经典网文分享: 统计力学Ⅱ——1.集体行为，从粒子到场

I. A 引言

这一部分的目的是介绍统计力学原理，它为微观物理学的基本定律和宏观尺度下的观测现象提供了桥梁。

微观物理学的特征是含有大量的自由度：例如，一团气体中粒子的位置和动量 $(q_i,p_i)$ ，磁体的自旋构型{ $\sigma _i$ }，或正则系综的占有数{ni}。这些自由度的演化是由基本的哈密顿量 H 所控制。

宏观物理学通常由一些平衡态变量来描述，例如压强P，体积V，温度T，热能E，熵S，等等，它们服从热力学定律。

统计力学提供了两个领域之间的概率连接。例如，在一个温度T的正则系综中，系统的每一个微观状态都对应概率 $p(i) =e^{ -\beta H(i) }/Z$ ，其中 $\beta= 1/(k_BT)$ 。总概率是归一化的，配分函数Z(T)必须等于 $Z=\sum _i e^{ -\beta H(i) }$ 。然后从自由能 $F = k_BT lnZ$ 中提取出系统的宏观状态的热力学信息。

上述程序实际上只适用于有限数量的简单系统，大部分描述的是粒子的非相互作用集合，其中的配分函数可以精确计算。一些相互作用效应可以使用精确求解的微扰法处理。然而，即使对于非理想气体的相对简单的情况，微扰法也会在凝结点附近失效。另一方面，正是由于相互作用而产生的大量的新相和特性使宏观物理学变得有趣。特别是，我们希望解决以下问题:

在热力学极限(N→∞)下，强的相互作用导致新相。我们研究了一些细节上最简单的液体-气体转变的例子，但实际上还有许多其他有趣的相，如固体，液晶，磁体，超导体等。从粒子的相互作用到体系的宏观行为，将如何描述？描述这些相的宏观热力学量是什么?
系统特有的低能量激发是什么?在固体或超流体氦的声子情况下，低能激发是典型的集体模式，包括许多微观自由度(粒子)的协调运动。这些模式很容易受到热扰动的影响，并通过散射实验来探测。

粒子间相互作用的微观哈密顿量通常是相当复杂的，这使得对问题的初始粒子处理方法变得棘手。然而，在许多这样的系统中，它们的宏观行为有许多共同特征，这些特征仍然可以通过统计力学的方法得到有效研究。尽管在微观尺度上，粒子之间的相互作用是非常不同的，人们可能希望，对足够多的粒子进行平均，会得到更简洁的描述。(在同样的意义上，中心极限定理保证了许多随机变量的和是简单的高斯分布。)在许多情况下，这种期望确实是合理的，因为在长波长和长时间内，相互作用系统的集体行为变得更加简单。(这有时被称为流体动力学极限，通过类比于流体的粒子 Navier-Stokes 方程。)与这些长度和时间尺度相适应的平均变量不再是粒子自由度的离散集合，而是缓慢变化的连续场。例如，在Navier-Stokes方程中出现的速度场与流体中单个粒子的速度是完全不同的。因此，在交互系统中研究集体行为的有效方法是场的统计力学。

我们的目的是

•目标：学习描述和分类物质的状态，它们的集体属性，以及从一个相到另一个相的转换机制。

•工具：经典场论的方法;使用对称，微扰理论，以及重正化群(RG)方法处理非线性问题。

I. B 声子和弹性

弹性理论是场论中最简单的例子之一。我们将证明弹性介质的某些性质是如何得到的，无论是从第一原理开始的复杂方法，还是用更简单的对称性方法来研究问题。因此，它代表了从现象学方法中可以学到多少东西的一个原型。计算固体低温热容的问题可以用从头算和现象学方法来研究。

(i)从头算(粒子)方法:从第一原理计算固体材料的热容是相当复杂的。我们简要介绍一些步骤：

•从头算的起点是关于电子和离子的薛定谔方程，只能用密度泛函形式来表示。相反，我们从一个多体势开始，为离子坐标 $V(\vec q_1， \vec q_2，,,, ， \vec q_N)$ ，这本身就是量子力学处理的结果。

•在零温的理想晶格位置是通过最小化V来实现的，通常形成一个晶格 $\vec q(ℓ,m,n)=(ℓa+ mb + nc]≡\vec q^∗_r$ ，其中 r = {ℓ,m,n }是一个三元组整数,,a,b,c是单位向量。

•设定 $\vec q_\vec r = \vec q^*_\vec r + \vec u(\vec r)$ 时，理想位置的小波动(由于温度或量子效应)。引起势能
的变化量为

$V= V^*+ 1/2\sum _{r,r',\alpha,\beta } \frac {\partial^2V}{\partial q_{r,\alpha }\partial q_{r',\beta }} u_\alpha (r) u_\beta(r') + O(u 3 V) \\$ 1.1

(V的一阶导数在平衡位置为0)微小位移下完整哈密顿量，只需将动能项 $\sum _{r,\alpha} p_\alpha (r)^2/2m$ 加到eq.(I.1)。

