初等数论Part 2:中国剩余定理

1.这是一个初等数论的入门级别文章

2.适合中学数学水平的读者

3.建议在阅读此篇之前阅读Part1

4.主要内容:中国剩余定理(CRT),贝祖定理,扩展欧几里得算法,逆元


《九章算术》中曾经提到过一个经典的问题

"今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?"

翻译一下就是:已知一个正整数模3余2,模5余3,模7余2,求这个数是几?

写成数学语言就是求解同余方程组

x\equiv 2\pmod{3}\\ x\equiv 3\pmod{5}\\ x\equiv 2\pmod{7}

在Part1中我们曾经提到过一下,解这种同余方程组的时候我们往往使用中国剩余定理

已知正整数 n_1, \dots, n_k>1 两两互质,定义 N=\prod_{i=1}^k n_iN_i=\frac{N}{n_i}
又已知整数 a_1, \dots, a_k ,那么同余方程组
x\equiv a_1 \pmod{n_1}\\ x\equiv a_2 \pmod{n_2}\\ \vdots\\ x\equiv a_k\pmod{n_k}
0\le x < N 范围内有且仅有一个解
因为 \gcd(n_i, N_i)=1\quad \forall i\in\{1, 2, \dots, k\} ,由贝祖定理我们能够得到对于每一个 i\in\{1, \dots, k\} 存在整数 M_i, m_i 使得
M_iN_i+m_in_i=1\\
通过扩展欧几里得算法求出 M_1, \dots, M_k ,这个同余方程组的一个特解就可以表示为
x_0=\sum_{i=1}^k a_i M_iN_i \\
通解可以表示为
x=Nq+x_0\\
其中 q\in \mathbb{Z} 是任意整数

这段的信息量非常大,我们下面逐步来理解。


首先补充一点必要的背景知识

1.贝祖定理
对于整数 a, b 存在整数 x, y 使得 \gcd(a, b)=ax+by
整数 a, b 互质的充分必要条件是存在整数 x, y 使得 ax+by=1

已知非零整数 a, b ,记集合 S=\{ax+by\mid x, y\in\mathbb{Z}\ \ \mathrm{and}\ \ ax+by>0\}

记整数 d=ax_0+by_0S 的最小元素

我们只需要证明 d=\gcd(a, b) 就证明了贝祖定理,

a=dq+r 其中 q, rad 的商和余数

r=a-dq=a-(ax_0+by_0)q=a(1-x_0q)+b(y_0 q)\\

所以 r\in S\cup\{0\} ,我们又知道 0\le r<dd 又是 S 的最小元素,所以 r=0

这意味着 d\mid a ,同理可证 d\mid b ,又因为 \gcd(a, b)\mid d ,所以 d=\gcd(a, b)
另外,贝祖等式的系数并不唯一,有无穷组系数 (x, y) 都能够满足 \gcd(a, b)=ax+by ,事实上,如果 (x, y) 是一组系数,那么所有系数可以表示为
\left(x+k\cdot\frac{b}{\gcd(a, b)} ,\ y-k\cdot\frac{a}{\gcd(a, b)}\right)\\
其中 k\in\mathbb{Z} 是任意整数


2.欧几里得算法(辗转相除法和更相止损术)

在小学可能大家有学过Division-based Euclidean algorithm(辗转相除法)找最大公因数

比如说如果我们想要找18和14的最大公因数

\begin{align}\gcd(18, 14)&=\gcd(14, 18\bmod 14)=\gcd(14, 4)\\&=\gcd(4, 14\bmod4)=\gcd(4, 2)\\&=\gcd(2, 4\bmod 2)=\gcd(2, 0)=2\end{align}

def gcd(a, b):     if b == 0:         return a     else:         return gcd(b, a % b) 

原理是 \gcd(a, b)=\gcd(b, a\bmod b)\quad \forall a, b\in \mathbb{Z}

这个只需要注意到 a\bmod b = a - b \left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor

类似的,我们有Subtraction-based Euclidean algorithm(更相减损术)

\begin{align}\gcd(18, 14)&=\gcd(14, 18-14)=\gcd(14, 4)\\&=\gcd(4, 14-4)=\gcd(4, 10)\\&=\gcd(4, 10-4)=\gcd(4, 6)\\&=\gcd(4, 6-4)=\gcd(4, 2)\\&=\gcd(2, 4-2)=\gcd(2, 2)=2\end{align}

def gcd(a, b):     #处理gcd(a, 0)=gcd(0, a)=a的情况     if a * b == 0: return a + b          if a == b:         return a     elif a > b:         return gcd(b, a - b)     else:         return gcd(a, b - a) 

