 这时进入了我的视线，尤其是和 Apple Pencil 结合，正好可以满足我上述的需求。价格虽然有些小贵，但考虑到它未来给我带来的价值，还是需要买的。

二、使用场景

我目前主要有三类使用场景：

阅读 github 上的文档
阅读 paper
阅读 blog

我会花大量时间阅读 k8s 的设计文档，如下图的效果：

竖屏阅读的效果就像在看一本杂志，注意力比较集中。

我常会把这些文档通过 Safari 转成 pdf 格式分享到 Notability 这个 APP 中，边阅读边标记：

请忽略放荡不羁爱自由的字体……电脑时代还是要练好字的。

阅读 paper 和 blog 时，我也会采用这种方式，先导到 Notability 中，然后边阅读边标记。

这里要提到一点儿，要最大化 Notability 功能，或者说「标注/笔记」功能，需要 Apple Pencil 的，拿个笔写写画画。

对于写文档，目前体验下来 Google Docs 更舒服些，比如现在这篇文档就是在 Google Docs 上写的，配上 iOS 11 的分屏功能，右边开着 MindNode 总结文档思路，左边写文档：

三、常用软件

知乎上有很多类似的问题可以参考，这里仅从个人的特点上列出常用的软件。

我在娱乐方面需求单一，听听歌、看看动漫或视频就好，但对办公软件、效率软件的需求大，常用的有这些：

笔记/文档相关

Notability
Google 办公软件系列

Docs
Sheets
Slides

个人云存储相关

Google Drive

效率工具

OmniFocus
MindNode
1Password
SsrConnectPro

通讯工具

Gmail
Slack

娱乐相关

QQ 音乐
优酷视频

其他

欧路词典
百度输入法

小结

这段时间 iPad Pro + Apple Pencil 在「阅读效率」「阅读质量」「保护眼睛」方面给我带来的帮助很大。由于我更喜欢对着大屏幕、用手感更好的键盘编码或长时间打字，暂时没买配套的键盘，不过短时、高频写文字的场景下考虑配套键盘可能会进一步提升效率。

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作者：flyer

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从温升的角度谈断路器在低压柜内的降容

某网友的提问：微断、塑壳、框架断路器额定电流最大值都等于壳架等级电流，那么在工程设计中是否够使用250/250A的断路器？他理解是可以使用，但是单位里的老工程师却建议，选用断路器如果要选用250A这一档，最好使用400/250A，而不是250/250A，这是为什么呢？
下面我们从"温升"的角度讨论断路器在低压柜内的降容问题，解答该网友的疑惑，为设计院工程师在低压元器件选型时提供参考。问题里面提到的250/250A和400/250A,斜杠"/"前面的250和400是指断路器的额定电流I_n，例如NSX250和NSX400；斜杠"/"后面250A是指脱扣器的额定电流I_n^'，完整型号描述如NSX250N-Micrologic2.3- 250A和NSX400N-Micrologic2.3- 250A。
一、断路器的壳架等级电流I_rq
在GB14048.2低压断路器标准和施耐德电气装置应用（设计）指南2017版，以及《工业与民用配电设计手册》第三版都有提到，断路器的壳架等级电流I_rq指该断路器所能装的最大过电流脱扣器的额定电流。例如对于热磁式的NSX250塑壳断路器，它可以安装63A、80A、100A、125A、160A、200A、250A总共7种脱扣器，最大过电流脱扣器的额定电流为250A，所以Compact NSX250断路器的壳架等级电流就是250A。

对于热磁式脱扣器，其长延时整定范围为0.7-1.0倍额定电流，对于电子式脱扣器，整定范围为0.4-1.0倍额定电流。断路器壳架等级电流I_rq与脱扣器额定电流I_n^'、长延时保护整定电流I_r之间的关系如下图所示。

二、断路器在自由空气中的额定电流I_n
对于低压断路器而言，其本体的额定电流I_n=额定不间断电流I_u=自由空气发热电流I_th，自由空气发热电流I_th是指不封闭电器在自由空气中进行温升试验时的最大试验电流。"不封闭电器"是指无外壳防护，"自由空气"理解为在正常的室内条件下无通风和外部辐射的空气，从发热和散热的角度讲就是热源只有断路器本身（无外部辐射加热）、无自然对流散热（无通风）。例如NSX250断路器在40℃下的额定电流值为250A，这表明该断路器在敞开式的环境下，能长时间承载的250A电流且接线端子(镀银)的温升值不会超过70K,即端子允许的极限温度为110℃。

但是，由于断路器经常会安装在低压开关柜内使用，于是相对于自由空气发热电流I_th，断路器还要一个约定封闭发热电流I_the，用此电流对安装在规定外壳内的断路器进行温升试验。
自由空气发热电流I_th与约定封闭发热电流I_the的区别就在于，前者只考虑单独的断路器在敞开环境下的温升情况，不受外部空间限制且自由通风散热，后者考虑断路器在规定外壳或低压柜内的温升情况，与实际应用中断路器的运行方式相同。

三、断路器在自由空气中的温升∆θ
GB 14048.2低压断路器标准和GB 7251.12低压成套产品CCC认证，规定断路器端子（镀银）的温升极限是70K。温升∆θ是指载流导体或元器件表面温度与环境温度之差，单位为K。环境温度范围为-5℃~+40℃，且24h内平均温度值不超过35℃。当元器件的发热与散热到达平衡的情况下（8h），温度不再上升，此时温升也就稳定下来。试验时其环境温度应在10℃-40℃之间，其变化不应超过10K。

