经典网文分享: 你见过最巧妙的物理推导是什么？

举个容易读懂的栗子,不是什么最巧妙，但也挺有趣：

从万有引力定律推出宇宙学方程

宇宙学基本方程，一般是在罗伯逊-沃克度规下计算爱因斯坦方程得到，根据这个方程可以预测宇宙到底是膨胀，收缩还是稳定。这当然是正确步骤，但对于没学过广义相对论的小伙伴会觉得以上说的都是什么鬼？实际上，从牛顿万有引力定律出发，可以出乎意料地得到这个方程，并计算出宇宙命运的所有重要结论。

假设你是一个1920年代完全不懂广义相对论的"经典宇宙学家"，然后你从一个叫哈勃的天文学家那里听说他发现星系彼此远离，并且宇宙膨胀可能性，所以你试图用已有的知识来理解这一切，你的步骤如下：

1）既然宇宙是膨胀的，那也就是说今天的物理距离，会随时间有一个尺度的增加。于是你引入了尺度因子的概念，即如果现在物理长度为1的话，那么其它时候取值为 $a$ （比现在早的时候 $a<1$ ,比现在晚的时候 $a>1$ ）。显然， $a$ 依赖于时间（也就是 $a(t)$ ）并能描述宇宙的尺度变化。

2)假设宇宙在大尺度上是均匀的，那么球对称性的宇宙物质运动只受球体内物质的引力作用，而与外面物体无关。考虑一个质量为 $m$ 的点粒子在一个球心O，半径为 $r$ ，质量为 $M$ 的物体表面运动，那么由牛顿力学

$ma=m\frac{d^2r}{d^2t}=-\frac{GMm}{r^2}$

3) 根据以上公式，点粒子的质量 $m$ 约掉后，等式两边同时乘上 $\dot{r}$ ( $\equiv \frac{dr}{dt}$ ),就得到

$\frac{d}{dt}\Big( \frac{\dot{r}^2}{2} \Big)=\frac{d}{dt}\Big(\frac{GM}{r}\Big)$

等式两边同时积分，就得到

$\dot{r}^2=\frac{2GM}{r}+C=\frac{8\pi G}{3}\rho r^2+C$

注意这里 $\rho$ 是球体内物质的密度，并利用了球体体积公式，C是积分常数。

既然宇宙是膨胀的，那么现在时刻，距离为 $r_0$ 的半径，其他时刻距离就是 $r(t)=a(t)r_0$ ,把它代入到上面的方程中，就得到了

$\dot{a}^2+K=\frac{8\pi G}{3}\rho a^2$ (其中 $K=-\frac{C}{r_0^2}$ ，是个未定的常数)

定义哈勃参数

$H\equiv\frac{\dot{a}}{a}$

我们就有

$H^2+\frac{K}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho$

这就是著名的弗里德曼方程，注意方程左边是描述宇宙尺度变化的几何效应，方程右边则和具体物质相关。我们没有用广义相对论！！

以上推导对不对？当然是错。。是具有启发性的。现在你完全可以把推导步骤忘掉，只观察弗里德曼方程本身就可以了。用这个方程，你能研究些什么？

首先，宇宙膨胀完全可以作为弗里德曼方程的一个解而存在，即可以允许 $\dot{a}>0$ 的解存在。

其次，一般宇宙的物质的密度都随着膨胀而减小，比如非相对论的重粒子，其密度随 $a$ 的增加呈 $a^{-3}$ 而减小。代到方程中你会发现，宇宙尽管可以彭展（ $\dot{a}>0$ ）,但其膨胀速度是减少的（ $\ddot{a}<0$ ）。也即是说尽管物质引力可能暂时阻止宇宙膨胀，但可以减慢膨胀最终让其停下来直至收缩。但是假如，我是说假如存在某种奇怪的能量，其密度一直保持不变，和宇宙膨胀没关系。也就是方程右边是一个恒定的常量。我们干脆只考虑这一奇怪能量的贡献，而忽略其他物质贡献，并令 $K=0$ ,弗里德曼方程写为