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规范化的Ricci流，指数速度收敛

这篇文章是 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流的第五部分，也是最后一部分。这篇文章的主要内容有三部分：第一部分，介绍规范化的Ricci流的一些基本性质；第二部分，证明在Ricci曲率大于0的三维闭流形上，规范化的Ricci流按照指数速度收敛于常曲率度量；第三部分，完成一开始 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流中主要定理的证明。

这篇文章主要参考了 [1]。

一、规范化的Ricci流的一些基本性质

我们所说的Ricci流一般是指 $\partial_tg=-2Ric$ ，也就是非规范化的Ricci流（unnormalized Ricci flow）。规范化的Ricci流（normalized Ricci flow）是指方程 $\partial_\widetilde t\widetilde g=\frac 2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde {Ric}$ ，其中 $n$ 为流形 $M$ 的维数， $\widetilde r=\frac{\int_M \widetilde Rd\widetilde\mu}{\int_M d\widetilde\mu}$ 为数量曲率的积分平均值。

规范化的Ricci流的特点是保持体积不变，原因如下：在局部坐标系 $(U;x^i)$ 下看，体积元 $d\widetilde\mu=\widetilde\mu dx,\widetilde\mu=\sqrt{det(g_{ij}})$ ，利用对行列式求导的公式可计算得 $\frac1{\widetilde\mu}\frac{\partial \widetilde\mu}{\partial \widetilde t}=\frac12\widetilde g^{ij}\frac{\partial \widetilde g_{ij}}{\partial \widetilde t}=\frac12\widetilde g^{ij}(\frac2n\widetilde r\widetilde g_{ij}-2\widetilde R_{ij})=\widetilde r-\widetilde R$ ，即 $\frac{\partial (d\widetilde\mu)}{\partial \widetilde t}=(\widetilde r-\widetilde R)d\widetilde\mu$ ，因此 $\frac{d}{d\widetilde t}(\int_Md\widetilde\mu)=\int_M\frac{\partial(d\widetilde\mu)}{\partial \widetilde t}=\int_M(\widetilde r-\widetilde R)d\widetilde\mu=0$ 。这说明体积在规范化得Ricci流下是不变的。

同时非规范化的Ricci流 $\partial_tg=-2Ric$ 的解在经过一个空间上的伸缩（rescaling）和时间上的重新参数化（reparametrization）后能变成规范化的Ricci流 $\partial_\widetilde t \widetilde g=\frac2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde {Ric}$ 的解，具体如下：设 $g(t)$ 满足方程 $\partial_tg=-2Ric$ ，取一个只跟时间有关的函数 $\psi(t)>0$ ，使得 $\widetilde g(t)=\psi(t)g(t)$ 对应的体积恒为 $1$ ，即 $\int_Md\widetilde\mu\equiv1$ 。注意，在局部坐标系 $(U;x^i)$ 下看 $d\widetilde\mu=\widetilde\mu dx,\widetilde\mu=\sqrt{det(\widetilde g_{ij})}=\psi^{n/2}\sqrt{det(g_{ij})}=\psi^{n/2}\mu$ ，因此 $d\widetilde\mu=\psi^{n/2}d\mu$ ，从而 $\psi(t)$ 可由等式 $\psi^{n/2}\int_Md\mu\equiv 1$ 完全确定。对时间上来说，则令 $\widetilde t=\int_0^t\psi(s)ds$ 。

我们将证明 $\partial_\widetilde t\widetilde g=\frac 2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde {Ric}$ ：首先考察各种几何量在空间伸缩下的变化， $\widetilde g_{ij}=\psi g_{ij},\widetilde g^{ij}=\psi^{-1}g^{ij}$ ，因此Christoffel符号的变化为 $\widetilde\Gamma_{ij}^k=\frac12 \psi^{-1}g^{kl}(\psi \partial_ig_{jl}+\psi \partial_jg_{il}-\psi \partial_l g_{ij})=\Gamma_{ij}^k$ （其中 $\psi$ 只与时间有关，因此对空间方向求导为0， $\partial_i\psi\equiv0$ ），即Christoffel符号是不变的。利用黎曼曲率张量的计算公式可得 $\widetilde R_{ijk}^l=R_{ijk}^l$ ，因此 $\widetilde R_{ij}=\widetilde R_{kij}^k=R_{kij}^k=R_{ij}, \widetilde R=\psi^{-1}g^{ij}\cdot R_{ij}=\psi^{-1}R$ 。最后计算 $\widetilde r$ ， $\widetilde r=\frac{\int_M \widetilde Rd\widetilde\mu}{\int_M d\widetilde\mu}=\frac{\int_M \psi^{-1}R\cdot \psi^{n/2}d\mu}{1}$ ，利用 $\psi^{n/2}\int_M d\mu\equiv1$ 得 $\widetilde r=\psi^{-1}\frac{\int Rd\mu}{\int_M d\mu}=\psi^{-1}r$ 。