原理是 \gcd(a, b)=\gcd(b, a-b)\quad \forall a, b \in \mathbb{Z}

辗转相除法,更相减损术和位运算结合还可以优化最大公因数的算法,这里不深入探讨。


4.扩展欧几里得算法

中国剩余定理中有一个重要步骤就是用扩展欧几里得算法求解贝祖等式的系数。

def exgcd(a, b, x0 = 1, x1 = 0, y0 = 0, y1 = 1):     if b == 0:         return a, x0, y0     else:         q, r = divmod(a, b)         return exgcd(b, r, x1, x0 - q * x1, y1, y0 - q * y1) 

算法返回的 \mathtt{(a, x0, y0)}\mathtt{a} 是最大公因数, \mathtt{(x0, y0)} 是贝祖等式的系数

而且 \mathtt{(x0, y0)} 是两组数值最小的系数之一,也就是说他们满足

|\mathtt{x0}|\le \left |\frac{b}{\gcd(a, b)}\right |\quad\quad |\mathtt{y0}|\le \left | \frac{a}{\gcd(a, b)}\right |\\

取等号的条件是 a\mid b 或者 b\mid a

为了证明扩展欧几里得算法的正确性,可以用以下递推式描述它

\begin{alignat}{2} &r_{i+1}=r_{i-1}\ - r_i &&\left\lfloor \frac{r_{i-1}}{r_i}\right\rfloor\\ &x_{i+1}=x_{i-1} - x_i&&\left\lfloor \frac{r_{i-1}}{r_i}\right\rfloor\\ &y_{i+1}=y_{i-1} \ - y_i&&\left\lfloor \frac{r_{i-1}}{r_i}\right\rfloor\\ \end{alignat}\\

初始值 (r_0, r_1, x_0, x_1, y_0, y_1)=(a, b, 1, 0, 0, 1) ,可以证明,当 (r_0, r_1)=(a, b)

a x_i+b y_i=r_i\quad\forall i\in\mathbb{N}\\

这个通过归纳法即可

\begin{align}r_{i+1}&=a x_{i-1}+b y_{i-1} -(a x_i+b y_i) \left\lfloor \frac{r_{i-1}}{r_i}\right\rfloor \\&=a\left(x_{i-1} - x_i\left\lfloor \frac{r_{i-1}}{r_i}\right\rfloor\right)+b\left(y_{i-1} \ - y_i\left\lfloor \frac{r_{i-1}}{r_i}\right\rfloor\right)\\&=ax_{i+1}+by_{i+1}\end{align}\\

容易验证 r_0=ax_0+by_0 所以算法的正确性就得到证明了


我们可以从「插值」的角度来理解中国剩余定理。

首先提出这么一个问题:如何找到一个多项式方程 f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 使得

f(a_1)=b_1\\ f(a_2)=b_2\\ \vdots\\ f(a_k)=b_k

其中实数 a_1, \dots, a_k 和实数 b_1, \dots, b_k 满足 a_1<a_2<\cdots<a_k

这里我们就需要拉格朗日多项式的帮助了

(推荐阅读知乎用户 @马同学 的关于拉格朗日多项式的回答

3.经过点 (a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots, (a_k, b_k) 的拉格朗日多项式函数为
\mathcal{L}(x)=\sum_{i=1}^k b_i \delta_i(x)\\
其中
\delta_i(x)=\prod_{1 \le j\le k \atop j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}=\frac{x-a_1}{a_i-a_1}\cdots \frac{x-a_{i-1}}{a_i-a_{i-1}}\cdot \frac{x-a_{i+1}}{a_i-a_{i+1}}\cdots \frac{x-a_k}{a_i-a_k}\\

我们容易发现 \delta_{i}(a_j)=\left\{ \begin{matrix}1 \quad \quad i=j \\ 0 \quad\quad i\ne j\end{matrix} \right. ,所以代入一下

\begin{align}\mathcal{L}(a_i)&=b_1\delta_1(a_i)+b_2\delta_2(a_i)+\cdots+b_i\delta_i(a_i)+\cdots+b_{k-1}\delta_{k-1}(a_i)+b_k\delta_k(a_i)\\&=0+0+\cdots+b_i+\cdots+0+0\\&=b_i\end{align}\\

