世界地图上两个点间的直线，是不是这两个地方最短的航线？如果地球是个完美的球体呢，是否是？

首先点题：不一定

因为世界地图的投影千变万化，你无法保证一张随便一张世界地图上的直线在现实世界中是什么样子。

首先明确概念：地图投影

我们都知道地球是个球体，表面是曲面。而地图印在纸上或显示在屏幕上，是平面。我们在日常应用中又不可能总带着地球仪，或者一个立体的地形模型，所以就面临着一个把立体的地球映射到平面的地图上的问题，这就是地图投影。一般光学上讲投影就是在逛的照射下将物体投到一个承影面上的过程，姜这个过程推广，在数学上就指两个图形之间的一一对应关系。而在地图学上，就特指将地球表面上的位置转换到平面地图上的过程与方法。这个过程通常可以由特定的数学公式描述。基于我们朴素的直观认识，我们都知道不可能将一个球面和平面相互转换而不产生任何变形和破损。地图投影的方式千变万化，每一种都有自己的变形特性，我们就要根据不同的应用场景选择合适的投影方式。

地图投影的变形一般分为三类：长度变形、面积变形和角度变形。一般这些变形相互之间只能做出妥协，要减小某一个变形，另两个变形就有可能增加。

比如百度和谷歌等在线地图使用的墨卡托投影，正式名称叫做"正轴等角圆柱投影"，就像下图：

是把地球表面投影到一个在赤道和地球相切，对称轴和地轴相同的圆柱面上，然后再把圆柱面展开成平面，这样经线就可以保持平行。而纬线的分布，没有直接使用光线投影那样从地心做射线投影到圆柱面上，而是使用了：

其中 ， 为 的符号函数， 大于0时为1，小于0时为-1，等于0时取0。这样纬线的间距就被不均匀地拉伸了，靠近赤道相对较密，远离赤道相对较稀疏，而这个不均匀的程度经过精心构造，可以保证经过投影后低地物角度保持不变，所以是等角投影。保持角度不变的好处是你在地图上随便画一条直线，直线和经线在地图上的夹角就是在地球球面上世纪的夹角，这个特性对于航空航海之类的领域特别重要，因为在航空或者航海领域，通常通过设定航向来进行导航。

如果我们用地球上的圆来表示墨卡托投影各处变形的程度的话，大概就是这样：

这种表示方法叫做底索变形椭圆，外文文献上也叫底索指线Tissot's indicatrix。

扯个外传……这个Tissot还有另一种翻译：天梭，对就是那个卖手表的。不过提出这个变形椭圆的法国数学家Nicolas Auguste Tissot似乎和天梭厂没什么关系……只是单纯的重名（姓）……

于是问题来了，在地球上经线最终汇聚在南北极点，到了圆柱面上相互平行，这样一来就会产生变形。我们可以看到越靠近两级，圆变得越大，说明靠近两级的地方经过投影之后被拉伸了，虽然形状没有变，但是长度和面积有了显著的增加，一直到靠近极点的地方，本来靠近极点的地方在地球上应该是接近一个点，经过投影之后却被拉成了一条直线。所以，墨卡托投影为了保持角度的准确，牺牲了长度和面积的准确，尤其是在靠近极地的位置。

我们再看另一种投影，兰伯特圆柱等面积投影。这个兰伯特是瑞士的博物学家，在数学、物理、哲学、天文和地图学等许多领域都有重要贡献，光地图投影就提出了好多种。不过今天我们只看一种：

由于也是圆柱投影，所以经线也相互平行，靠近两极的地方在水平方向上也会有距离的拉伸，但是为了保持面积不变，在垂直方向上就要压缩，所以我们看到越到两极图形越扁。底索椭圆也体现了这一点：

所以，当只说"世界地图"而不指定世界地图使用的投影时，说"两个点之间的直线"是一件没准的事。你也不知道这个投影下的直线在实际的地球上会是个什么鬼。

那么，下一个问题就是，有没有一种地图投影，上面两点之间的直线是实际地球上的最短距离呢？

我们先看什么是地球上两点的最短距离，按照球面几何，球面上两点之间的距离最短的线条是大圆，也就是过这两点把球体平分的圆，就像这样：

当然这个是一整个大圆，两点间距离的话当然要取小的那段：

在航空和航海上沿着大圆连接两点的航线就叫大圆航线，也就是地球上两点之间的最短距离。

我们现在确定了大圆航线是两点之间的最短路径，剩下的就是寻找一种能将大圆航线投影成直线的投影方式了，这种投影叫做日晷投影：

对，就是在球心放一个点光源，然后把地表投影向与地面相切的平面上，这样就可以将所有大圆保持为直线，具体的数学证明就不放了，可以放一张图：

投影后的地图长这样:

在日晷投影的地图上，在两点之间画一条直线，这条直线对应的真实地球上的路径就是大圆航线，就是地球上两点之间的最短距离。由于日晷投影属于任意投影，长度、面积和角度都有复杂的变形，所以应用受到一定限制。在地震研究中，由于地震波的传播沿大圆进行，所以需要使用日晷投影。同样的，由于无线电导航信号也沿大圆传播，所以使用无线电导航的航空、航海也会使用到日晷投影。当然，航空航海使用日晷投影的另一个原因就是大圆航线。

至于地球不规则造成的误差，一般采用地球的半长轴为6378.137 km，半短轴为6356.752 km。在赤道上南北方向的曲率半径为 ,两极的曲率半径可以近似为 ，大概是1%的误差。如果把地球看作规则的球形，误差可以缩小到0.5%，对于国际通用的WGS84参照椭球，将地球近似为半径为6371km的规则球体可以取得最小的距离误差。

大部分插图如果没有特别注明的话都来自wiki~

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：知乎用户（登录查看详情）

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