现在，利用求导的链式法则， $\partial_\widetilde t\widetilde g_{ij}=\frac{dt}{d\widetilde t}\times\partial_t(\psi g_{ij})=\psi^{-1}\times(\frac{d\psi}{dt}\cdot g_{ij}+\psi\cdot \partial_tg_{ij})=\frac{d(\log\psi)}{dt}\cdot g_{ij}-2R_{ij}$ ，因此只需计算 $\frac{d(\log\psi)}{dt}$ 。对 $\psi^{n/2}\int_M d\mu\equiv1$ 两边取 $\log$ 得 $\frac n2\log\psi+\log\int_Md\mu=0$ ，因此只需计算 $\frac{d}{dt}(\log\int_Md\mu)=\frac{\int_M \frac{\partial (d\mu)}{\partial t}}{\int_Md\mu}$ 。由 $d\mu=\mu dx,\mu=\sqrt{det(g_{ij})}$ 及行列式得求导公式得 $\frac1{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial t}=\frac12g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}=\frac12g^{ij}(-2R_{ij})=-R,\frac{\partial(d\mu)}{\partial t}=-Rd\mu$ ，因此 $\frac{d}{dt}(\log\int_Md\mu)=\frac{\int_M -R d\mu}{\int_Md\mu}=-r$ ，故 $\frac{d(\log\psi)}{dt}=-\frac2n\frac{d}{dt}(\log\int_Md\mu)=\frac2nr$ 。最终 $\partial_\widetilde t\widetilde g_{ij}=\frac{d(\log\psi)}{dt}\cdot g_{ij}-2R_{ij}=\frac2nrg_{ij}-2R_{ij}=\frac2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde R_{ij}$ ，于是我们证明了 $\widetilde g(\widetilde t)$ 满足规范化Ricci流的方程。

二、指数速度收敛

现在我们回到Ricci曲率大于0的三维闭流形上，设 $g(t),t\in[0,T)$ 为非规范化Ricci流的解， $T$ 为解的最大存在时间，则 $\widetilde g(\widetilde t),\widetilde t\in[0,\widetilde T)$ 为上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解， $\widetilde T$ 为对应的解的最大存在时间。

小结一下上面得到的各种几何量在空间伸缩下的变化， $\widetilde g_{ij}=\psi g_{ij},\;\widetilde g^{ij}=\psi^{-1}g^{ij},\;\widetilde\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ij}^k,\;\widetilde R_{ijk}^l=R_{ijk}^l,\;\widetilde R_{ij}=R_{ij}, \\ \widetilde R=\psi^{-1}R,\; \widetilde r=\psi^{-1}r$ 。根据变化后出现的 $\psi$ 的次数，我们可以称 $g_{ij}$ 的次数为 $1$ ， $g^{ij},R,r$ 的次数为 $-1$ ， $\Gamma_{ij}^k,R_{ijk}^l,R_{ij}$ 的次数为 $0$ 。于是，我们可以把之前文章里得到的、在非规范化Ricci流的情形下、关于次数为 $0$ 的几何量的定理直接搬过来。

以下，经过时空变化后的几何量上面都加上了波浪号。

【命题1】在Ricci曲率大于0的三维闭流形 $M$ 上，设 $\widetilde g(\widetilde t),\widetilde t\in[0,\widetilde T)$ 为上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解， $\widetilde T$ 为对应的解的最大存在时间，则有如下命题成立：

1.存在与时间无关的常数 $\varepsilon>0$ ，使得 $\widetilde {Ric}\geq \varepsilon\widetilde R\widetilde g$ 对于任意 $\widetilde t\in[0,\widetilde T)$ 都成立。

2. $\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1\;(\widetilde t\to \widetilde T)$

3. $\widetilde S/ \widetilde R^2\to \frac13\;(\widetilde t\to \widetilde T)$ ，其中 $\widetilde S=|\widetilde{Ric}|^2$ 。

【证明】注意到命题中涉及到的所有几何量的次数都为0，即 $\widetilde {Ric}=Ric,\widetilde R\widetilde g=Rg,\widetilde S/ \widetilde R^2=S/ R^2，\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}=R_{min}/R_{max}$ ，并且 $t\to T\Leftrightarrow \widetilde t\to \widetilde T$ 。因此，第一个命题即由 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流中的结果得到，第二、三个命题即由 Ricci流解的长时间存在性，有限时间奇点的分析中的结果得到，证毕。

【命题2】在命题1的条件下， $\widetilde R_{max}\leq C,\forall \widetilde t\in[0,\widetilde T)$ 。其中 $C>0$ 为不依赖于时间的常数。

【证明】在此命题的证明中， $C>0$ 代表与时间无关的常数。注意，我们已证明过在非规范化Ricci流下 $R>0$ 是保持的，又因为 $\psi>0$ ，故变化后对应的 $\widetilde R>0$ 。

由命题1中的 $\widetilde {Ric}\geq \varepsilon\widetilde R\widetilde g$ 可知Ricci曲率下界 $\varepsilon \widetilde R_{min}>0$ ，由Myers定理得直径 $\widetilde d\leq C\widetilde R_{min}^{-1/2}$ ，由 $\widetilde {Ric}\geq0$ 时的体积比较定理得体积 $\widetilde V\leq C\widetilde d^3$ 。从而 $\widetilde V\leq C\widetilde R_{min}^{-3/2}$ ，但是我们知道上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解的体积 $\widetilde V\equiv 1$ ，故 $\widetilde R_{min}\leq C$ 。再由命题1， $\widetilde t\to \widetilde T$ 时 $\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1$ ，因此我们得到 $\widetilde R_{max}\leq C$ ，命题得证。

【命题3】在命题1的条件下， $\widetilde T=+\infty$ 。

【证明】 $\frac{d\widetilde t}{dt}=\psi,\widetilde r=\psi^{-1}r$ 。由 Ricci流解的长时间存在性，有限时间奇点的分析中的结果可知 $\int_0^Trdt=+\infty$ ，故 $\int_0^{\widetilde T} \widetilde rd\widetilde t=\int_0^Trdt=+\infty$ 。由命题2知 $\widetilde r\leq \widetilde R_{max}\leq C,\forall \widetilde t\in[0,\widetilde T)$ ，故要使上述积分为 $+\infty$ 只有 $\widetilde T=+\infty$ ，证毕。

【命题4】在命题1的条件下，存在与时间无关的常数 $\alpha>0$ ，使得 $\widetilde R_{min}\geq \alpha,\forall t\in[0,+\infty)$

