超对称(3):Central Simple Algebra

我们需要一些必要的代数知识,因为后面对 spinor 的讨论中要用。当然,你可以手动构造 spinor 的任何相关内容,但是我还是更倾向于优雅一些的办法。

前面两个部分都是铺垫性质的,(super) Brauer group 和 Skolem-Noether 定理会直接用在之后的讨论中。可以跳过前面两个部分只看后面两个部分的结论(但其实大部分证明一两句话就能说清楚,说不清楚的被我省略了)。


这里所有模都是右模, [A:k]\equiv\dim_k A

§ Wedderburn 定理

A 是 simple ring, M 是它的非零右理想,视作 A -模。定义 M 的 bicommutant A^{\prime\prime}\equiv\mathrm{End}_{A^\prime}M 其中 A^\prime\equiv\mathrm{End}_AM

考虑同态 R:A\to A^{\prime\prime},(m)(R(a))\equiv ma\ker RA 中的双侧理想,显然不能是整个 A 所以只能是 0 ,故 R 是单射, A\simeq R(A) 。因为左乘总是在 A^\prime 里,所以 n(R(m)a^{\prime\prime})=(nm)a^{\prime\prime}=n(ma^{\prime\prime})=nR(ma^{\prime\prime})R(M)A^{\prime\prime} 里面的右理想。由于 AM 是双侧理想, A=AM,R(A)=R(A)R(M) ,所以 R(A) 是右理想。由于 1_M\in R(A)A^{\prime\prime}= R(A)\simeq A

对于一个有限维 k -代数 A ,任何一个非零 A -模都包含一个有限维的子模(比如  xA ),在它的子模里面选作为 k -向量空间维数最低的,那么它一定是 simple 的。一般的,任意 simple A -模 M 都是有限维的,因为它总是 cyclic 的。此外, \mathrm{End}_AM 一定是一个 skew field,因为里面除了 0 以外显然都是 isomorphism。

现在考虑一个有限维 simple k -代数 A ,把它自己看成一个 A -模,由前面的结论可以选出 simple 的子模 MK=\mathrm{End}_AM 是 skew field 且 \mathrm{End}_KM\simeq A 。 skew field 上的模都是自由的,所以 A 可以视作矩阵代数 K^{\mathrm{op}}(n\times n) 。反过来 skew field 上的矩阵代数都是 simple 的,因为对于任一个非零矩阵生成的理想,总可以通过左右两边乘上  E_{ij} 先提取出一个非零元素,再把它平移到任何想要的位置,通过线性组合生成整个矩阵代数。于是我们得到了有限维 semisimple 代数的分类:有限份 skew field 上的矩阵代数的 product。


§ Central Algebra

定义 centralizer C_A(B)\equiv\{x\in A:[x,B]=0\} 。不难验证 C_{A\otimes A^\prime}(B\otimes B^\prime)=C_A(B)\otimes C_{A^\prime}(B^\prime)

对于一个 finite simple k -代数 A ,由 Wedderburn 定理  A\simeq K(n\times n)=k(n\times n)\otimes_k K ,其中 \dim_k K<\infty Z(A)=Z(k(n\otimes n))\otimes_k Z(K)=k\otimes_k Z(K)=Z(K) 是一个域,所以 Z(A)|k 是有限扩张。

central  k -代数是  Z(A)=k\cdot1_A 的代数。若 central k -代数 K 是 skew field,对于  k -线性空间 V ,可以证明 W\subset V\otimes_kK 作为  K -向量空间由  W\cap(V\otimes1) 生成。这样,对于  k -代数  A ,two-sided ideal I\subset A\otimes_kK 可以写成  J\otimes_kK ,其中 J=I\cap(A\otimes 1) 也是 two-sided ideal。所以  A simple 时 A\otimes_kK 也是。

现在记  R_n\equiv R(n\otimes n) ,函子 M\mapsto M^{\oplus n},N\mapsto NE_{11} 给出范畴等价 \mathrm{Mod}_R\simeq\mathrm{Mod}_{R_n}R_n 的 two-sided ideal J 总可以写成 J=\bigoplus_{i,j} E_{ii}JE_{jj} ,其中所有的直和项都同构于一个  R 的 two-sided ideal I ,所以 J=I R_n 。通过一些初等矩阵的运算可以看出 Z(R_n)=Z(R)\delta_{ij}