•下一步是通过对角化导数矩阵找到振动(声子)的简正模式。由于基态构型是规则格子，所以这些矩阵元必须满足平移和旋转对称性。例如，它们只能依赖于离子的位置向量 r 和 r' 的位置向量差，即

$\frac {\partial^2V}{\partial q_{r,\alpha }\partial q_{r',\beta }} =K_{\alpha ,\beta}(\vec r -\vec r') \\$ 1.2

平移对称使得我们至少可以用傅里叶变换对汉密尔顿函数进行部分对角化，

$u_\alpha (r)=\sum _\vec k ^l\frac{e^{ikr}}{\sqrt{N}} u_\alpha (\vec k)\\$ 1.3

(只有第一个布里渊区内的波矢量k对求和有贡献。)哈密顿量为

$H=V^*+ 1/2\sum _{k,\alpha \beta }[ |p (~ k)| ^2 /m+K_{\alpha ,\beta} (\vec k) u_\alpha (\vec k)u_\beta (\vec k)^*]\\$ 1.4

而傅里叶变换矩阵的精确形式 $K_{αβ}(\vec k)$ 是由微观相互作用决定的，它必须遵从底层晶体点群的对称性。我们假设，对角化3*3矩阵特征值 ${\kappa _\alpha (k)}$ ，哈密顿量的二次部分现在分解为一组独立的(非相互作用的)谐振子。

•最后一步对每一个谐振子量子化,得到

$H = V^∗+\sum _{k,\alpha}hω_{α}(\vec k) (n_α(~ k)+ 1/2 )\\$ 1.5

其中 $ω_{α}(\vec k)=\sqrt{κ_α(\vec k)/ m}$ 、{ ${ n_α(\vec k)}$ }是占有数集合。

温度T下的平均能量为

$E(T)= V^∗+ \sum _{k,\alpha} hω_α(\vec k)(<n_α(\vec k)>+ 1/2),\\$ I.6

我们从统计力学基础知道平均占有数是由 $n_α(\vec k)= 1 /[ exp(\hbar \omega /k_BT)−1]$ 给出。显然，E(T)和其他宏观函数有复杂的行为，依赖于 ${\kappa _\alpha (k)}$ 的微观细节。这些函数有什么特征(例如，T 趋于0的函数依赖)，独立于微观特征吗?

以一维线性链来说明

I.1一维链的位移和粗粒化

考虑一维粒子链，被限制在一维运动。粒子链的势能可表示为

$V = V^* + K_1 /2 \sum_n (u_{n+1}-u_n)^ 2 + K_2 /2 \sum_n (u_{n+2}-u_n)^ 2 +··.\\$ I.7

分解简正模式得到

$u_n=\int_{-\pi/a}^{-\pi/a} dk/2\pi *e^{−ikna} u(k),其中u(k)=a\sum_n e^{ ikna }u_n$ I.8

(注意eq. (I.3)的归一化的差异。)由此得到势能为

$∗V = V^* + K_1 /2 \sum_n \int_{-\pi/a}^{-\pi/a}dk/2\pi dk'/2\pi (e^{ika}-1)(e^{ik'a}-1) e^{-i(k+k')na} u(k)(k′) .\\$ I.9

使用 $\sum _n e^{-i(k + k′)na} =δ(k + k′)2π/ a$ ,并且 $u(−k)= u^∗(k)$ ,我们得到

$V = V^* + K_1 /2a \int_{-\pi/a}^{-\pi/a}dk/2\pi [K_1(2-2cos2ka) K_2(2-2cos2ka)+...] |u(k)|^2 .\\$ 1.10

简正模式的振动频率由 $\omega(k) =\sqrt{[2K_1(1-cos2ka) +...]/m}$ 给出

如下图所示。在k趋于0的极限下， $\omega(k)趋于|k|*v$ "声速"v等于 $\sqrt{\bar K /m}$ 。

对于一维N粒子链，这些激发态的内能为

$V = V^* + Na \int_{-\pi/a}^{-\pi/a}dk/2\pi \frac{\hbar \omega(k)}{e^{\hbar \omega(k)/k_BT}-1} .\\$ I.11

当T趋于0时，只有h (k) < kBT的模式是激发态。因此，只有激发谱 k→0 部分是重要的，E(T)化简为

$V = V^* + Na \int_{-\pi/a}^{-\pi/a}dk/2\pi \frac{\hbar v|k|}{e^{\hbar v|k|/k_BT}-1} = V^* + Na \frac{\pi ^2}{6\hbar v}(k_BT)^2.\\$ I.12

注:

(1)激发能的全谱为

$K(k)/2= K1(1−cos ka)+K2(1−cos2 ka)+ ···⇒Kk^2/2... k→0\\$ I.13

进一步近邻相互作用将改变声速，而不再是 k→0 时的色散关系。

(2)热容C(T) = dE/dT与T成正比，这具有普适性，即非物质特性，且与原子间相互作用的选择无关。

(3)能量的T^2依赖性源于k→ 0(或波长区域无穷大)的激发，即包含大量粒子的集体模式。这正是统计考虑有意义的模式。

(ii)唯像法：我们现在概述了同一问题的介观方法，很容易推广到高维。在低温条件下，典型激发态的波长为 $\lambda>\lambda (T)\approx (hv/kT) \gg a$ ，其中a为晶格间距。我们可以通过称为粗粒化的平均过程来消除不重要的短波模式。这个想法是考虑在一个点，一个间隔 a≪dx≪λ(T) 周围内(图I.1)。在 dx 中所有的位移 u 都近似相等，我们可以定义一个平均形变场 u(x) 。动能与密度有关 $ρ = m/a ....由... ρ \int dx \dot u^2(x)/2.$ ，u(x)被视为一个连续函数，但它不会比晶格间距 a 更小。

对于一维链来说，最一般的势能函数V[u]是什么?我们不太了解的形式V(u),但我们可以使用一般原则来构建：

位置：在大多数情况下,粒子之间的相互作用是短程的，我们定义在点 x 的势能密度Φ， $V[u]=\int dxΦ( u(x),du/dx,...)$ 。当然，通过包括所有的导数，我们也可以描述长时间的相互作用。在这种情况下，"局域性"一词意味着较高的导数项不那么显著。

平移对称：链的均匀平移不改变其内能，因此能量密度必须满足约束条件 $Φ[u(x)+c]= Φu(x)$ 。这意味着 Φ 不直接依赖于u(x)，而只依赖于其导数 $du/dx, d^2u/dx^2$

稳定性：由于波动是围绕平衡解的，所以在u或它的导数中没有线性项。(稳定性进一步要求V[u]的二次项必须是正的。)

与这些约束相一致的最普遍的可能性是。

$V[u]=\int dx[K/2 \frac {∂u}{∂x}+ L/2(\frac {∂u}{∂x})^2 + ...+M (\frac {∂u}{∂x})^3+...]\\$ I.14

经过傅里叶变换

$V[u]=\int dk/2\pi [\frac {K}{2} k^2+ \frac {L}{2} k^4 + ...+...]u^2(k) \\-iM\int \frac { dk1}{2\pi} \frac {dk2}{2\pi} k1k2(k1 +k2)u(k1)u(k2)u(−k1 −k2)+.\\$ I.15

k→ 0时，高阶梯度项(如L)变得不重要。此外，对于小变形，我们可忽略 u(如M) 的二阶项，加上动能，我们得到了一个简单的一维场理论，哈密顿量为

$H=\frac{\rho}{2}\int [(\frac{\partial u}{\partial t})^2+v^2(\frac{\partial u}{\partial x})^2]dx \\$ 1.16

这是一维弹性(弦)理论，与物质相关的常数 $\rho$ ，和 $v = \sqrt {K/\rho}$ 。虽然唯像方法不能告诉我们这些参数的值，但它确表明，低能激发能满足 $\omega =v|k|$ 的色散关系。

我们现在可以将弦的弹性理论推广到任意维d：离散粒子变形 $\vec u_n$ 粗粒化到一个连续变形场 $\vec u(\vec x)$ 。对于各向同性材料，势能V[~u]，在转动和平移下都必须是不变的，而 $u_α(\vec x) → R_{αβ}u_β(~x)+ c_α,$ R是一个旋转矩阵。局部量对称应变场为

$u_{α\beta}(\vec x)=\frac{1}{2}[\frac{\partial u_α}{\partial x_\beta}+\frac{\partial u_\beta}{\partial x_α}]dx \\$ 1.17

对重复的指标求和可以保证结果是旋转不变的。

$H=\sum _{\alpha,\beta}\int [\frac{\rho}{2}\frac{\partial u_\alpha}{\partial t}+\frac {2\mu}{2}u_{\alpha,\beta u_{\alpha,\beta}}+\frac {2\lambda}{2}u_{\alpha,\alpha u_{\beta,\beta}}] d^d\vec x\\$ 1.18

这个旋转不变性在傅里叶基底中是更清晰的，

$u(\vec k)=\int e^{i\vec k.\vec x}\vec u(\vec x)d^d \vec x$

$H=\sum _{\alpha,\beta}\int [\frac{\rho}{2}|\dot u(\vec k)|^2+\frac {\mu}{2}k^2|u(\vec k)|^2+\frac {\mu +\lambda}{2}(\vec k,u(\vec k))^2] \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\\$ 1.19

显然只包含旋转不变量 $\vec k ·\vec k， \vec u ·\vec u，和\vec k · \vec u$ 。

进一步将哈密顿分解为两种类型的声学模式:

纵向模式 $v_ℓ=\sqrt{(2µ+λ)/ρ}$ ,和横向模式 $v_ℓ=\sqrt{µ/ρ}$

可以得到内能为

$E(t)=L^d\int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} [\frac{\hbar v_l k}{exp(\hbar v_lk / k_BT)-1}+\frac{(d-1)\hbar v_t k}{exp(\hbar v_t k / k_BT)-1}]≈A(vℓ,vt)L^d(kBT)^{d+1}\\$ 1.20