一个 10*10 的正方形里，最多可以放多少个直径为 1 的圆？

可以放106个, 你可能会觉得, 一个框只能放一个怎么突破100个呢?

试着突破定势思维.

想想一个硬币最多可以和几个硬币相邻?

六个, 如果一个格子占一个才几个?

四个, 所以有大量的空间被浪费了.

这样, 就一共有105个了.

然后聪明的你发现还有点空隙, 能不能利用起来呢?

当然是可以的

这样安排就又多了个10排的, 神奇的又插了一个进去.

那么, 还能不能再用什么神奇的方法再搞一个进去呢?

不可能了...

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但是如何在数学上证明不能放下107个圆呢? 有两种思路

• 1.把正方形看做一个框, 把圆看成光滑的小球, 然后你取一个球, 使劲压, 看看能不能压进去.

当然现实中是没有绝对光滑小球的, 你实际没法做这个实验.

但数学上可以定义小球与小球, 小球与方框之间的势能, 然后用各种算法降低势能, 看看最小值能不能降到零即可.

• 2.取n个小球, 然后放进一个方框, 方框使劲收缩, 收缩到无法再收缩为止.

最终结果就是最优平面圆堆积.这种方法比上一种要复杂一些

但是数学家一般喜欢研究第二个, 因为至少对于正方形等圆嵌入来说, 解决了第二个也就解决了第一个.对于矩形才会用第一种方法.

但这个思路说得轻巧, 可数学上怎么定义使劲收缩呢?

Talk is cheap, Show me the code!

Formulation Space Search for two-dimensional Packing Problems

这本书整理了这方面的研究成果, 第72页讨论了圆塞入正方形, 后面还有更难的不相等图形塞进不规则边框

书中没给结果, 算法都是伪代码, 不用完全看懂公式也能复现.

运算时间要有心理准备, 一次差不多要跑半个小时.

计算结果表明106个直径为1的圆能放进边长9.996960840529825的正方形

但是如果要放置107个直径为1的圆就要边长10.09975184413619的正方形

所以确实10*10的正方形只能塞下106个直径为1的圆.

注意有轻微的形变, 比如右下那个没对齐, 上边框第五个圆脱离了边框, 但是只有0.4%, 整体上和原来差不多.

附全部的绘图代码:

  t1=Flatten[Table[{i,j},{i,1,19,2},{j,1,19,2}],1];  Append[Circle/@t1,          {EdgeForm[Dashed],RGBColor[0,0,0,0],Rectangle[{0,0},{20,20}]}  ]//Graphics  f10=Circle/@Table[{i,#},{i,1,19,2}]&;  f9=Circle/@Table[{i,#},{i,2,18,2}]&;  Join[          Table[{f10[1+(i-1)Sqrt[3]]},{i,1,11,2}],          Table[{f9[1+i Sqrt[3]]},{i,1,10,2}],          {EdgeForm[Dashed],RGBColor[0,0,0,0],Rectangle[{0,0},{20,20}]}  ]//Graphics  Join[          Table[{f10[1+(i-1)Sqrt[3]]},{i,1,5,2}],          Table[{f9[1+i Sqrt[3]]},{i,1,4,2}],          Table[{f10[4Sqrt[3]+3+(i-1)Sqrt[3]]},{i,1,5,2}],          Table[{f9[4Sqrt[3]+3+i Sqrt[3]]},{i,1,4,2}],          {f10[19]},          {EdgeForm[Dashed],RGBColor[0,0,0,0],Rectangle[{0,0},{20,20}]}  ]//Graphics  pts={          {-8.99696,-8.99696},{-8.99696,-5.39534},{-8.99696,-1.93124},{-8.99696,0.0687576},{-8.99696,3.53286},          {-8.99696,6.99696},{-8.99696,8.99696},{-8.03644,-7.23071},{-7.99696,-3.66329},{-7.99696,1.80081},          {-7.99696,5.26491},{-7.,-5.50556},{-6.99713,-8.97132},{-6.99696,-1.93124},{-6.99696,0.0687576},          {-6.99696,3.53286},{-6.99696,6.99696},{-6.99696,8.99696},{-6.,-7.23761},{-6.,-3.77351},{-5.99696,1.80081},          {-5.99696,5.26491},{-5.,-5.50556},{-5.,-2.04146},{-5.,-0.0414576},{-4.99729,-8.99696},{-4.99696,3.53286},          {-4.99696,6.99696},{-4.99696,8.99696},{-4.,-7.23961},{-4.,-3.77351},{-4.,1.69059},{-3.99696,5.26491},          {-3.,-5.50556},{-3.,-2.04146},{-3.,-0.0414576},{-3.,3.42264},{-2.99746,-8.97113},{-2.99696,6.99696},          {-2.99696,8.99696},{-2.,-7.23761},{-2.,-3.77351},{-2.,1.69059},{-2.,5.15469},{-1.,-5.50556},{-1.,-2.04146},          {-1.,-0.0414576},{-1.,3.42264},{-1.,6.88675},{-1.,8.88675},{-0.997623,-8.99696},{0.,-7.23961},{0.,-3.77351},          {0.,1.69059},{0.,5.15469},{0.996961,6.99696},{0.996961,8.99696},{1.,-5.50556},{1.,-2.04146},{1.,-0.0414576},          {1.,3.42264},{1.00221,-8.97093},{1.99696,5.26491},{2.,-7.23761},{2.,-3.77351},{2.,1.69059},{2.99696,3.53286},          {2.99696,6.99696},{2.99696,8.99696},{3.,-5.50556},{3.,-2.04146},{3.,-0.0414576},{3.00204,-8.99696},          {3.99696,1.80081},{3.99696,5.26491},{4.,-7.23961},{4.,-3.77351},{4.99696,-1.93124},{4.99696,0.0687576},          {4.99696,3.53286},{4.99696,6.99696},{4.99696,8.99696},{5.,-5.50556},{5.00187,-8.97074},{5.99696,-3.66329},          {5.99696,1.80081},{5.99696,5.26491},{6.,-7.23761},{6.99696,-5.39534},{6.99696,-1.93124},{6.99696,0.0687576},          {6.99696,3.53286},{6.99696,6.99696},{6.99696,8.99696},{7.00169,-8.99696},{7.99696,-7.12739},{7.99696,-3.66329},          {7.99696,1.80081},{7.99696,5.26491},{8.99696,-8.85945},{8.99696,-5.39534},{8.99696,-1.93124},{8.99696,0.0687576},          {8.99696,3.53286},{8.99696,6.99696},{8.99696,8.99696}  };  Echo[m = Max@First@Transpose@pts + 1, "Min: "];  Append[    Circle /@ pts,    {EdgeForm[Dashed], RGBColor[0, 0, 0, 0], Rectangle[{-m, -m}, {m, m}]}    ] // Graphics    

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：酱紫君

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