这篇文章已经在草稿箱里躺了大半年了,本来是放在下面这篇文章前面的内容。但当时觉得太啰嗦了就省去了。但写了这么多又舍不得删,就把这个半成品放到这里吧。
萨塔妮亚:从量子力学,到量子场论1,如何增加自由度:
我们在单粒子量子力学中其实就遇到过自由度增加的问题。不考虑自旋时,单粒子Hilbert space为: ,而自旋空间为 ( 维复矢空间)。那么对于考虑自旋的单粒子态,其Hilbert space为: ,即两个Hilbert space的张量积。
现在假设单粒子Hilbert space为 ,试问 个全同粒子的Hilbert space是什么?一个直接的回答是, 个 的张量积空间 。不过,这个空间显然太大了,我们知道粒子分为玻色子和费米子,当我们交换两个单粒子态时,只能出现对称和反对称两种情况。我们需要的全同粒子空间比n阶张量积空间要小。考虑到到单粒子态置换后的对称与反对称性,我们直接取对称张量空间和反对称张量空间即可,具体来说:
个全同费米子的Hilbert space为: ,多粒子态为 上的n-form;
个全同玻色子的Hilbert space为: ,多粒子态为 上的n阶对称张量。
2,Fock state:
假设单粒子Hilbert space 上的正交基底为: ,一般来讲它们是某个自伴算子的本征矢,对于单粒子的纯态。那么,试问相应的多粒子Hilbert space上的基底是怎样的呢?
(1)玻色子:答案是很简单的,就是几个基底做张量积,再做对称就好了啊。以三粒子态为例,基底 先做对称,再归一化,就是三粒子Hilbert space的基底了。不过,这样的物理意义不够明确,我们引入记号 来表示多粒子态,举例来说:
基底: 取对称并归一化后,记为:
基底: 取对称并归一化后,记为:
容易发现,记号 的物理意义是,处于纯态 的粒子态有 个,当然对于三粒子态来说: 。由此,我们就可以给出 个全同玻色子的Fock state为:
; 。
其中, 为 到 的投影。
(2)费米子:同理可得 个全同费米子的Fock state为:
; 。
这里需要注意的是,由于费米子满足泡利不相容原理,其多粒子态是用外积来构造的。form关于指标是反对称的,凡有重复指标者必为零,这对应了两个费米子不能处在相同的量子态上。
3,Fock space:
现在,我们考虑这样一个空间,它可以用来描述任意粒子数的粒子态,我们称之为Fock space。很显然,它可以通过多粒子Hilbert space之间的直和来构造,具体来说:
(1)玻色子Fock space: ,很显然这就是 关于 的张量代数模掉理想之后生成的对称代数。很显然这个空间是包含无穷多粒子的Hilbert space的,我们考虑其稠密子空间: ,其包含有限个粒子。故其上基底可以用Fock state表示为:
;且 。
很显然,Fock space也是Fock space 上的一组基底。
(2)费米子Fock space: ,很显然这就是 上的外代数了。其他的同玻色子Fock space一样,Fock state也可作为其上一组正交基。
4,产生湮灭算符:
如果我们肯定了 上的对称张量代数和外代数作为Fock space的话,那么数学上很自然的就可以定义各阶对称张量或form之间的联系。而这样做的物理意义也是很明确的,我们把 粒子态变为 粒子态,对应的物理上就产生了一个粒子,相应的变为 粒子态就是湮灭了一个粒子。下面,我们定义稠密子空间 上的产生湮灭算符,具体来说:
(1)玻色子:如果我们要产生一个粒子,那么很简单,再拿一个单粒子Hilbert space 和它们做张量积就OK了。例如: 。相应的,湮灭一个粒子,我们只要那一个单粒子态去做内积就可以了: 。
由此,考虑到态的归一化,我们定义:
产生算符: ;
湮灭算符为: ,注意这里 应保 。
可以验证他们满足对易关系:
; 。
其中 为原先Fock state中的粒子数。容易发现,这里的产生湮灭算符是依赖Hilbert space中矢量 的,如果我们选取 来定义产生湮灭算符,我们可以得到:
湮灭算符: ;
产生算符: ;
它们满足的对易关系就是我们通常熟悉的对易关系:
; ;这里记 ; 。
一个很显然的结果是,如果我们拿 ,去作用,我们会得到整个Fock state的粒子数。故,我们称 为粒子数算符。
(2)费米子的思路同上:
湮灭算符: ;
产生算符: ;
湮灭算符做内积,产生算符做外积。
其满足反对易关系:
; ;
同上,产生湮灭算符依赖Hilbert space中矢量 ,若我们取 ,可以得到:
湮灭算符:
产生算符:
这里再次注意费米子满足泡利不相容原理,故 不能大于 。
这里的产生湮灭算符满足我们熟悉的反对易关系:
; 。
(图侵删)
来源:知乎 www.zhihu.com
作者:萨塔妮亚
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