经典网文分享: 超对称（3）：Central Simple Algebra

我们需要一些必要的代数知识，因为后面对 spinor 的讨论中要用。当然，你可以手动构造 spinor 的任何相关内容，但是我还是更倾向于优雅一些的办法。

前面两个部分都是铺垫性质的，(super) Brauer group 和 Skolem-Noether 定理会直接用在之后的讨论中。可以跳过前面两个部分只看后面两个部分的结论（但其实大部分证明一两句话就能说清楚，说不清楚的被我省略了）。

这里所有模都是右模， $[A:k]\equiv\dim_k A$

§ Wedderburn 定理

$A$ 是 simple ring， $M$ 是它的非零右理想，视作 $A$ -模。定义 $M$ 的 bicommutant $A^{\prime\prime}\equiv\mathrm{End}_{A^\prime}M$ 其中 $A^\prime\equiv\mathrm{End}_AM$ 。

考虑同态 $R:A\to A^{\prime\prime},(m)(R(a))\equiv ma$ ， $\ker R$ 是 $A$ 中的双侧理想，显然不能是整个 $A$ 所以只能是 $0$ ，故 $R$ 是单射， $A\simeq R(A)$ 。因为左乘总是在 $A^\prime$ 里，所以 $n(R(m)a^{\prime\prime})=(nm)a^{\prime\prime}=n(ma^{\prime\prime})=nR(ma^{\prime\prime})$ ， $R(M)$ 是 $A^{\prime\prime}$ 里面的右理想。由于 $AM$ 是双侧理想， $A=AM,R(A)=R(A)R(M)$ ，所以 $R(A)$ 是右理想。由于 $1_M\in R(A)$ ， $A^{\prime\prime}= R(A)\simeq A$ 。

对于一个有限维 $k$ -代数 $A$ ，任何一个非零 $A$ -模都包含一个有限维的子模（比如 $xA$ ），在它的子模里面选作为 $k$ -向量空间维数最低的，那么它一定是 simple 的。一般的，任意 simple $A$ -模 $M$ 都是有限维的，因为它总是 cyclic 的。此外， $\mathrm{End}_AM$ 一定是一个 skew field，因为里面除了 0 以外显然都是 isomorphism。

现在考虑一个有限维 simple $k$ -代数 $A$ ，把它自己看成一个 $A$ -模，由前面的结论可以选出 simple 的子模 $M$ ， $K=\mathrm{End}_AM$ 是 skew field 且 $\mathrm{End}_KM\simeq A$ 。 skew field 上的模都是自由的，所以 $A$ 可以视作矩阵代数 $K^{\mathrm{op}}(n\times n)$ 。反过来 skew field 上的矩阵代数都是 simple 的，因为对于任一个非零矩阵生成的理想，总可以通过左右两边乘上 $E_{ij}$ 先提取出一个非零元素，再把它平移到任何想要的位置，通过线性组合生成整个矩阵代数。于是我们得到了有限维 semisimple 代数的分类：有限份 skew field 上的矩阵代数的 product。

§ Central Algebra

定义 centralizer $C_A(B)\equiv\{x\in A:[x,B]=0\}$ 。不难验证 $C_{A\otimes A^\prime}(B\otimes B^\prime)=C_A(B)\otimes C_{A^\prime}(B^\prime)$ 。

对于一个 finite simple $k$ -代数 $A$ ，由 Wedderburn 定理 $A\simeq K(n\times n)=k(n\times n)\otimes_k K$ ，其中 $\dim_k K<\infty$ 。 $Z(A)=Z(k(n\otimes n))\otimes_k Z(K)=k\otimes_k Z(K)=Z(K)$ 是一个域，所以 $Z(A)|k$ 是有限扩张。

central $k$ -代数是 $Z(A)=k\cdot1_A$ 的代数。若 central $k$ -代数 $K$ 是 skew field，对于 $k$ -线性空间 $V$ ，可以证明 $W\subset V\otimes_kK$ 作为 $K$ -向量空间由 $W\cap(V\otimes1)$ 生成。这样，对于 $k$ -代数 $A$ ，two-sided ideal $I\subset A\otimes_kK$ 可以写成 $J\otimes_kK$ ，其中 $J=I\cap(A\otimes 1)$ 也是 two-sided ideal。所以 $A$ simple 时 $A\otimes_kK$ 也是。

现在记 $R_n\equiv R(n\otimes n)$ ，函子 $M\mapsto M^{\oplus n},N\mapsto NE_{11}$ 给出范畴等价 $\mathrm{Mod}_R\simeq\mathrm{Mod}_{R_n}$ 。 $R_n$ 的 two-sided ideal $J$ 总可以写成 $J=\bigoplus_{i,j} E_{ii}JE_{jj}$ ，其中所有的直和项都同构于一个 $R$ 的 two-sided ideal $I$ ，所以 $J=I R_n$ 。通过一些初等矩阵的运算可以看出 $Z(R_n)=Z(R)\delta_{ij}$ 。