用拉格朗日多项式做类比,求解同余方程组(序言中的定义)

x\equiv a_1 \pmod{n_1}\\ x\equiv a_2 \pmod{n_2}\\ \vdots\\ x\equiv a_k\pmod{n_k}

我们的特解可以写成

x_0=\sum_{i=1}^k a_i M_iN_i \\

因为 M_iN_i=1-m_in_i 我们能知道 M_iN_i\equiv\left\{ \begin{matrix}1 \quad \quad i=j \\ 0 \quad\quad i\ne j\end{matrix} \right. \pmod{n_j} ,代入

\begin{align}x_0&\equiv a_1M_1N_1+a_2M_2N_2+\cdots+a_iM_iN_i+\cdots+a_{k-1}M_{k-1}N_{k-1}+a_kM_kN_k \pmod{n_i}\\&\equiv0+0+\cdots+a_i+\cdots+0+0\\&\equiv a_i\end{align}\\


回到一开始的例子,求解同余方程组

x\equiv 2\pmod{3}\\ x\equiv 3\pmod{5}\\ x\equiv 2\pmod{7}

首先,注意到

\begin{alignat}{3} &5\times 7\times\color{red}{ (-1)}&&+3\times\color{red}{ 12}&&=1\\ &3\times7\times\color{red}{ 1}&&+5\times\color{red}{(-4)}&&=1\\ &3\times 5\times\color{red}{ 1}&&+7\times\color{red}{(-2)}&&=1 \end{alignat}\\

这些系数可以通过扩展欧几里得算法计算得到,也就是执行

\mathtt{exgcd(5*7, 3)}, \mathtt{exgcd(3*7, 5)}, \mathtt{exgcd(3*5, 7)}\\

于是有特解

x_0=\color{red}2\times5\times 7\times(-1)+\color{red}{ 3}\times3\times7\times 1+\color{red}{ 2}\times 3\times 5\times 1 = 23\\

又因为 N=3\times 5 \times 7 = 105

通解就可以表示为 x=105q+23 ,其中 q 是任意整数

实际问题中有可能遇到 n_1, \dots,n_k 不是两两互质的情况(这种情况不一定有解),这时我们往往会选择拆分方程,

如果 m\mid Ma\equiv b\pmod{M} 那么 a\equiv b\pmod{m}

所以要如果 \gcd(n_i, n_j)\ne 1 那么可以把 n_i, n_j 分别分成两个互质整数的积,如果这四个方程不矛盾,我们就可以继续用中国剩余定理解决。


接着我们来看看模乘逆元

如果整数 a, n 互质,那么方程
ax\equiv 1\pmod{n}\\
在模 n 意义下有且仅有一个解,我们称这个解为 a 在模 n 意义下的逆,记为 a^{-1}

首先由贝祖定理,存在整数 b, c 使得 ab+nc=1

所以 ab= 1-nc\equiv 1 \pmod{n}

所以 b 就是方程的一个解,然后我们只需证明 b 是唯一的解(模 n 意义下)

假设有另外一个解 w 满足 aw\equiv 1\pmod{n}w\not\equiv b \pmod{n}

那么 w\equiv w\times (a\times b)\equiv (w\times a)\times b\equiv b\pmod{n} ,矛盾!

如果我们要求 a 在模 n 意义下的逆,只用通过扩展欧几里得算法(执行 \mathtt{exgcd(a, n)} )求出贝祖等式中 a 的系数即可,所以中国剩余定理的特解也可以写成

x_0=\sum_{i=1}^k a_i T_iN_i \\

其中 T_i=N_i^{-1}\pmod{n_i}


之前说Part2要写的很多东西都没写(内容实在太多了),只好把威尔逊定理,Divisibility Test, Divisor function这些内容放在Part 3了。多元中国剩余定理的问题很有意思,可能会单独作为一个Part讨论一下。



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:Daniel Xiang

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绿军的铁血真汉子;76人与热火系列赛总结;给韦德的私心

凯尔特人VS雄鹿





双方对位:


凯尔特人:


罗奇尔VS布莱德索、塔图姆VS布罗格登、杰伦布朗VS米德尔顿、奥杰莱VS字母哥、霍福德VS泽勒


雄鹿:


布莱德索VS罗奇尔、布罗格登VS杰伦布朗、米德尔顿VS塔图姆、字母哥VS奥杰莱、泽勒VS霍福德


G4打完,我判断大家的牌打的差不多了,这轮系列赛可斗智的地方可能不多,输赢更看双方球员的临场发挥。


我承认我忘了斯马特这场能打了,以及,史蒂文斯怎么可能在天王山之战不出牌呢?


