经典网文分享: Note：优秀的天文学家为什么需要牛顿引力近似

前段时间写了篇抖机灵的文章优秀的天文学家都是不用牛顿引力近似的，这篇文章写完之后有同学问我"那么，优秀的天文学家为什么需要牛顿引力近似呢"？

首先从我之前的文章什么是黑洞天体物理？中我们知道，黑洞是广义相对论预言的产物，而在Note:数学黑洞、物理黑洞与天文黑洞一文中我们也知道，"在物理宇宙学中，黑洞被物理学家看作是一个物质引力坍缩时形成的时空区域，这片区域的引力强大到光也无法逃脱"。所以在黑洞附近，广义相对论效应的确是很重要的。但是，考虑相对论效应之后的工作通常是很复杂且烦人的。为了在不影响计算结果的情况下简化工作，聪明的天文学家想方设法在牛顿力学的框架下推导一些重要的广义相对论性的物理量，这种近似方法是一种弱场低速情况下的近似，正式名称是Post-Newtonian expansions（后牛顿引力近似）。

下面我将以后牛顿引力近似在黑洞吸积中的应用为例，做一些简单介绍。

首先我们需要知道，除了视界半径（ $r_{g}$ ）之外，黑洞吸积中还有一个很重要的半径：最内稳定圆轨道半径（ $r_{ms}$ ）。我们知道，黑洞吸积盘是由围绕黑洞做圆周运动的气体组成的，且吸积盘中存在角动量转移，质量会从盘外侧转移到盘内侧。这个过程会一直持续到吸积物质到达吸积盘内边界。但是由于黑洞自身的时空性质束缚了吸积盘的内边界，因此当吸积物质靠近黑洞到一定距离时，稳定的圆轨道将不会存在。而正好保持有稳定圆轨道的位置，就是黑洞吸积的最内稳定圆轨道半径，它决定了盘的内边缘并决定了依赖于这个半径的能量释放效率 $\eta$ 。讲道理 $r_{ms}$ 和 $\eta$ 都需要通过广义相对论来求得，但实际上在史瓦西度规下，我们可以通过牛顿类比来得到。

我们考虑一个绕无自旋黑洞（史瓦西黑洞）转动的单位质量的粒子。通过牛顿类比，粒子的能量积分为

$E_{N}=T+U$ ①

其中 $T=\frac{1}{2}v_{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2r^{2}}$ 为动能， $U=-\frac{GM}{r}(1+\frac{l^{2}}{c^{2}r^{2}})$ 为势能， $E_{N}=\frac{1}{2}(\frac{E^{2}}{c^{2}}-c^{2})$ 是非相对论性能量，为相对论性能量（包括静能）， $v_{r}$ 为径向速度，为粒子角动量。在远离黑洞的地方粒子可以看做自由粒子，对于自由粒子来说， $\frac{E^{2}-c^{4}}{c^{2}}$ 是动量的平方。

因此，能量积分变为

$\frac{1}{2}(\frac{dr}{dt})^{2}-\frac{GM}{r}(1+\frac{l^{2}}{c^{2}r^{2}})+\frac{l^{2}}{2r^{2}}=\frac{E^{2}-c^{4}}{c^{2}}$ ②

定义 $V_{e}=-\frac{GM}{r}(1+\frac{l^{2}}{c^{2}r^{2}})+\frac{l^{2}}{2r^{2}}$ 为有效势。

在之前对于最内稳定圆轨道的介绍中我们知道， $r=r_{ms}$ 时有效势取极值，即 $\frac{dV_{e}}{dr}=0$ ，当粒子角动量确定时

$l^{2}(r)=\frac{GMr^{2}}{r-\frac{3r_{g}}{2}}$ ③

$l^{2}(r)$ 为在半径为的圆轨道中运动粒子的比角动量。

当有效势取极小值时，圆轨道是稳定的。

图一（摘自《黑洞吸积盘》）：横坐标为半径（单位为史瓦西半径），纵坐标为有效势（单位为光速平方），不同的线对应不同的角动量（单位为史瓦西半径乘以光速）。

在牛顿力学中，由于离心势 $\frac{l^{2}}{2r^{2}}$ 以 $\frac{1}{r^{2}}$ 向内增长，在半径较小的区域会超过正比于 $\frac{1}{r}$ 的引力势，因此有效势总存在一个极小值。由于 $V_{e}=-\frac{GM}{r}(1+\frac{l^{2}}{c^{2}r^{2}})+\frac{l^{2}}{2r^{2}}$ ，对于较小的半径，引力势的变化率为 $\frac{1}{r^{3}}$ 。这也就意味着当角动量小于一定值且圆轨道半径小于一定值时，离心力将无法对抗引力，也就是之前我们说的最内稳定圆轨道的定义。

由图一，我们以 $l=\sqrt{3}r_{g}c$ 的数据为例，可以知道 $r_{ms}\approx 3r_{g}$ ， $V_{e}=-\frac{c^{2}}{18}$ 。因此由方程②，得 $E=\sqrt{\frac{8}{9}}c^{2}$ ，因此

$E_{b}=c^{2}-\sqrt{\frac{8}{9}}c^{2}\approx0.0572c^{2}$ ④

定义 $E_{b}$ 为束缚能。在之前的黑洞吸积理论简介一文中我们做过类似计算，因此我们可以理解为 $\eta=0.0572$ 。

介绍完牛顿类比的简单应用之后，我们引入一个非常重要的工具：伪牛顿势。这个工具最早是由Bohdan Paczynski和Paul Wiita在1980年为了模拟广义相对论的效应提出来的，用来代替牛顿势 $V_{N}=-\frac{GM}{R}$ ,具体形式为 $V_{PN}=-\frac{GM}{R-r_{g}}$ ，其中为粒子距原点的距离。

Paczyński–Wiita potential（简称PN）是目前黑洞吸积中解析研究和数值模拟工作中应用最多的史瓦西度规下的伪牛顿势。在 $r\geq r_{ms}$ 时，误差在 $10\%\sim20\%$ 左右。

图二（摘自《黑洞吸积盘》）：Paczyński–Wiita potential为PN，牛顿势为N，广义相对论情形为GR。横坐标为半径，总坐标为有效势。

由图二我们可以看出Paczyński–Wiita potential在一般情况下可以给出足够准确的结果。

通过以上介绍，我们可以看出伪牛顿势（特别是Paczyński–Wiita potential）可以很好的描述史瓦西黑洞的动力学性质，这也是目前绝大部分天体物理学家在做解析研究和数值模拟时最常使用的近似方法，在引力波和黑洞吸积的相关研究中体现的尤为明显。。

最后，前段时间也有天体物理学家准备在黑洞吸积中考虑广义相对论效应（普林斯顿大学James Stone研究组专门开发了广义相对论框架下的磁流体数值模拟软件Athena++），主要原因就在于后牛顿引力近似的局限性：在靠近黑洞视界半径附近会出现较大误差，且无法解释自旋黑洞（克尔黑洞）的强大引力场。

参考文献：

[1].加藤正二. 黑洞吸积盘[M]. 科学出版社, 2016.

[2].Paczyński-Wiita potential

P.S.由于下周五我去武汉找同学玩，所以停更一周。

P.P.S.封面图取自Srinivasa Ramanujan的个人传记电影《知无涯者》。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：不拿诺奖不改名

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