由范畴等价 $\mathrm{Mod}_A\simeq\mathrm{Mod}_{K}$ ，考虑到后者是自由的，自由模的范畴性质马上可以搬运到 $\mathrm{Mod}_A$ ：同构意义下只有一个 simple $A$ -模，在 $A=K_n$ 时就是 $K^{\oplus n}$ 并且 $L\equiv\mathrm{End}_A(M)=K^{\mathrm{op}}$ 从左边作用；有限 $A$ -模都是 simple module 的直和，完全被作为 $k$ -线性空间的维数所分类。它们可以直接翻译成关于矩阵代数的表示的结论。这样， $\mathrm{End}_L(M)=A$ ，并且 $Z(A)=Z(K)=Z(L)$ ， $[A:k][L:k]=(\dim_kM)^2$ 。而一个一般的有限 $A$ -模 $N\simeq M^{\oplus n}$ ，所以 $B\equiv\mathrm{End}_A(N)=L_n$ ， $\mathrm{End}_B(N)=A$ 。

现在考虑两个 simple $k$ -代数 $A,A^\prime$ ，其中 $A^\prime={K^\prime}_n$ 是 finite central 的。那么 $Z(K^\prime)=Z(A^\prime)=k$ （ $K^\prime$ central）， $A\otimes_k K^\prime$ 也是 simple 的，并且 $A\otimes_kA^\prime=(A\otimes_k K^\prime)(n\times n)$ 也是simple 的。这样，finite central simple algebra 在张量积下封闭。对于任意的域扩张 $k^\prime|k$ ，由前面的结论环变换函子 $A^\prime\equiv A\otimes_k k^\prime$ 可以限制在 finite central simple algebra 上。最后，有同构 $A\otimes_k A^{\mathrm{op}}\simeq\mathrm{End}_k(A),a\otimes a^\prime\mapsto[x\mapsto a x a^\prime]$ （左边是 simple 的代数所以这是单同态，数维数可以发现是同构）。

§ Brauer group

我们在 finite simple central k-代数上面定义一个等价关系 $A\sim B\Leftrightarrow \exists n,m\in\mathbb{N^{>0}}, A(n\times n)\simeq B(m\times m)$ 。等价的代数叫做相似的。由 Wedderburn 定理 $K_n,{K^\prime}_m$ 相似当且仅当 $K\simeq K^\prime$ （一个方向是显然的，另一个方向考虑 $\mathrm{End}_A(M)=K^{\mathrm{op}}$ ）。所以每一个等价类里面同构意义下有且仅有一个 finite central skew field。

张量积保持这个等价关系，所以张量积运算可以定义在等价类上。这个运算是结合且交换的，单位元为 $[k]$ 。由前面的讨论， $A\otimes A^{\mathrm{op}}\simeq k(n\times n),n=[A:k]$ ， $[A]\otimes[A^{\mathrm{op}}]=[k]$ ，这样我们得到了一个 abelian group，记作 $\mathrm{Br}(k)$ （叫做 $k$ 的 Brauer group）。

环变换函子 $A\mapsto A\otimes_k k^\prime$ 诱导 Brauer group 间的同态 $\mathrm{Br}(k)\mapsto \mathrm{Br}(k^\prime)$ ，因此 $\mathrm{Br}(-):\mathrm{Field}\to \mathrm{Ab}$ 是域范畴到 abelian group 范畴的函子。

对于代数闭域的有限 skew field extension $K|k$ ， $k[x]\subset K$ 是一个域，所以 $k[x]=k,K=k$ ，因此没有非平凡的扩张，所以 Brauer group 是平凡的。

§ Skolem-Noether 定理

设 $A$ 是 finite central simple $k$ -代数， $B$ 是 simple $k$ -代数，存在两个非零同态 $f_i\in\mathrm{Hom}_k(B,A),i=1,2$ 。选一个 simple $A$ -模 $M$ ，则 $L=\mathrm{End}_A(M)$ 是以 $k$ 为中心的 skew field，左作用在 $M$ 上。所以上面有两个 $B\otimes_k L^{\mathrm{op}}$ -模结构： $m(b\otimes l)=lmf_i(b)$ 。 $f_i$ 显然是单射，所以 $[B:k]<\infty$ ，进而 $B\otimes_k L^\mathrm{op}$ 也是 finite simple 的，所以这两个模结构同构。那个同构在 $\mathrm{End}_L(M)=A$ 里，因此存在 $x\in A^\times$ ， $f_2(b)=x f_1(b) x^{-1},b\in B$ 。