少帅主动变阵,奥杰莱顶替贝恩斯首发——说实话,其中道理我有点想不通。我们通常认为贝恩斯在场能提供更好的防守,而进攻端会拖空间,霍福德顶上五号位往往进攻会更好。但这轮系列赛特殊的地方是,对位霍福德的是雄鹿协防能力最好的字母哥,中锋(亨森、泽勒或者梅克)对贝恩斯,如果用奥杰莱,雄鹿就可以调整为中锋对霍福德,字母哥对奥杰莱——奥杰莱一样拖空间,投篮还不一定比贝恩斯强,绿军这个调整让字母哥在防守端解放了。贝恩斯这轮系列赛前场篮板球很有统治力,绿军便秘的进攻若是篮板续不上,可能更不好打了。


事实也证明,奥杰莱本场正负值-5,是绿军最低的。


但少帅一定有他的道理,正负值不能说明全部,特别是一场比赛里轮转阶段不同影响很大,正负值有很大的欺骗性。少帅不但只给了贝恩斯10分钟出场时间,干脆没让门罗上场,他把两个大中锋都弃用了——篮板优势,低位优势都不要了?


这是我在前瞻里预言的绿军两项优势,绿军也的确展示出他们在这两项能力上有优势,但少帅就是不要了——系列赛打完4场,雄鹿成为季后赛进攻效率最高的球队,少帅忍不了了。


上一期我在留言说,雄鹿有效命中率太高了,暴走严重,这场有下滑的可能——当你过于牛逼时,人品守恒定律100%会予以制裁。但还是得说,绿军前四场的确有一个劣势——存在的错位点比雄鹿更多。雄鹿挺喜欢找贝恩斯、门罗的小打大错位,也喜欢找拉金和罗奇尔的大打小错位,反过来,雄鹿自己这边几乎每个球员都有换防弹性,绿军被逼的单挑球打了不少,开发进攻越来越便秘。


所以我猜少帅的变阵是想彻底把错位点消除——罗奇尔和拉金还要开发进攻,当然只能留着,相对来说,他们俩被针对的情况也可以接受。


少帅这么做,也能解放霍福德。霍福德在阵地战防字母哥的确让后者的持球进攻更多选择了跳投,但雄鹿也非常聪明的让字母哥在阵地战中更多做掩护人和空切手,反倒让霍福德不好处理,现在霍福德去对泽勒,更方便协防,进攻端也有了更多能量——季后赛到目前为止,霍福德低位效率仅次于詹姆斯,面对字母哥,硬霍反倒更像是一头野兽。


雄鹿这边给出的应对手段是,下半场首发了这轮系列赛的奇兵梅克——G3和G4三分球发威制裁了绿军——但梅克这场手感不佳,三分3中0,他自己两次去篮下协防放空了霍福德,而霍福德投进的两个三分都来自与他对位时。


雄鹿的另一个调整,使用默罕默德得了11分,看不出太强的策略性,更像是斯内尔不灵,换个人试试的惊喜——绿军对默罕默德有点轻视,放空的严重。


绿军最重要的调整,当然是阿钢哥的回归。说实话,我本来没有预期斯马特能给绿军带来多高的战斗力,毕竟绿军后场并不缺防守人才,阿钢哥的进攻又没有好到哪去。


可阿钢哥把我脸打肿了,这家伙就像一个小号的追梦格林,不但可以接管对手的攻击箭头,还能无处不在的协防补漏,斯马特+绿军主场带来的防守气场加成,还真的让无敌了4场的米德尔顿打了一场真实命中率只有51.5%的比赛,绿军更小的阵容退防神速,各种延阻字母哥,也让保底都得拿30分的字母哥只得了16分。


很难说这里面具体有多少是绿军变阵、阿钢哥出场造成的效果,就像前文说的,雄鹿暴走的投篮状态也该往下掉了。但可以肯定,雄鹿打的更难受了——绿军现在的换防弹性跟雄鹿一样好了,这场比赛绿军只让雄鹿用挡拆持球人终结的方式得了4分,而过去4场比赛雄鹿靠这招得了60分。斯马特也是个能让米德尔顿打的不痛快的家伙,米德尔顿可以用身高拔斯马特,但他擅长的节奏变化好像不能骗过斯马特,如果米德尔顿打的不痛快,雄鹿进攻就废了一半。


最后几分钟,少帅摆出了斯马特+罗奇尔+杰伦布朗+奥杰莱+霍福德的阵容——这是绿军最铁血的防守小阵容,个个是硬汉,这里面至少有两个看起来是进攻拖空间的球员,但绿军不在乎了——就是要让雄鹿打的不痛快。


绿军终于还是要打铁血真汉子篮球,现在,最具备这个气质的男人回来了。我以为有罗奇尔绿军不用想念斯马特,现在看来我错了,罗奇尔是妖刀,而斯马特是战鼓。




76人VS热火





G5的具体过程不讲了,我想你们也不太关心了。热火没有什么办法了,手里一堆JQK,连个A都没有,韦德也不变身大王了,最后只能狠操一下奥利尼克——这轮系列赛很有意思的一点,拥有大帝和大白边的两支球队,内线对决更大的看点却可能是奥利尼克和伊利亚索瓦。