【证明】在此命题的证明中， $C>0$ 代表与时间无关的常数。

由命题1的结果 $\widetilde S/\widetilde R^2-\frac13\to 0\;(\widetilde t\to +\infty)$ ，可知 $\frac{|\widetilde{Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|^2}{\widetilde R^2}\to 0\;(\widetilde t\to +\infty)$ ，这说明当 $\widetilde t\to +\infty$ 时，对任意 $x\in M,v\in T_pM,|v|=1$ ，都有 $|\frac{\widetilde {Ric}(v)}{\widetilde R(x)}-\frac13|$ 一致趋近于0，从而一点 $x$ 处各方向 $v$ 的Ricci曲率与 $\frac13\widetilde R(x)$ 的比值一致趋趋近于1。又利用命题1的结果 $\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1\;(\widetilde t\to +\infty)$ 可知不同点处的数量曲率与 $\widetilde R_{max}$ 的比值都一致趋近于1，从而不同点处不同方向的Ricci曲率与 $\widetilde R_{max}$ 的比值都一致趋近于1。由于在三维流形上， $\widetilde {Ric}$ 决定了 $\widetilde{Rm}$ ，也决定了截面曲率 $\widetilde{K}$ ，此时截面曲率与Ricci曲率的比值有不依赖于时间的双边控制，因此截面曲率与 $\widetilde R_{max}$ 的比值也有不依赖于时间的双边控制。因此存在 $\widetilde T_1\in(0,+\infty)$ ，使得对于任意 $\widetilde t\in(\widetilde T_1,+\infty)$ 都有 $\frac14<\frac{\widetilde K_{min}}{\widetilde K_{max}}\leq1$ ，即流形 $M$ 的截面曲率介于 $\frac14 A$ 和 $A$ 之间，且 $C^{-1}\widetilde R_{max}\leq A \leq C\widetilde R_{max}$ 。在 $M$ 的万有覆盖空间 $\widetilde M$ 中也有同样的曲率条件，因此由Klingenberg定理知，单射半径 $\rm{inj}(\widetilde M)\geq CA^{-1/2}\geq C\widetilde R_{max}^{-1/2}$ 。考虑半径为 $C\widetilde R_{max}^{-1/2}\leq \rm{inj}(\widetilde M)$ 的测地球 $\widetilde B$ ，注意到 $\widetilde {Ric}>0$ ，故Ricci曲率 $\leq\widetilde R_{max}$ ，因此可得体积估计 $\rm{Vol}(\widetilde M)\geq \rm{Vol}(\widetilde B)\geq v(3,\widetilde R_{max}/2,C\widetilde R_{max}^{-1/2})$ ，其中 $\rm{v}(3,\widetilde R_{max}/2,C\widetilde R_{max}^{-1/2})$ 为三维常截面曲率为 $\widetilde R_{max}/2$ 的空间中半径为 $C\widetilde R_{max}^{-1/2}$ 的球的体积，可计算出它的值为 $C\widetilde R_{max}^{-3/2}$ ，因此 $\rm{Vol}(\widetilde M)\geq C\widetilde R_{max}^{-3/2}$ 。注意到 $\rm{Vol}(M)\equiv1$ ，且在 $t=0$ 时 $M$ 上有Ricci曲率 $\geq\varepsilon \widetilde R_{min}(0)>0$ 的度量，由Myers定理可知 $\pi_1(M)$ 为有限群，故 $\rm{Vol}(\widetilde M)=|\pi_1(M)|\cdot\rm{Vol}(M)\leq C$ 。由此即得 $\widetilde R_{max}\geq C,\forall \widetilde t\in(\widetilde T_1,+\infty)$ 。再根据命题1， $\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1\;(\widetilde t\to +\infty)$ ，故 $\widetilde R_{min}$ 在充分大的时间后有一致的下界控制。所以，我们便可找到与时间无关的常数 $\alpha>0$ ，使得 $\widetilde R_{min}\geq \alpha,\forall t\in[0,+\infty)$ ，命题得证。

最后为了证明指数速度收敛，我们还要考察在规范化Ricci流下，各种几何量的发展方程。

【引理1】在 $n$ 维流形 $M$ 中，设 $\partial_tP=\Delta P+Q$ 为非规范化Ricci流下几何量 $P$ 的发展方程，其中 $P$ 的次数为 $k$ ， $Q$ 的次数为 $k-1$ ，则在上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解之下，对应的几何量 $\widetilde P$ 的发展方程为 $\partial_{\widetilde t}\widetilde P=\widetilde \Delta \widetilde P+\widetilde Q+\frac2nk\widetilde r\widetilde P$ 。

【证明】 $\partial_{\widetilde t}\widetilde P=\frac{dt}{d\widetilde t}\times\partial_t(\psi^kP)=\psi^{-1}\times[k\psi^{k-1}\frac{d\psi}{dt}P+\psi^k(\Delta P+Q)]=k\frac{d(\log\psi)}{dt}\psi^{k-1}P+ \\ \psi^{k-1}\Delta P+\psi^{k-1}Q$ 。 $\frac{d(\log \psi)}{dt}=\frac2nr=\frac2n\psi\widetilde r$ ， $P$ 的次数为 $k$ 故 $\widetilde P=\psi^kP$ ，从而 $k\frac{d(\log\psi)}{dt}\psi^{k-1}P=\frac2nk\widetilde r\widetilde P$ 。 $Q$ 的次数为 $k-1$ 故 $\psi^{k-1}Q=\widetilde Q$ 。最后，算子 $\Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j$ ，而算子 $\nabla_i$ 只与Christoffel符号以及空间方向的偏导数有关，因此在上述时空变化下是不变的，故算子 $\widetilde \Delta=\psi^{-1}\Delta$ ，从而 $\psi^{k-1}\Delta P=\psi^{-1}\Delta(\psi^kP)=\widetilde\Delta\widetilde P$ 。因此 $\partial_{\widetilde t}\widetilde P=\widetilde \Delta \widetilde P+\widetilde Q+\frac2nk\widetilde r\widetilde P$ ，命题得证。

