经典网文分享: 一个可积函数乘以一个可积函数是否还是可积函数?

如果是闭区间上的黎曼可积函数，那么两个相乘的确是可积的。这一点在一般的书上都有，比如rudin的那本《数学分析原理》上就有。

如果是勒贝格可积（或者说一般测度空间上的积分），也就是我们定义 $\int_\Omega |f(x)|<+\infty$ 才算可积，那就不一定了。否则我们就不需要Holder's inequality. 一个简单的例子就是 $f=g=\frac{1}{\sqrt{x}} \quad\Omega=(0,1)$ . 这个时候，我们发现 $\int_\Omega |fg|=+\infty$ .

我们一般估计两个函数（勒贝格）积分的方法是 $\int_\Omega |fg |\leq \left(\int_\Omega |f|^p\right)^{1/p} \left(\int_\Omega |g|^q\right)^{1/q}$ .

其中 $1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}, p,q\geq 1$ . 这个式子也能直接用来证明黎曼可积的两个函数想乘也是黎曼可积的。因为（闭区间上）黎曼可积的函数一定有界(也一定勒贝格可积)。这里不要和一般的瑕积分（广义积分）相混淆，因此 $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_\infty \|g\|_1$ . 另一方，一个有界函数在闭区间上黎曼可积当且仅当其几乎处处连续。这样，你也可以保证 $fg$ 也是黎曼可积的。