经典网文分享: 在量子力学中，Heisenberg非对易关系可以由路径积分推出来吗？

完全不懂数学，只能说一点点物理了。

1，量子力学：

（1）对于量子力学，我们知道Hilbert space上强连续单参数酉算子群： $U(t)=e^{-\frac{\hat{H}}{\hbar}t}$ ，的生成元为哈密顿算子 $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V$ 时， $U(t)$ 控制时间演化（时间平移）。我们用trotter product 对其变形即可得到路径积分。吸收动能项，做变换 $t\to -it$ ，定义Wiener measure就可以得到Feynman–Kac 公式。一类微分方程的解都可以写成泛函积分的样子。

（2）题主的问题是，我们用路径积分可以计算出谐振子力学量的期望值。那么，假设我们只有这个期望值作为已知条件，那能不能给出谐振子的Hilbert space $H$ ，其上的self-adjoint operator（物理学量），以及正则对易关系呢？也就是说，我们知道了某个算子代数 $\mathfrak{A}$ 上的态（线性泛函）： $\omega:\mathfrak{A}\to R$ ，那么我们能不能得到这个算子代数的表示呢？为此需要考虑 $\mathfrak{A}$ 的GNS construction： $\omega(\hat{A})=\left( \psi,\pi(\hat{A})\psi \right)$ ，这里 $\omega$ 是代数 $\mathfrak{A}$ 上的态， $\pi(\hat{A})$ 就是代数 $\mathfrak{A}$ 在某个Hilbert spaces $H$ 上的表示， $\psi \in H$ 也就是单位循环向量（态矢）了。为了解决这个问题，我们先来看看满足正则对易关系的代数的表示问题。

（3）正则对易关系是： $[\hat{Q}_i,\hat{P}_j]=i\hbar\delta_{ij}$ ，这是满足某种对易关系的一堆算符。我们知道对矩阵而言 $tr([A,B])=0$ ，没有矩阵能满足这个关系，这里的 $\hat{x}$ 和 $\hat{p}$ 都是麻烦的无界算子。满足正则对易关系的代数称为CCR algebra，我们要考虑CCR algebra在某个Hilbert space上的表示问题。

我们最熟悉的当然就是 $L^2$ 空间上的薛定谔表示了，此时： $Q_i=x_i \psi$ ； $P_j=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j}$ ，它们都是 $L^2$ 空间上的无界自伴算子。那么有没有存不存在其他表示呢？

为了回答这个问题，我们用 Stone定理将满足正则对易关系的CCR algebra转化为满足Weyl关系的Weyl algebra： $U(a)=e^{ia\hat{P}}$ ； $V(b)=e^{ib \hat{Q}}$ ， $U(a)V(b)=e^{iab}V(b)U(a)$ 。如果酉算子群满足Wely关系，那么他的生成元一定满足正则对易关系。由此我们可以规避掉麻烦的自伴算子，直接考虑Weyl algebra的表示问题。由此出发，我们可以得到结论，Weyl algebra的不可约强连续表示都和薛定谔表示等价。

也就是说，我们考试两个不可约强连续表示 $\left\{ L^2,{O_i^1} \right\}$ 与 $\left\{ H,{O_i^2} \right\}$ ，那么这两个表示之间存在酉算子 $U:L^2\to H$ ， $O^2_i=U O_i^1 U^{-1}$ 。从物理意义上看使用这两个表示我们会得到相同的物理结果，这也就是所谓的Stone–von Neumann定理了。由此，我们可以根据研究物理问题的不同选择不同的表示，在薛定谔绘景，海森堡绘景，相互作用绘景之间来回切换。如果愿意的话，你甚至可以去考虑全纯Hilbert space上的表示。

（4）回到路径积分，路径积分中也可以用Stone 定理来给出相应力学量的情况（而不用直接计算），比如路径积分最初的表达式是对时间演化 $U(t)$ 变形，那么我们计算出谐振子的传播子后就可以利用谱定理得到：

$K(x_f,t_f,x_i,t_i)=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}} \right)\psi_n(x_f)^*\psi_n(x_i)}$ ，进而给出能量的本征值。

说了这么多，那么到底怎么给出谐振子问题中的GNS construction呢？实际上，我们所有物理上所有 $\mathfrak{A}$ 的表示都是等价的。这个表示我们知道就是薛定谔表示。这里题主的意愿是利用C*-algebra $\mathfrak{A}$ （Weyl algebra）上的态来构造出Hilbert space上的理论。但实际上，无论是我们处理这个问题的时候，还是从历史进程的角度去看，我们都早已知道了这个表示是唯一的（有点看了参考答案再去做题的感觉）。

2，量子场论：

对于量子场论，这里的力学量不再是一个C*-algebra，而是一个C*-algebra net：

$\left\{\mathfrak{A}(O);O\subseteq M \right\}$ ，或者更紧凑的你可以把它构造成一个monoidal functor： $\mathfrak{A}:\mathbf{Loc}^{\otimes}\to \mathbf{Obs}^{\otimes}$ 。当然这个 C*-algebra net要满足Locality axiom的那几个条件。题主的意思是，类似与量子力学，或许可以由此出发给出量子场论中的Hilbert space以及operator-value distribution（场算符）。

数学上我就不懂了，不过，这里物理上的问题在于：不同与有限自由度的量子力学，量子场论中存在无穷多种不等价表示。具体来说：我们考虑标量场 $\phi(x,t)$ ，如果这个标量场和自由标量场酉等价，那么这个标量场一定也是自由标量场，即HHW定理。一般的量子场论教材是怎么讲的呢？先复习量子力学和相对论，然后三个自由场做正则量子化，之后利用相互作用表象"连接"自由场与相互作用场，给出编时传播子的计算技巧以及LSZ约化公式。但是，正如上面所说，如果一个场合自由场酉等价，那么这个场一定也是自由场，用相互作用表象来这样处理问题时完全有问题的。

物理上看，这些不等价的表示并不是什么严重的问题，它恰恰反映了量子场论与有限自由度量子力学的不同，这个问题本身就是量子场论的特有的。就好比正则量子化中Lie代数同构严格不存在一样，如果QFT与QM之间仅仅只是换个自由度，其他啥问题没有变的话，那这么trivial的结果才是有问题的。

扯远了，对于题主的第二个问题我完全不懂。但这里的一个问题是：构造Hilbert space以及operator-value distribution的时候，你选哪个表示呢？

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：萨塔妮亚

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