我们现在可以证明指数速度收敛了。

【定理1】在命题1的条件下， $\widetilde S-\frac13\widetilde R^2\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall \widetilde t\in[0,+\infty)$ ，其中 $C,\delta>0$ 为不依赖于时间的常数。

【证明】令 $\widetilde f=\widetilde S/\widetilde R^2-\frac13$ 。利用 Ricci曲率张量的夹挤估计中的计算结果，在非规范化Ricci流下，对于 $f=SR^{-2+\varepsilon}-\frac13 R^{\varepsilon}$ ，我们有 $\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f-2(1-\varepsilon)<\nabla f, R^{-1}\nabla R>\leq 4(T-K)R^{-2+\varepsilon}-2(2-\varepsilon)R^{-3+\varepsilon}S^2-\frac23\varepsilon R^{-1+\varepsilon}S$ ，其中 $0<\varepsilon<1$ ，张量 $T=g^{ip}g^{kq}R_{pq}g^{jl}R_{ij}R_{kl},\;K=\frac12(-5RS+6T+R^3)$ 。令 $\varepsilon\to 0$ ，我们得到对于 $f_0=S/R^2-\frac13$ ，有 $\frac{\partial f_0}{\partial t}-\Delta f_0-2<\nabla f_0, R^{-1}\nabla R>\leq 4(T-K)R^{-2}-4R^{-3}S^2$ 。注意到这里 $f_0$ 的次数为 $0$ ， $<\nabla f_0,R^{-1}\nabla R>=g^{ij}\nabla_if_0\times R^{-1}\nabla_jR$ 和 $T,K$ 的次数为 $-1$ ，因此可以用引理1中的转换方法得到 $\frac{\partial \widetilde f}{\partial \widetilde t}-\widetilde\Delta \widetilde f-2<\widetilde\nabla\widetilde f,\widetilde R^{-1}\widetilde\nabla\widetilde R>\leq 4(\widetilde T-\widetilde K)\widetilde R^{-2}-4\widetilde R^{-3}\widetilde S^2$ 。

由命题1中的结论 $\widetilde{Ric}\geq \varepsilon\widetilde R\widetilde g$ ，并且仿照 Ricci曲率张量的夹挤估计的计算过程可知，存在不依赖于时间的常数 $0<\delta_1<\min\{1,2\varepsilon^2\}$ 使得 $-2(\widetilde T-\widetilde K)\widetilde R+2\widetilde S^2\geq\delta_1 (\widetilde S^2-\frac13\widetilde R^2\widetilde S)$ 。因此 $\frac{\partial \widetilde f}{\partial \widetilde t}-\widetilde\Delta \widetilde f-2<\widetilde\nabla\widetilde f,\widetilde R^{-1}\widetilde\nabla\widetilde R>\leq \widetilde R^{-3}\times[-2\delta_1(\widetilde S^2-\frac13\widetilde R^2\widetilde S)]$ 。注意到 $\widetilde R^{-3}\times[-2\delta_1(\widetilde S^2-\frac13\widetilde R^2\widetilde S)]=\frac{-2\delta_1}{\widetilde R}\widetilde S\widetilde f\leq\frac{-2\delta_1}{3}\widetilde R\widetilde f$ ，其中这里用到了 $\widetilde f=\widetilde S/\widetilde R^2-\frac 13\geq 0$ 。利用命题4知， $\frac{-2\delta_1}{3}\widetilde R\widetilde f\leq \frac{-2\delta_1\alpha}{3}\widetilde f$ 。令 $\delta=\frac{2\delta\alpha}3>0$ ，则 $\delta$ 与时间无关，且 $\frac{\partial \widetilde f}{\partial \widetilde t}-\widetilde\Delta \widetilde f-2<\widetilde\nabla\widetilde f,\widetilde R^{-1}\widetilde\nabla\widetilde R>\leq -\delta \widetilde f$ 。由函数的最大值原理知， $\widetilde f$ 的上界可被ODE $\frac{d\widetilde f}{d\widetilde t}=-\delta\widetilde f$ 的解控制，因此 $\widetilde f\leq Ce^{-\delta \widetilde t}$ ， $C>0$ 为与时间无关的常数。最后 $\widetilde S-\frac13 \widetilde R^2\leq Ce^{-\delta \widetilde t}\times\widetilde R^2$ ，再利用命题2的结论 $\widetilde R\leq C$ 即可。命题得证。

【定理2】在命题1的条件下， $\widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall \widetilde t\in[0,+\infty)$ ，其中 $C,\delta>0$ 为不依赖于时间的常数。

