如何从数学、力学及工程意义上，说明屈曲分析和振型分析的异同点?

@George Ge 的答案已经很靠谱了。

鉴于工作学习中常有人混淆这两个概念，我觉得还是有必要系统地补充下。猜测之所以有人搞混，可能是因为它们在数学上都同属于矩阵特征值（Eigen value）和特征向量（Eigen vector）问题吧。

以下分四个方面来讲它们的异同。

1. 模态/振型分析

1.1 工程角度

从工程上说，模态分析是研究结构动力特性的一种方法。该分析可给出系统各模态的固有频率（特征值）与模态振型（特征向量）。模态分析的主要作用是在得到频率和振型后，计算系统在激励作用下，各阶模态的响应，最后通过线性叠加原理得到系统的总响应。例如，要利用振型分解反应谱法计算结构在地震作用下的动力响应，就需先对结构进行模态分析。

1.2 力学角度

模态分析从力学角度讲，是无阻尼多自由度系统自由振动的特征值与特征向量问题。

1.3 有限元分析角度

在模态分析里，仅需定义系统的质量源而不用指定任何的荷载工况。通常情况下，你可以认为在模态分析里，结构是不受力的。有些FEM软件会给出模态对应的内力，但这些内力都是"虚力"，即它们都是使结构产生这样的振型时所对应的内力结果。FEM软件在进行振型分解时，将 构造结构的质量矩阵； 构造刚度矩阵； 求解特征值（自振频率）与特征向量（模态振型）。

1.4 数学角度

从数学的角度，如 为 自由度结构的质量与刚度矩阵，其无阻尼自由振动方程为 。动力学里一般假设自由振动是简谐的，即 ，二阶时间导数为 。此处， 是系统振动的振幅， 是系统的自振频率（特征值）， 是相角。把 和 代回振动方程并化简，得到 。在数学上，要使该方程有非平凡解（即非零解），矩阵 的行列式必须等于0，即 。把该行列式展开，其结果为一个 次 的多项式。它的 个由小到大的根， ，对应结构由柔到刚的 个自振频率（特征值）；而与特征值对应的特征向量就是系统发生自由振动时的模态振型， 。

2. 屈曲分析：

2.1 工程角度

屈曲分析在工程上主要是研究结构在特定荷载（结构分析里一般称屈曲工况）下的稳定性以及确定结构发生失稳的临界荷载。屈曲分析包括线性（特征值屈曲）和非线性的（如几何非线性失稳，弹塑性失稳，后屈曲分析）。由于在问其与模态分析的异同，那么默认题主指的是线性或特征值屈曲。屈曲分析中，特征值是结构在屈曲工况下的屈曲因子，而特征向量为该工况下系统的屈曲模态。在结构分析中，屈曲分析一般有两个作用：1. 通过屈曲因子计算结构的失稳临界荷载；2. 将屈曲模态作为结构的初始几何缺陷引入到结构当中，并进行全过程分析计算结构的安全因子（安全因子=极限承载力/设计承载力）。

2.2 力学角度

线性屈曲在力学上，是无阻尼多自由度系统在特定静力荷载作用下的特征值与特征向量问题。

2.3 有限元分析角度

与模态分析完全相反，屈曲分析仅需指定系统的屈曲工况而不需指定系统的质量源。FEM软件在进行屈曲分析时，将 计算结构在屈曲工况下所有杆件的轴力； 选取轴压力最小的杆件并令该轴压力= 根据比值，将所有杆件轴力（包括拉力）表示成 的形式； 基于以 表示的杆件轴力，构造几何刚度矩阵 ； 求解特征值（屈曲因子）与特征向量（屈曲模态）。

2.4 数学角度

如假定结构在屈曲工况下的杆件轴力为常数，在构造结构的运动方程时，除弹性刚度矩阵 外，还需包括几何刚度矩阵 。模态分析中的运动方程 在屈曲分析中则变为 。由于结构发生屈曲时，系统的振动频率为零，所以运动方程中的惯性力项 将消失，运动方程变为 。类似地，在数学上，要使该方程有非平凡解，矩阵 的行列式必须等于0，即 。如将 表示为一个荷载因子 （屈曲因子）与 的乘积，则特征值方程变为 ，展开即得计算临界荷载的稳定方程。此时，特征值 为屈曲因子，与之对应的特征向量为此阶的屈曲模态。

注 :几何刚度矩阵表示结构在各杆件轴力作用下的屈曲趋势，它与结构构型和荷载条件直接相关。几何刚度系数为杆件轴力与杆件长度的函数 ，可通过有限元概念来计算刚度系数的高阶近似。刚度系数值可正可负，比如当杆件受压时其侧向刚度减小，受拉时侧向刚度增大。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：河裏砍柴

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。 点击下载

此问题还有 8 个回答，查看全部。
延伸阅读：
如何辨别一个户型中哪些是承重墙？
现今高校的结构力学教育是不是有问题？