下图是76人和热火本轮系列赛各类进攻的比例:





下图是两队各类进攻的效率比较:





下图是两队各类进攻的赢分项:






两支球队还是风格鲜明:


76人的绕掩护后接球投篮比例远远胜过热火,空切和手递手则较为接近。实际上,热火同样也拥有两位适合打战术性无球的球员——艾灵顿和奥利尼克,前者的定位类似76人的雷迪克或者贝里内利,后者则是西蒙斯与伊利亚索瓦各自摘取部分功能的混合穷人版。76人无球体系更为完备,射手更多,热火靠这块显然是不够,76人光是靠绕掩护后接球投篮就赢了热火75分,也是赢分最大的一块。


但热火有传统的持球挡拆配置,76人在这块就捉襟见肘。热火有德拉季奇和韦德去维持基本的挡拆输出——相比时灵时不灵的战术性无球,挡拆显然要更加稳定,体系打不出来的时候,德拉季奇和韦德就显得相当有统治力,这也是为什么双方都不太准的G2,热火能赢球,他们外线持球人主攻能力更强。


等到大帝回归,情况又不一样了——76人有低位持球手了,射手即使手感不好,或者无球机会被热火防守盯得跑不出来,依然能依靠大帝每个回合稳定输出,把火力续上。热火在持球上的优势没有了,76人这边的射手团队稍微爆几个,热火就挺不住了。


热火这轮系列赛超出预期的是他们的转换进攻跟76人的比例五五开。76人有西蒙斯,自然是推转换大队,热火常规赛这块不算强项。但76人的失误太多了,热火进攻便秘也希望利用反击相对容易的开发进攻,最后他们凭借更高的转换效率,在转换进攻得分上还赢了76人22分。


总的来说,76人最后不是赢在他们的持球进攻项目,也不是赢在他们通常擅长的快攻,而是赢在射手团队和传切体系——更多的射手数量,以及更高的射手档次。这轮系列赛,双方得分最多的球员是场均20分的雷迪克,场均正负值最高的是贝里内利——刚好是这轮系列赛最强的两个射手,也能看出76人的优势在哪。我们在强调76人拥有无比美好天赋的同时,也不要忘了这支球队真正可怕的是这套无球进攻体系,已经接近联盟顶级的档次。


那么,这轮系列赛最好的球员是谁呢?


有这样几个数据:


恩比德在场时,76人百回合只丢94.3分,比他不在场要少丢11.8分,对76人防守的改善效果是其他人无法相比的。但大帝在场时,76人的进攻是变差的——一轮系列赛存在手感波动,76人G1手感太爆了,所以这里面有偶然性。


对76人进攻影响最大的并不是西蒙斯,而是贝里内利,他在场时76人百回合得116.3分,比不在场百回合多得18.6分!但是,贝里内利占了轮转的便宜,他上场往往意味着76人要开启全功率进攻模式,摆超强的射手阵容。首发球员里,西蒙斯和雷迪克对进攻的影响旗鼓相当。


综合攻防两端,再考虑首发替补,76人这轮系列赛最佳球员还是恩比德——在场比不在场,球队百回合净胜4.9分,虽然贝里内利这个数据远胜恩比德,但就像前文说的,他占了一定轮转的便宜。


但恩比德只打了3场比赛,76人几位核心轮转球员表现也比较平均,其实很难分出高低。



所以,最终我把我心中这轮系列赛的最佳球员选为:




谁赞成?谁反对?


理由:


场均16.6分,队内第2,每36分钟得分23.5分,两队第一,每36分在数据是23.5分+5.9篮板+5.1助攻+2抢断;


在场比不在场球队百回合净胜21.5分,两队之首——对,韦德占了便宜,他出场时,76人球员会迷之投不进三分球,三分命中率只有32.2%,而他不在场时,76人球员三分命中率达到了41.8%,韦德在场主要改善的是防守端数据,但理论上一个后卫不可能对三分命中率有如此大的影响力,运气成分居多。


我就当做韦大爷的气场成为迈阿密的互体神功了。


韦德系列赛的正负值是5,用一句我过去觉得很膈应,但现在觉得很贴切的话送给韦德把——热火输了,韦德没输。


这是个私心的评选,因为不知道这个夏天过后,韦德还要不要打,就用这种方式给可能的句号画的圆满一点吧。



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作者:静易墨

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吉诺比利&韦德:如果这就是他们的最后?