【证明】在此命题的证明中， $C>0$ 代表与时间无关的常数。

由数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计可知，对于非规范化的Ricci流， $V=\frac{|\nabla R|^2}R+\frac{37}2(8\sqrt3+1)(S-\frac13R^2)$ 满足 $\frac{\partial}{\partial t}V-\Delta V\leq -|\nabla Ric|^2+74(8\sqrt3+1)R(S-\frac13 R^2)\leq CR(S-\frac13 R^2)$ 。由于 $V$ 的次数为 $-2$ ，因此利用引理1的中的转换方法可得， $\frac{\partial}{\partial \widetilde t}\widetilde V-\Delta \widetilde V\leq C\widetilde R(\widetilde S-\frac13 \widetilde R^2)-\frac43\widetilde r\widetilde V$ 。利用定理1可知 $\widetilde S-\frac13\widetilde R^2\leq Ce^{-\delta \widetilde t}$ ，再利用 $\widetilde R\leq C,\widetilde r\geq\widetilde R_{min}\geq\alpha$ 可知 $\frac{\partial}{\partial \widetilde t}\widetilde V-\Delta \widetilde V\leq Ce^{-\delta\widetilde t}-\frac43\alpha\widetilde V$ 。令 $\delta_1=\max\{\delta,\frac43\alpha\}>0$ 为与时间无关的常数，则 $\frac{\partial}{\partial \widetilde t}\widetilde V-\Delta \widetilde V\leq Ce^{-\delta_1\widetilde t}-\delta_1\widetilde V$ ，即 $\frac{\partial}{\partial \widetilde t}(e^{\delta_1\widetilde t}\widetilde V)-\Delta(e^{\delta_1\widetilde t} \widetilde V)\leq C$ 。由函数的最大值原理知， $e^{\delta_1\widetilde t}\widetilde V\leq C+C\widetilde t$ ，即 $\widetilde V\leq (C+C\widetilde t)e^{-\delta_1\widetilde t}$ 。把 $\delta_1$ 适当调小为 $\delta_2>0$ ， $C$ 适当调大，我们得到 $\widetilde V\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t}$ ，从而 $\frac{|\widetilde \nabla \widetilde R|^2}{\widetilde R^2}\leq \widetilde V\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t},\;|\widetilde \nabla \widetilde R|\leq\widetilde RCe^{-\delta_2\widetilde t/2}\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t/2}$ 。注意 $(M, \widetilde g)$ 为紧致的，故完备；设 $\widetilde R(x_1,\widetilde t)=\widetilde R_{min}(\widetilde t),\;\widetilde R(x_2,\widetilde t)=\widetilde R_{max}(\widetilde t)$ ，则存在连接 $x_1$ 到 $x_2$ 的最短测地线 $\gamma:[0,\widetilde L]\to M$ ， $\widetilde L=\widetilde d(x_1,x_2)$ 。因此， $\widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}=\int_0^\widetilde L\widetilde \nabla \widetilde R(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt\leq\int_0^\widetilde L|\widetilde \nabla \widetilde R(\gamma(t))|dt\leq \widetilde LCe^{-\delta_2\widetilde t/2}$ 。注意到在命题2中我们指出 $M$ 的直径 $\widetilde d\leq C\widetilde R_{min}^{-1/2}$ ，同时由命题4我们有 $\widetilde R_{min}\geq\alpha$ ，因此 $\widetilde L\leq\widetilde d\leq C$ ，从而 $\widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t/2}$ ，命题得证。

【推论1】在命题1的条件下， $|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde r\widetilde g|\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall\widetilde t\in[0,+\infty)$ ，其中 $C,\delta>0$ 为不依赖于时间的常数。

【证明】定理1即 $|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|\leq Ce^{-\delta \widetilde t}$ ，由定理2有 $|\widetilde R-\widetilde r|\leq\widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}\leq Ce^{-\delta \widetilde t}$ ，因此 $|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde rg|\leq|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|+|\frac13\widetilde R\widetilde g-\frac13\widetilde r\widetilde g|=|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|+\frac1{\sqrt3}|\widetilde R-\widetilde r|\leq Ce^{-\delta\widetilde t}$ ，命题得证。

三、完成一开始 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流中主要定理的证明

【注1】我们还应该证明 $\widetilde g(\widetilde t)$ 在 $\widetilde t\to+\infty$ 时 $C^{\infty}$ 收敛于 $M$ 上的一个 $C^{\infty}$ 度量 $\widetilde g(\infty)$ ，按照 Ricci流解的长时间存在性，有限时间奇点的分析中的方法，我们应该证明对于

$\widetilde g(\widetilde t)$ 的曲率张量的高阶协变微分估计： $\max_{x\in M}|\widetilde \nabla^n\widetilde {Ric}|\leq C_ne^{-\delta_n\widetilde t}, \forall \widetilde t\in[0,+\infty)$ 。这也属于数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计的一部分，有机会再补充完整。下面我们就在 $\widetilde g(\widetilde t)\;C^{\infty}$ 收敛于 $M$ 上的一个 $C^{\infty}$ 度量 $\widetilde g(\infty)$ 的基础上完成主要定理的证明。

【定理3】（主要定理）Ricci曲率张量大于0的3维连通闭流形 $M$ 微分同胚于三维球面 $S^3$ 商掉一个有限群。

【证明】由于 $\widetilde g(\widetilde t)\;C^{\infty}$ 收敛于 $\widetilde g(\infty)$ ，那么 $\widetilde {Ric}(\widetilde t),\widetilde R(\widetilde t)$ 在 $\widetilde t\to+\infty$ 时也分别光滑收敛于 $\widetilde {Ric}(\infty),\widetilde R(\infty)$ 。由推论1， $|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde r\widetilde g|\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall\widetilde t\in[0,+\infty)$ ，令