断路器温升试验时对于连接电缆的截面和长度也是有要求的，对于NSX250需要选用长度为2米截面积为120〖mm〗^2的单芯聚氯乙烯绝缘铜导线。

查询《工业与民用配电设计手册》第四版第九章表9-28（b），截面积为120mm^2的聚氯乙烯绝缘铜芯电线在明敷时的载流量是345A（40℃），远大于NSX250的额定电流250A（40℃），温升试验这样选型的目的是只考虑断路器自身发热对温升的"贡献"，大截面电缆可以通过热传导方式帮助断路器散热，截面越大散热效率越高。在实际工程中，设计工程师或现场电工在明敷的情况下一般不会选择截面积为120mm^2的电缆与额定电流为250A的断路器相连接，而会根据《工业与民用配电手册》第四版 11.2节关系式11.2-1和式11.2-2选择截面积为95〖mm〗^2电缆，其载流量为297A（40℃），大于NSX250的额定电流250A，满足过负荷保护要求，但从温升的角度考虑，电缆截面越小其热传导散热效率越差，这就是试验室条件与实际应用的差别。
过负荷保护电器的动作特性应满足以下两个条件：
I_c≤I_N≤I_z--------（11.2-1）
I_2≤1.45I_z--------（11.2-2）
式中： I_c为回路计算电流 A；
I_z为导体允许载流量A；
I_N为熔断体额定电流或断路器额定电流或整定电流 A；
I_2为保证保护电器可靠动作电流，A，当保护电器为断路器时，I_2为约定时间内的约定动作电流，当保护电器为熔断器时，I_2为为熔断体约定时间内的约定熔断电流，I_2由产品标准规定或由制造厂给出。

四、断路器安装在低压柜内的情况
当NSX250安装在低压柜内时，由于NSX250作为发热源在同样的电流情况下其发热功耗不变，但是柜内散热条件和效率不如自由空气中，所连接电缆的长度远远低于单个断路器温升试验时的长度，还会受到相邻断路器发热的影响，如果还是需要保证导体允许温度极限不变就需要通过降容来保证（降低电流→减少发热功耗）。如下图所示，NSX250塑壳断路器安装在施耐德iPM低压柜内，在电缆截面120〖mm〗^2和导体允许温度极限不变的情况下，柜体防护等级IP≤31时允许承载的电流为231A（40℃）；柜体防护等级IP＞31时，由于散热条件更差，需要降容到220A（40℃），低于自由空气中NSX250的载流量250A(40℃)。

假如线路的计算电流I_c为245A，接近于NSX250的额定电流I_n, 断路器安装在防护等级为IP4X的低压柜内，柜体无强制通风。
从温升的角度考虑，线路电流为245A，iPM低压柜内的NSX250断路器在外部环境为40℃的情况下只能允许承载231A电流，此时线路电流大于断路器允许承载的电流，很显然会造成断路器温度超标、降低电缆的使用寿命，引发绝缘故障或短路故障，所以在这种情况下需要选择NSX400的断路器，其在40℃环境温度下柜内允许承载的电流为370A,大于245A的线路电流，不会造成断路器和电缆温度超标。

从线路过载保护的角度考虑，依据《工业与民用配电设计手册》第四版第11.3.7节反时限过电流脱扣器整定电流要求：
I_set1≥I_c （11.3-2）
I_set1≤I_z （11.3-3）
式中I_set1为反时限脱扣器整定电流值，I_c为回路计算电流 A，I_z为导体允许载流量A；
选择电子式脱扣器塑壳断路器NSX400-Micrologic2.3- 250A，脱扣器额定电流为250A，长延时保护阈值I_o选择250A一档，长延时保护阈值微调I_r选择1.0档即可，如下图所示。

但是当外部环境温度为25℃甚至更低（例如恒温的变电站内），线路计算电流仍然为245A，低压柜防护等级为IP4X，此时选择的NSX250-Micrologic2.3- 250A，无论从温升角度还是保护角度考虑都是合适的。
对于框架断路器ACB在低压柜内的降容情况，MT断路器样本给出了如下图所示的推荐表，例如MT25的框架断路器，安装在H2300*W800*D900低压柜内，柜体IP等级为31，自然风冷，环境温度为35℃，连接母排为4根100x5，断路器端子为水平端子时允许承载的电流为2375A，垂直端子时允许承载的电流为2500A,需要说明的是这些表格的数据是从试验和理论计算得出，表格只是作为指导并不能替代工业实际经验或温升试验。低压成套设备制造商应通过温升试验的方式提供某型号断路器在低压柜内的允许承载电流值。当线路计算电流I_c与断路器额定电流I_n相近，又无法从成套制造商那里获得断路器在低压柜内允许承载电流值时，通过上面分析可知，设计院工程师在断路器选型时可以选择大一级额定电流,以保证温升要求。

五、总结
1、低压断路器样本中的额定电流I_n是指其在40℃环境温度下、"自由空气中"温升不超过70K（镀银端子）时的允许承载电流；
2、由于低压断路器一般安装在低压柜内运行，散热条件不如"自由空气中"，此时需要综合考虑柜体IP防护等级、柜体尺寸大小、环境温度、是否强制风冷、导体截面、海拔等因素对断路器允许承载电流的影响，尤其当线路计算电流I_c与断路器额定电流I_n接近，又无法从成套制造商那里获得该断路器在低压柜内的允许承载电流时，通过上面分析可知，设计院工程师在断路器选型时，考虑选择额定电流大一级的断路器，以满足温升要求。

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作者：宾昭平

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