由范畴等价 \mathrm{Mod}_A\simeq\mathrm{Mod}_{K} ,考虑到后者是自由的,自由模的范畴性质马上可以搬运到 \mathrm{Mod}_A :同构意义下只有一个 simple A -模,在  A=K_n 时就是  K^{\oplus n} 并且 L\equiv\mathrm{End}_A(M)=K^{\mathrm{op}} 从左边作用;有限 A -模都是 simple module 的直和,完全被作为 k -线性空间的维数所分类。它们可以直接翻译成关于矩阵代数的表示的结论。这样, \mathrm{End}_L(M)=A ,并且 Z(A)=Z(K)=Z(L)[A:k][L:k]=(\dim_kM)^2 。而一个一般的有限 A -模 N\simeq M^{\oplus n} ,所以 B\equiv\mathrm{End}_A(N)=L_n\mathrm{End}_B(N)=A

现在考虑两个 simple k -代数 A,A^\prime ,其中 A^\prime={K^\prime}_n 是 finite central 的。那么 Z(K^\prime)=Z(A^\prime)=kK^\prime central), A\otimes_k K^\prime 也是 simple 的,并且  A\otimes_kA^\prime=(A\otimes_k K^\prime)(n\times n) 也是simple 的。这样,finite central simple algebra 在张量积下封闭。对于任意的域扩张  k^\prime|k ,由前面的结论环变换函子 A^\prime\equiv A\otimes_k k^\prime 可以限制在 finite central simple algebra 上。最后,有同构  A\otimes_k A^{\mathrm{op}}\simeq\mathrm{End}_k(A),a\otimes a^\prime\mapsto[x\mapsto a x a^\prime] (左边是 simple 的代数所以这是单同态,数维数可以发现是同构)。


§ Brauer group

我们在 finite simple central k-代数上面定义一个等价关系 A\sim B\Leftrightarrow \exists n,m\in\mathbb{N^{>0}}, A(n\times n)\simeq B(m\times m) 。等价的代数叫做相似的。由 Wedderburn 定理 K_n,{K^\prime}_m 相似当且仅当  K\simeq K^\prime (一个方向是显然的,另一个方向考虑 \mathrm{End}_A(M)=K^{\mathrm{op}} )。所以每一个等价类里面同构意义下有且仅有一个 finite central skew field。

张量积保持这个等价关系,所以张量积运算可以定义在等价类上。这个运算是结合且交换的,单位元为 [k] 。由前面的讨论, A\otimes A^{\mathrm{op}}\simeq k(n\times n),n=[A:k][A]\otimes[A^{\mathrm{op}}]=[k] ,这样我们得到了一个 abelian group,记作 \mathrm{Br}(k) (叫做 k 的 Brauer group)。

环变换函子  A\mapsto A\otimes_k k^\prime 诱导 Brauer group 间的同态 \mathrm{Br}(k)\mapsto \mathrm{Br}(k^\prime) ,因此 \mathrm{Br}(-):\mathrm{Field}\to \mathrm{Ab} 是域范畴到 abelian group 范畴的函子。

对于代数闭域的有限 skew field extension K|kk[x]\subset K 是一个域,所以  k[x]=k,K=k ,因此没有非平凡的扩张,所以 Brauer group 是平凡的。


§ Skolem-Noether 定理

A 是 finite central simple k -代数, B 是 simple k -代数,存在两个非零同态  f_i\in\mathrm{Hom}_k(B,A),i=1,2 。选一个 simple A -模 M ,则 L=\mathrm{End}_A(M) 是以  k 为中心的 skew field,左作用在  M 上。所以上面有两个 B\otimes_k L^{\mathrm{op}} -模结构: m(b\otimes l)=lmf_i(b)f_i 显然是单射,所以 [B:k]<\infty ,进而  B\otimes_k L^\mathrm{op} 也是 finite simple 的,所以这两个模结构同构。那个同构在 \mathrm{End}_L(M)=A 里,因此存在  x\in A^\timesf_2(b)=x f_1(b) x^{-1},b\in B

把 finite simple k -代数看成它的中心上的代数,自然是 central 的,而上面的自同构也可以自然地视作新的代数上的自同构。那么由刚才的讨论,它的自同构总是 inner 的。特别地,矩阵代数的自同构总是 inner 的。


§ Reference

Stacks Project

C.T.C. Wall, Graded Brauer Groups



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:Riinn

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