$\widetilde t\to +\infty$ 得 $|\widetilde {Ric}(\infty)-\frac13\widetilde r(\infty)\widetilde g(\infty)|\equiv0$ 。注意到 $\widetilde r(\infty)$ 在空间上为常数，因此 $(M,\widetilde g(\infty))$ 为Einstein流形；而 $M$ 是三维的，故 $(M,\widetilde g(\infty))$ 为常截面曲率流形。由命题4知 $\widetilde r\geq\widetilde R_{min}\geq\alpha>0,\forall\widetilde t\in[0,+\infty)$ ，令 $\widetilde t\to+\infty$ 得 $\widetilde r(\infty)\geq\alpha>0$ ，从而 $(M,\widetilde g(\infty))$ 的截面曲率为正的。设 $\widetilde M$ 为 $M$ 的万有覆盖空间，则 $\widetilde M$ 为单连通、常正曲率的黎曼流形，由Myers定理它还是紧的，因而是完备的，因此 $\widetilde M$ 等距同构于三维球面 $S^3$ ，所以 $M$ 微分同胚于 $S^3/\Gamma$ ，其中 $\Gamma\cong\pi_1(M)$ 为覆盖变换群。由于 $\widetilde M$ 是紧的，所以 $\Gamma\cong\pi_1(M)$ 是有限群，于是 $M$ 微分同胚于 $S^3$ 商掉一个有限群 $\Gamma$ ，定理得证。

参考文献

[1] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：知乎用户（登录查看详情）

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让我来告诉你，依从性达到多少才算好？

要问HIV感染者患者教育中最重要的议题是什么，个人认为非「服药依从性」教育莫属。其实对于任何疾病的治疗，严格遵照医嘱都是保证治疗效果、防止复发、控制病情进展的前提。对于需要患者长期服药才能控制的慢性疾病，患者的服药依从性很大程度上决定了药物的治疗效果和预后，马虎不得。

患者对服药一事，内心大多是抵触的，不同研究显示，普通人群的服药依从性在10%-90%不等，而HIV感染者的服药依从性大概在40%-80%。就个人经验而言，国内HIV感染者的依从性其实挺好的，特别是年轻患者。也许是医务人员的反复强调，各种公益机构的大力宣传，以及青年患者大多经济、文化水平较高，感染者大多能够理解，为了保证治疗效果，防止耐药发生，最好坚持每天准时准点服用抗病毒药物。关于「HIV感染者为什么要每天准时服药？」，我也有文章略做讨论（请关注公众号：youaihiv，回复「依从性」查看）。

数年乃至数十年每天按时按点服药不是一件容易的事，无论是有事耽误还是玩心太大搞忘了，或者就是突然间情绪不好了不想吃药，从医生的角度，这种行为应该受到批评，但若站在病患的角度，也是情有可原。发生了晚服或者漏服，患者是否就该被打上「依从性差」的标签？依从性的「好」与「差」应该如何界定？依从性到底应该如何评估？这个不仅艾滋病专科医生应该掌握，长期服药的感染者们心里也应该了解一二。

「95%以上的依从性保证80%以上的治疗成功率」是真的么？

「服药依从性是指HIV感染者或艾滋病患者遵从医嘱服药的程度。抗病毒治疗要达到95%以上的依从性才能保证80%以上的治疗成功率。」之前给大家推荐的《艾问爱答》一书中有上述解释。很多医生或者感染者组织也都喜欢强调「95%的依从性」，但一问95%是怎么算的，好像就没几个人能说清了。

要求患者做到95%以上依从性的建议来自于2000年美国的一项研究（Paterson, David L., et al. "Adherence to Protease Inhibitor Therapy and Outcomes in Patients with HIV Infection." Annals of Internal Medicine133.1(2000):21-30.）。该研究旨在分析患者服药依从性对含蛋白酶抑制剂（PIs）的抗病毒治疗方案的疗效影响。为了对患者依从性进行定量评估，研究者选用了一种叫MEMS TrackCap的智能药盒，这种药盒可以记录患者开关药盒的次数以及每次开关药盒的具体时间。虽然药盒没法直接监督患者服药，但患者自欺欺人，即开盒取药却不服药的行为被认为不太可能发生，所以每开关一次药盒，就代表患者服药一次。通过MEMS TrackCap记录到的服药次数除以规定期限内应服药的总次数，就得到了患者的依从性。研究期间，研究人员每3个月都会对纳入患者的依从性、病载、CD4等数据进行评估，如果患者出现病载升高至400copies/ml以上，即被认为病毒学抑制失败。

研究下来结果为何呢？81例服用含蛋白酶抑制剂的抗病毒治疗方案患者的治疗数据被纳入分析：中位随访时间为6个月，81人总共需要服药45,397次，最终服用33,894次，样本总体依从性为74.7%。研究结果显示（图1），患者依从性越好，研究期间出现治疗失败的比例越低，其中依从性在95%以上的23名患者中，仅5人（22%）发生了病毒学抑制失败，「95%以上的依从性保证80%以上的治疗成功率」就来源于此。相比之下，依从性在80%-94.9%的患者中，有61%出现了治疗失败，而依从性在80%以下的患者中，80%最后病毒都反弹了。

所有服药感染者的依从性都必须达到95%以上么？

建议患者做到95%以上，甚至100%依从性，无可非议。但从科学角度上来说，对所有患者强调「95%以上的依从性保证80%以上的治疗成功率」，是不严谨的，而且容易造成一种误读——即使依从性已经达到95%以上了，还有高达20%治疗失败的可能！也不怪乎许多患者会对服药一事极为焦虑，生怕自己一不小心漏服个一两次，就耐药了。甚至因此推迟服药，错过了最佳治疗时机，如此更是得不偿失。

Paterson研究针对的是服用以非增强蛋白酶抑制剂（unboosted PIs，如茚地那韦）为骨架方案的抗病毒治疗人群，对于以非核苷类逆转录酶抑制剂（NNRTIs，如依非韦伦、奈韦拉平）、增强蛋白酶抑制剂（boosted PIs，如克立芝）或整合酶抑制剂（INSTIs，特威凯、艾生特等）为骨架的治疗方案，依从性要求是否可以适当放宽呢？理论上来说，半衰期越长的药物，其对服药依从性的要求相对越宽——茚地那韦半衰期只有1.8小时，相比之下，多次给药后依非韦伦的半衰期在40-55小时。

