甄姬洛神后闪电判定是否更容易命中？

你的解法确实有问题，问题是在不该求期望的时候求了期望。具体来说，假设洛神判定一共成功了Y张黑牌，其中Z张牌为闪电判定牌，那么之后经过一张红牌判定失败后，下一张判定闪电成功的条件概率(已知Y，Z)是

,

所以判定命中的概率是条件概率的期望，也就是

.

而你给出的是

。

直观上想，你的做法求的概率是，假设我们有大量同样配置（即红牌、黑牌和闪电判定牌数量相同）的独立牌堆，对每堆牌作洛神判定，然后把所有牌堆的所有剩下的牌放在一起，从中抽出一张作闪电判定，判定成功的概率。与我们希望得到的概率相比，这种取闪电判定牌的方法是，在所有牌堆所有剩下的牌混在一起之后，每张剩余的牌取到的概率是相同的，此概率与某一次牌堆剩余几张牌无关。而实际上，如果某一次洛神判定成功越多，牌堆剩余张数就越少，所以每张牌被取到的概率会变大。而这恰恰是闪电判定成功（条件）概率较小的情况。所以和你的计算相比，实际判定成功的期望会小一些。

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呃 经题主提醒，发现光说错误了，没说该怎么做。。。

首先最直接的方法：已经知道要算 了，那就算呗。通过先求对Y的条件期望还可以简化一下，因为 是显然的。所以有

.

然后算Y的分布，按部就班求期望，总是可以算出来的。

然而还有一种更巧妙一些的方法。一共有三种牌：黑色-闪电判定牌，黑色-非闪电判定牌，和红色牌。为了更方便描述和理解，把这个问题用概率论经典语言--抓球重新描述一遍：现在有n个红球，x个黄球和m-x个黑球排成一列。问第一个红球后面跟着的是一个黄球的概率。

首先，我们把列尾和列头接起来，这样这一列球就变成了一圈球。同时由对称性，"第一个红球"也就变成了这圈球中的任意红球。一个任意红球的下一个球(比如取顺时针定向)是黄球的概率就是从除去这个红球剩下的所有m+n-1个球里取一个黄球的概率，因此是x/(m+n-1)。

然而这并不是最后的答案，因为"第一个红球"和任意红球其实还有一个微小的差别：在没有把列头和列尾接到一起的时候，列尾的红球是没有"下一个球"的，而当我们考虑圆圈的时候，列尾的下一个球就回到了列头。所以我们的计算只在选出的那个红球不恰好在列尾时成立。这个事件发生的概率为m+n-1/m+n，并且与刚才算的那个事件（任取一红球在圆圈上的下一个球是黄球）独立。（独立性可以这么想：我们先在圆圈上排列好所有的球，选好红球，然后再随机切一刀把圆圈切成一列，那么这一刀切在哪里和球的排列是完全无关的。）

因此最后的答案是这两个概率的乘积： . 甄姬的洛神判定不影响闪电判定的概率。

结果是如此简单，所以我怀疑还有更好的解释方式。期待大牛出现。

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更新一下。阿朱在评论区指出，上面的分析没有涉及到牌堆抽完重新洗牌的情况。题主已经考虑这一问题，并限定情况为红牌数至少为2，所以这种情况不会发生。然而看一看这种情况究竟会怎么样还是挺有意思的。具体来讲"第一张红牌后面是一张闪电判定牌"这个描述已经假设了两件事情: 1. "第一张红牌"存在；2. "第一张红牌后面的牌"存在。在实际中，大部分情况下这两点是有保证的，然而不排除以下两种情况：

1. "第一张红牌"不存在：牌堆中剩余的牌均为黑牌。此时不洛神直接判定闪电成功的概率是"牌堆中的闪电判定牌数/牌堆总牌数"，全部洛神之后重新洗牌，继续洛神直到出现红牌，然后判定闪电，成功的概率是"新牌堆中的闪电判定牌数/新牌堆总牌数"。所以哪个高完全取决于新旧两个牌堆的比较(废话)。
2. 牌堆中只有一张红牌。这时候有一定的概率这张红牌是牌堆的最后一张。此时洛神结束，重新洗牌，闪电判定牌为新牌堆第一张。在上面的分析中，这种情况是被算成闪电未中的，因为"第一张红牌后面是一张闪电判定牌"命题不成立。算上新牌堆之后，如果新牌堆至少有一张闪电判定牌，那么和上面的分析比，就多了一个非0的闪电判定的成功的概率。这样合在一起，牌堆只有一张红牌的情况下，洛神后中闪电的概率会稍有增大。

顺便说一下，这道题还有一个用停时定理的做法，然而需要的准备知识比较多。学过随机过程鞅论里面的停时定理的，可以想一想怎么做。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：Yves S

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