曼努埃尔·吉诺比利与德文·韦德,今天一起结束了本赛季。

吉诺比利的第十六个赛季,韦德的第十五个赛季。

他俩的相似,不止于此。


他俩都是各自球队的幸运星。吉诺比利到马刺后三年两个戒指,参与了队史五冠中的四个;韦德进热后三年级拿到队史第一冠,参与了队史所有三个总冠军。

他俩都是2004年规则改革的受益者,都是活塞的冤家:2005年东部决赛,韦德在拉里·布朗的活塞头顶场均26分,吓得活塞汗涔涔;刚过了韦德,总决赛头两场,吉诺比利用24次投篮在活塞头顶劈了53分。


多说一点:他俩一般有同一个冤家。

2005年,活塞先胜了韦德,再输给吉诺比利,马刺夺冠。

2006年,小牛先过了吉诺比利,再被韦德干掉,热夺冠。

2012年,雷霆先过了吉诺比利,再被韦德干掉,热夺冠。

2013年和2014年,吉诺比利和韦德索性自己在总决赛对干了:各一个冠军。


吉诺比利入行,跟了邓肯;韦德入行,跟了鲨鱼:两个划分时代的巨人。

他俩都是关键杀手,都擅长如蛇一般锁住对手的咽喉。

他俩都是完美的队友,兼具完美的冷静与烈火般的激情,没有队友会讨厌他们。

他俩拥有哈登入行前,NBA历史上最卓越的欧洲步。2005和2006年,两个人各自靠欧洲步蛇形突破,拿下了总冠军。

从上一点出发:他们虽然肤色殊异,体格不同,但都具有匪夷所思的柔韧性、平衡与协调;他们都擅长完成各色杂耍动作,在人群里滑动时仿佛在嘲笑他人的笨拙。







他们都是被低估的万能选手。

吉诺比利拥有一个后卫应有的一切技术,可能是NBA历史上2号位里最好的传球手,无限宽广的视野,无限狡猾的细节;韦德则拥有一个球员应有的一切技术:史上2号位里顶尖的步伐、背身、单挑中投,包括封盖和无球走位——就差了一点射程。

当然,在巅峰期,他俩都可以随心所欲要到罚球。

因为全面,因为聪明,他俩都可以胜任球队的任何要求。给鲨鱼做二当家很辛苦,便士与科比都不太高兴,韦德却很从容;欧文给勒布朗做二当家做到要走人,韦德却与勒布朗始终融洽。与此同时,在需要时,韦德随时可以接管比赛。

而吉诺比利,为马刺打了近一千场替补,是马刺队史得分第五、助攻第四、篮板第五,以及队史抢断王。


比起NBA历史上其他的最伟大得分后卫,吉诺比利与韦德没有乔丹、科比与艾弗森那样的偏执;他俩的性格更接近韦斯特、滑翔机、萨姆·琼斯:韦斯特可以自己接管一切,也可以与张伯伦、贝勒共存;滑翔机可以当球队老大,但更乐意给大梦做二当家;琼斯是那一代凯尔特人的首席进攻手,但更愿意站在拉塞尔的身后。


2005年,波波维奇说吉诺比利,"一开始他做了许多疯狂的事,我不理解;但后来我明白了,他做一切,都是为了球队胜利,于是我就听之任之了。"

2012年,韦德跟ESPN说,他此前让勒布朗放心,"你就放开打你自己喜欢的篮球,只要想着赢球,别担心我;至于我,会自己想办法搞定的。"

为了胜利,他们是可以不顾一切的。




2013年,克雷·汤普森第一次打季后赛,西部第二轮遇到马刺,第二场得到华丽的半场29分,全场34分;最后马刺过了勇士,去了总决赛。

2014年,杜兰特拿到常规赛MVP,西部决赛对阵马刺;最后马刺过了杜兰特,去夺了冠。

去年,克雷与杜兰特过了马刺,夺冠了;今年,又一次。


2003年10月28日,德文·韦德第一场NBA比赛,迈阿密热在费城对阵76人。那天,韦德跟着琼斯、格兰特、哈斯勒姆和奥多姆,对阵对面的3号阿伦·艾弗森。

对面的替补射手科沃尔,也正在打他的处子战。

今天带着费城淘汰韦德的本·西蒙斯,那年刚刚7岁。


最后一个巧合。

2004年奥运会男篮半决赛,阿根廷的5号吉诺比利看着对面:13号邓肯是老搭档了,6号韦德和9号勒布朗倒还不太熟。

——是的,2004年奥运会男篮半决赛,是邓肯+韦德+勒布朗vs吉诺比利。

十年之后的NBA总决赛,是邓肯+吉诺比利vs勒布朗+韦德。

以及,2004年美国队主教练是拉里·布朗。一年之后,他就要被韦德与吉诺比利(又一次)给打到再也不想看到他们俩了。




八年前吧,我这么说过:

其实2007年后,我对马刺是否夺冠已经无所谓了。我希望吉诺比利能够像在阿根廷一样自由挥洒,希望帕克可以健康,希望鲍文可以在马刺退役,希望邓肯和这群团队一起快快乐乐的训练、说冷笑话、组织夏季保龄球赛、打球、度假。

这是一种奇妙的心态:你宁愿保留这样一支阵容,不需要夺冠,只希望看着他们好好的,开心的打比赛。马刺就像你看了许久的一部温馨家庭肥皂剧。你总不忍心看到结尾。你希望每个人长生不老,在其中来来去去。把职业体育胜利、利益、金钱的暴风关在门外。

虽然你明知道这其实做不到。


在看现在的吉诺比利与现在的韦德时,我已经不太在意他们能把球队扛到哪里了——就像看德克,看卡特似的。他们的一举手一投足,都是篮球世界的非物质文化遗产,他们打成什么样,就是什么样。





越是老了,韦德的背身、走位、小球步伐和嗅觉越显得精纯;越是老了,吉诺比利的传球、跨步和弱侧轮转步伐越显得优美。其实这些他们年少时都有,只是那时候太快了,只用快就能解决问题了;现在才一点点显出来了。


如果这就是吉诺比利与韦德的最后,是不是有点……可惜?

我就是希望,虽然他们各自的赛季结束了,但到秋天,他们还能够回来,开心地打球,继续打下去。NBA的确是残忍的商业联盟,但总也有地方容得下他们打一点美好的篮球。


就像,今天满42岁的邓肯——如果他还在,多好。



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:张佳玮

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如何评价游戏《冰汽时代》?

《冰汽时代(Frostpunk)》是一款结合了生存与城市建造元素的4X游戏,也是近期最好的策略游戏之一。震撼的画面与精彩的剧情无缝结合在一起,使得游戏过程从来都不是负担——即使玩家的任务是在一个不断恶化的寒霜时代中维持城市的发展。

游戏的故事设定在假想的19世纪后期,人类社会几乎已经被极端的气候完全摧毁,剩余的人类则在严寒中苦苦求生,并试图通过少量的资源重建世界上的最后一座城市。这并不是一个充满希望的游戏,与之相反玩家需要在其中作出许多艰难而绝望的选择。

游戏画面非常棒,整个故事都笼罩在了一片苍凉之中,荒芜冰原上的每一处亮色都好似黑夜中燃烧的火把。这样的美术风格使得《冰汽时代》像是一部由机械和飞雪所装扮起来的维多利亚时代《权力的游戏》。游戏中的背景音乐与人物对话也增添了这片土地的萧瑟之感,玩家打开游戏后听到的第一个声音就是冰原上咆哮的凛冽寒风。

目前游戏优化还有所欠缺,但画面真的是无与伦比:工人会在走过的积雪上留下轨迹;日出时的阳光会泼洒在整座城市之上;每一团篝火都会照亮它们周遭的建筑。不过虽然游戏的菜单界面十分清楚,但某些图标的具体功能还是不够直观,比如笔者花费了不少时间才找到建设街道的选项。还好这些问题在一个小时之后就基本消失了。

《冰汽时代》最为杰出的地方是它的玩法,游戏借鉴了众多我们所熟悉的策略类游戏,形成了和《海岛大亨》截然相反的风格——玩家们从温暖的热带天堂来到了寒冷的冰冻废土,游戏目标也从满足一己私欲的扩张转变为延续人类种族的挣扎。玩家每一个举动的得失都会直观地表现在居民满意度上。

作为最后一座城市的领导者,玩家最基本的任务就是尽量搜集资源以维持整个人类社会的存续。从这个角度来看,《冰汽时代》的玩法和大多数的即时建造、生存游戏是共通的。玩家需要指挥工人们前往冰雪之中搜集煤炭、钢铁、木材等资源,并带回大本营中。游戏很巧妙的地方在于将资源的类型限制在了5种,这既保证了城市资源供应链的复杂性,同时又不会让游戏玩法因为过于庞杂的资源种类而变得累赘。

平衡每一个资源点的工人数量将是玩家进行得最为频繁的操作,良好的工人管理将是城市发展的关键,而工人数量永远都很稀缺。由于市民们只能在温暖的白天工作,昼夜交替也会使这项操作变得更为艰难。