2008年西班牙的另一群医生就分析了依从性对不同治疗方案的具体影响（Martin, M, et al. "Relationship between adherence level, type of the antiretroviral regimen, and plasma HIV type 1 RNA viral load: a prospective cohort study." Aids Research & Human Retroviruses24.10(2008):1263.）。该研究中，患者每4个月就要回药房领药，同时带回未服用剩余的药物，医生和药师通过患者规定时间内实际服用的药片数和应该服用的药片数，计算得到患者的依从性，根据患者依从性，可分为<70%, 70%–79.9%, 80%–89.9%, ≥90%四档。研究共纳入1142名感染者，其中绝大部分（1059例）在研究期间均获得病载学抑制（病载测不出），平均依从性为96%。83名病毒学治疗失败的患者，平均依从性为76%。

如图2所示，患者依从性越低，治疗失败（连续两次病毒载量超过200 copies/ml）率就越高。但具体到不同治疗方案，患者服药依从性对治疗效果的影响也有差异：服用以非核苷类逆转录酶抑制剂或增强蛋白酶抑制剂为骨架治疗方案的感染者，依从性虽然仅为80%–89.9%，但发生治疗失败的比例却并未超过10%。相比之下，服用非增强蛋白酶抑制剂方案的感染者，若依从性在80%–89.9%，治疗失败率可达24%。西班牙的这项研究结果提示，现代抗病毒治疗方案对患者的依从性要求，可能并没有我扪想象得那么严苛。

依从性到底要多少才够？

细心的读者不难看出，上述方法评估患者依从性时，即使连高级智能药盒都用上了，但也只考虑了「漏服」的情况，这是不够的。比如，就算总服药次数相同，长期服药不准时和坚持准点服药的病患比，显然后者依从性更好。另外，100次规定服药中，连续漏服5次和分散漏服5次，依从性计算都是95%，但前者这种「服药假日」导致治疗失败和耐药的风险也比后者大得多。这些情况在评估患者服药依从性时，其实都应考虑在内。由于缺乏一个更为完善的依从性评价工具，目前临床评估患者依从性，也只有统计漏服次数相对靠谱一些。

漏服次数和依从性的换算关系大致如下表：

联合用药方案中，一般取骨架药物（即非核苷类逆转录酶抑制剂、蛋白酶抑制剂或整合酶抑制剂）为参照进行依从性评估。

知道了自己的依从性，进一步要明确的就是依从性「好」与「坏」的界限。澳大利亚的一群医生把所有涉及依从性对治疗效果影响的研究综合起来，做了一个荟萃分析（Bezabhe, W. M., et al. "Adherence to Antiretroviral Therapy and Virologic Failure: A Meta-Analysis." Medicine 95.15(2016):e3361.），得到如下结论：依从性完美（perfect，100%）以及依从性接近完美（near perfect，≥95%）的患者，和依从性足够好（good enough，≥80-90%）的患者人群相比，其抗病毒治疗效果（达到病毒学抑制的比例）表现并没有更好。

虽然越来越多研究结果提示，在现代治疗手段下，患者依从性可能并不需要做到95%以上，就可以达到理想的病毒抑制效果，但其侧重点在于鼓励未上药患者尽早上药，而不要因为担心自己依从性不佳错过了最佳上药时机。与此同时，我们还可以通过这些研究得到一个判断，那就是，偶尔漏服一次两次，就导致耐药和治疗失败的可能性是很低的，服药感染者没有必要因为一两次的失误，就惶惶不可终日。

好好吃药是一个持久战，在于病毒斗争的过程中，我们需要保持警惕，但不用过度紧张。放心，科学始终是站在你们这一边的~

以上。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：知乎用户（登录查看详情）

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防弹咖啡的前世今生：它真的有减肥奇效吗？

近两年，防弹咖啡火了起来，所谓"火遍硅谷"、"营养学革命"、"未来饮食新趋势"……当然，更有吸引力的一点是，传说它有减肥的奇效。

防弹咖啡的配方很简单，包括低霉菌的咖啡豆、一两匙草饲黄油、一两匙椰子油或MCT油（即椰子油中提纯的中链甘油三酯），搅拌均匀出泡沫即可。简单来说，就是咖啡和油脂混在一起喝，对几种食材的质量要求比较高。

人们早晨喝一杯防弹咖啡后，会觉得一上午都很精神，能量充沛，精力更容易集中，也不会觉得饿。

这其实是很正常的现象，并不神奇。首先，咖啡本来就有提神、集中精力的效果。其次，防弹咖啡的主要成分是咖啡和脂肪，不含糖。早晨只喝一杯防弹咖啡的话，没有碳水化合物的摄入，血糖就会很稳定，胰岛素也就不会波动，而白天昏昏欲睡的主要原因正是血糖和胰岛素波动的影响。另外，脂肪本身的饱腹感较强，热量也较高，支撑一上午实属正常。

很多人以为，防弹咖啡是科学发展和社会进步过程中的新鲜事物，代表着"营养学革命"。其实，它并不是什么新发明，这种脂肪类咖啡因饮料，在人类历史上一直就有。

防弹咖啡实际上算是西藏酥油茶的"山寨版"。就防弹咖啡创始人Dave Asprey自己讲，他在多年之前去西藏喝了当地的酥油茶，体会到了酥油茶提振精神、抵抗饥饿的神奇效果，回去经过一系列实验，研发了防弹咖啡。其实就是把茶叶换成了咖啡豆，又选了两种更适合的油脂而已，基本原理是一样的。

世界历史上的所有游牧民族，都很重视脂肪的提取利用，也有高超的脂肪炼制技术。原因是，游牧民族跟农业民族不同，没有谷物种植，碳水化合物不足。深处寒冷的北方或高原，又要四处奔波迁徙，所以必须用高能量高饱腹感的脂肪充饥御寒。

比如北欧的各个日耳曼部族都很擅长炼制奶酪。而东方的蒙古族藏族比欧洲人更幸运，他们很早就接触到了茶叶这种提神醒脑的咖啡因饮料，加入脂肪还能提供充沛的热量，不仅能满足生存，更有助于在马背上南征北战。

相比之下，吃粮食的农业民族，虽然人口众多，但饮食对血糖的影响，可能或多或少影响了他们的精气神。蒙古骑兵就喝着充满牛油的蒙古奶茶横扫了欧亚大陆。这个不起眼的饮料，或许也一定程度影响着人类的历史。

后来咖啡流行于欧洲已经是17世纪末的事情，世界即将进入工业时代，人体本身的能量不再重要，各地饮食习惯更加固化，也没有动力为了"更充沛的精力及更充足的热量"去尝试新的饮食，有咖啡喝有面包吃已经足够，所以咖啡和脂肪就这样遗憾地擦肩而过。

没想到400年后，这个多数人都不再为填饱肚子发愁的时代，美国的互联网从业者（确切地说是电商运营高手），Dave Asprey，去西藏净化了一下心灵，发现了酥油茶的奥秘，于是回去研发了"防弹咖啡"，并且极力宣传它的本来平凡的"神奇功效"——抵抗饥饿、充满能量、提神醒脑。Dave甚至还声称自己喝几年防弹咖啡后智商提高了20分……

然而对防弹咖啡风靡世界起决定性作用、吸引人们尝试的，并不是上面几个原因，而是关于减肥的传说。Bulletproof官网曾经主推过这样一条Slogan：Lose Up to a Pound a Day（每天减肥一磅重）。

那么防弹咖啡减肥的原理是什么呢？

这里的秘密在于脂肪的选取。首先，草饲黄油中OMEGA-3 和 OMEGA-6两种脂肪酸比例相对均衡，对人体更健康。重要的是，里面含有另一种重要成分，共轭亚油酸（CLA）。理论上这种物质可以加速脂肪代谢，减少内生性脂肪合成。当然，这只是理论上的作用，对人体实际影响其实很小，几乎可以忽略。

另一种脂肪更为关键，椰子油或从椰子油提取的MCT油，即中链脂肪酸。普通的油脂一般都为长链脂肪酸，消化过程分解过程很漫长。而中链脂肪酸分解速度更快，且更倾向于被直接转化成酮体，酮体会直接给人体提供能量！

说到这你应该就明白了，防弹咖啡本质上是采用了生酮的思想。

生酮方法能否减肥？当然可以。它是在高脂肪、极低碳水的情况下，脂肪被转化为酮体直接为人体供能的机制。然而，生酮的条件极其苛刻，并不是随随便便就能升的。我前一篇文章专门讲过这个问题，在里面我也说明了观点：生酮有着严苛的条件，需要充分的准备，普通人并不适合生酮。

对于严格的生酮者来说，防弹咖啡几乎是必须的饮料，它为生酮者提供了充分且优质的脂肪来源。但是没有严格地执行生酮，只是指望早晨喝一杯防弹咖啡来减肥，那么结果往往背道而驰。你在不生酮的情况下喝防弹咖啡，热量摄入一定超标，实际上是增肥！况且我们也早已不再处于热量匮乏、征战劳碌的游牧时代。

商家宣传说早晨只喝一杯防弹咖啡，其实也是为了避免摄入其他食物，影响中链脂肪酸转化为酮体，在上午时段达到轻微生酮的状态。但这种轻微生酮状态其实没什么用，你中午晚上稍微吃点碳水，身体状态还会回到原来的状况。

也有很多人通过喝防弹咖啡瘦下来，其实他们或多或少都有节食的行为。防弹咖啡推广者也会经常介绍一些断食的方法。这就影响了一个关键变量：你很难确定一个人到底是因为防弹咖啡瘦下来，还是饿瘦的。

断食、杜绝某一类食物、只摄入某一类食物等行为，也会造成营养不良的状况，对身体并不是好事。我们的膳食结构里，每一种食物都有它的作用，身体对各种营养物质有着全方位的需求，健康的前提是均衡。

总有人问，为什么它叫Bulletproof Coffee？其实没有为什么，它只是一个公司、一个商标的名字而已。就像你不会问可口可乐为什么叫可口可乐一样。

Dave Asprey在2013年成立了Bulletproof 360公司，并注册了Bulletproof商标。两年前，Bulletproof商标也在中国大陆完成注册，持有者也是美国企业Bulletproof360。短短五年，Dave让防弹咖啡跻身21世纪最成功的营销概念。

在人们心中，它是流行的、前卫的，有无数营养学爱好义务帮助Dave科普，甚至不觉得有任何商业性的影子。

让我好奇的是，国内积极推广防弹咖啡的几个商家，是否取得了品牌持有者官方的授权？

当然，授权不授权并不重要，因为"开放性"正是Dave Asprey的品牌运营策略。不仅对品牌使用、传播保持开放，他也没有像其他餐饮界同行一样，对食材配方严格保密，而是在官网头条将之公之于众，鼓励大家积极尝试。

我们没有意识到的是，传统饮食习惯，和一个地区的历史文化息息相关，而当代饮食潮流，也和今天这个商业环境紧密联系。

人们以为，防弹咖啡这种脂肪类咖啡因饮料，是营养学进步中的伟大发现，其实这只是人类宏伟历史中的遗物而已。

只是，它采用了不同于蒙古骑兵的另一种战争方法，侵略了新的领地。

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来源：知乎 www.zhihu.com
作者：冉苒

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