工人们都是有血有肉的人类,搜集资源的最终目的还是为了让他们活下去,这也引出《冰汽时代》中同样重要的建筑玩法。玩家需要通过建设不同的设施来储存资源、提供热量,给居民们一个容身之所。游戏中的绝大多数建筑都是围绕城市中心的供热装置建成的,这使得整个城市结构变得井然有序,因此玩家也无需在城市规划上过度纠结。这样精妙的设定体现出了制作者的良苦用心。

游戏对各项玩法的简化无疑是很有必要的,因为除了搜集资源、建设城市以外,玩家还需要开展政治活动。作为城市的领导者,你经常需要做出一些困难的抉择,颁布与之相对应的法律,而这些法律最终将塑造出整个人类社会的面貌。你在剧烈道德冲突之下作出的每一个决定都将产生深远的影响。你会为了降低食物的消耗而故意供应劣质的汤羹吗?你会强迫孩子们进行工作吗?面对那些重病之人以及冰冷的尸体,你又会如何处置呢?

立法在游戏中属于一种宏观的管理手段,而在微观层面上玩家还需要关注某些角色的个人情绪。每一个让人心情沉痛的事件往往都是之前的决策所带来的恶果。例如,孩子们可能会因为马虎大意而在工作的过程中意外受伤,此时他们的家长也会变得心情沉重。与《这是我的战争(This War of Mine)》类似,《冰汽时代》中的每一个角色都拥有自己的情感,这也使得玩家在决策时会背负更多的道德压力。这些发人深思的抉择使得《冰汽时代》有别于其他同样以城市建设为核心的游戏。

相对局限的操作范围也让游戏的玩法变得更加出色。《冰汽时代》中的每个方面都显得十分克制,就连城市的规模都有一个上限,这也意味着所有玩法的重要性都是等同的。笔者花费在城市规划上的时间几乎和用来管理工人的时间一样多。所以即便《冰汽时代》的内容十分丰富,整个游戏也还是显得井然有序。

融合了众多的机制与元素,但《冰汽时代》的玩法却从来不会让人感觉累赘。当然了,由于资源匮乏、希望渺茫,悲剧也时常发生。笔者就曾经在难民、严寒以及食物短缺的多重作用之下被居民们推上了断头台。但总的来说,市民暴动的发生还是一个民怨逐渐积累的结果,只要管理得当,小心应对寒冷的气候,类似的悲剧完全是可以避免的。

除了努力建设城市以外,玩家们在《冰汽时代》里还会有很多自由发挥的空间。无论是探索地下洞穴还是发展新科技,总有一件事情能够吸引你。

这些事件往往需要通过完成一些支线活动来进行前期的准备,包括制作勘探组件、研发科技树以及其他的短期任务等。笔者最喜欢的是活动是派遣小队探索新的区域,而在此过程中也会出现一些影响深远的两难抉择。比方说,当你成功救助一群儿童之后,最保险的选择当然是派遣小队护送他们返回基地。但这也违背了搜集资源的初衷,而新人口的加入必将造成更多的资源消耗。而在另一个情境下,玩家则需要权衡到底是拆除某栋废弃建筑以满足当下的需求,还是出于更加长远的考虑将它保留下来。

虽然并非每一个玩法都能给游戏全局带来直观的改变,但是游戏的各个机制之间的确会产生一些奇妙的化学反应。例如考察队能够发现一些自主工作的机器人,它们能够有效地提升资源开采的效率;新法律的颁布能够解锁新的建筑,而特定的建筑则会改变某些事件的进程。这样的设定使得每一局游戏都像是一个全新的冒险故事,让人不由得沉浸在无止境的因果循环当中。

这个循环会在历时38天的战役模式中不断重现,而完整通关战役模式通常需要12-15小时。在这期间,玩家能够了解到故事的全部剧情并基本掌握游戏的玩法。虽然战役模式的结局并不是完全开放的,但是玩家也拥有足够多的机会来进行关键性的选择。除了战役模式以外,游戏中还包含了另外两个自由度更高的模式,玩家们可以在其中改变自己城市的发展方向。

评测成绩

环境真恶劣,《冰汽时代》也真好玩。本作融合了城市建造和生存类游戏的亮点,还加入了一些探索要素,使得玩法独特而多样。游戏剧情引人入胜,会根据玩家的选择而有不同的走向。游戏出色的美术和画面让开拓冰封荒原的过程比想象中有趣得多。不过游戏最具创意的部分是其中的各种伦理难题,它迫使玩家在个体需要和城市存续之间进行平衡,一不小心就可能违背良知~

原文链接:http://cn.ign.com/bing-qi-shi-dai/21889/review/



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:IGN娱乐

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