经典网文分享: 多粒子态

这篇文章已经在草稿箱里躺了大半年了，本来是放在下面这篇文章前面的内容。但当时觉得太啰嗦了就省去了。但写了这么多又舍不得删，就把这个半成品放到这里吧。

1，如何增加自由度：

我们在单粒子量子力学中其实就遇到过自由度增加的问题。不考虑自旋时，单粒子Hilbert space为： $L^2\left( R^3,C \right)$ ，而自旋空间为 $V_{2s+1}$ （ $2s+1$ 维复矢空间）。那么对于考虑自旋的单粒子态，其Hilbert space为： $L^2(R^3,C)\otimes V_{2s+1}$ ，即两个Hilbert space的张量积。

现在假设单粒子Hilbert space为 $H$ ，试问 $n$ 个全同粒子的Hilbert space是什么？一个直接的回答是， $n$ 个 $H$ 的张量积空间 $\otimes^n H$ 。不过，这个空间显然太大了，我们知道粒子分为玻色子和费米子，当我们交换两个单粒子态时，只能出现对称和反对称两种情况。我们需要的全同粒子空间比n阶张量积空间要小。考虑到到单粒子态置换后的对称与反对称性，我们直接取对称张量空间和反对称张量空间即可，具体来说：

$n$ 个全同费米子的Hilbert space为： $\wedge^n H$ ，多粒子态为 $H$ 上的n-form；

$n$ 个全同玻色子的Hilbert space为： $\circledS ^n H$ ，多粒子态为 $H$ 上的n阶对称张量。

2，Fock state：

假设单粒子Hilbert space $H$ 上的正交基底为： $\left\{ e_i,i=1,2,3... \right\}$ ，一般来讲它们是某个自伴算子的本征矢，对于单粒子的纯态。那么，试问相应的多粒子Hilbert space上的基底是怎样的呢？

（1）玻色子：答案是很简单的，就是几个基底做张量积，再做对称就好了啊。以三粒子态为例，基底 $\left\{ e_i\otimes e_j\otimes e_k;i,j,k=1,2,3... \right\}$ 先做对称，再归一化，就是三粒子Hilbert space的基底了。不过，这样的物理意义不够明确，我们引入记号 $|n_1,n_2,...\rangle$ 来表示多粒子态，举例来说：

基底： $e_1\otimes e_1\otimes e_4$ 取对称并归一化后，记为： $|2,0,0,1,0...\rangle$

基底： $e_2\otimes e_4\otimes e_4$ 取对称并归一化后，记为： $|0,2,0,1,0...\rangle$

容易发现，记号 $|n_1,n_2,...\rangle$ 的物理意义是，处于纯态 $e_i$ 的粒子态有 $n_i$ 个，当然对于三粒子态来说： $\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=3$ 。由此，我们就可以给出 $n$ 个全同玻色子的Fock state为：

$|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{\frac{n_1!n_2!...}{k!}}P_s\left( (\otimes^{n_1}e_1)(\otimes^{n_2}e_2)\otimes ...\right)$ ； $\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=n$ 。

其中， $P_s(e_1\otimes...\otimes e_n)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_n}{\left( e_{\sigma_{(1)}}\otimes...\otimes e_{\sigma_{(n)}} \right)}$ 为 $\otimes^n H$ 到 $\circledS ^n H$ 的投影。

（2）费米子：同理可得 $n$ 个全同费米子的Fock state为：

$|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{k!}e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_k}$ ； $\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=n$ 。

这里需要注意的是，由于费米子满足泡利不相容原理，其多粒子态是用外积来构造的。form关于指标是反对称的，凡有重复指标者必为零，这对应了两个费米子不能处在相同的量子态上。

3，Fock space：

现在，我们考虑这样一个空间，它可以用来描述任意粒子数的粒子态，我们称之为Fock space。很显然，它可以通过多粒子Hilbert space之间的直和来构造，具体来说：

（1）玻色子Fock space： $F_s(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \circledS^n H$ ，很显然这就是关于 $H$ 的张量代数模掉理想之后生成的对称代数。很显然这个空间是包含无穷多粒子的Hilbert space的，我们考虑其稠密子空间： $F_s^0(H)$ ，其包含有限个粒子。故其上基底可以用Fock state表示为：

$|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{\frac{n_1!n_2!...}{k!}}P_s\left( (\otimes^{n_1}e_1)(\otimes^{n_2}e_2)\otimes ...\right)$ ；且 $\sum n_i<\infty$ 。

很显然，Fock space也是Fock space $F_s(H)$ 上的一组基底。

（2）费米子Fock space： $F_a(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \wedge^n H$ ，很显然这就是 $H$ 上的外代数了。其他的同玻色子Fock space一样，Fock state也可作为其上一组正交基。

4，产生湮灭算符：

如果我们肯定了 $H$ 上的对称张量代数和外代数作为Fock space的话，那么数学上很自然的就可以定义各阶对称张量或form之间的联系。而这样做的物理意义也是很明确的，我们把 $n$ 粒子态变为 $n+1$ 粒子态，对应的物理上就产生了一个粒子，相应的变为 $n-1$ 粒子态就是湮灭了一个粒子。下面，我们定义稠密子空间 $F^0(H)$ 上的产生湮灭算符，具体来说：

（1）玻色子：如果我们要产生一个粒子，那么很简单，再拿一个单粒子Hilbert space $H$ 和它们做张量积就OK了。例如： $B(v)^{\dagger}(u_1\otimes... \otimes u_k)=v\otimes u_1\otimes... \otimes u_k$ 。相应的，湮灭一个粒子，我们只要那一个单粒子态去做内积就可以了： $B(v)(u_1\otimes... \otimes u_k)=\left( v,u_1 \right)u_2\otimes ... \otimes u_k$ 。

由此，考虑到态的归一化，我们定义：

产生算符： $a^{\dagger}(v)=P_sB(v)^{\dagger}\sqrt{N+1}=P_s\sqrt{N}B(v)^{\dagger}$ ；

湮灭算符为： $a(v)=B(v)\sqrt{N}=\sqrt{N+1}B(v)$ ，注意这里 $a(v)$ 应保 $F^0_s(H)$ 。

可以验证他们满足对易关系：

$[a(v),a(w)^{\dagger}]=(v,w)I$ ； $[a(v),a(w)]=[a(v)^{\dagger},a(w)^{\dagger}]=0$ 。

其中 $N$ 为原先Fock state中的粒子数。容易发现，这里的产生湮灭算符是依赖Hilbert space中矢量 $v\in H$ 的，如果我们选取 $e_i\in H$ 来定义产生湮灭算符，我们可以得到：

湮灭算符： $a(e_j)|n_1,...,n_j,...\rangle=\sqrt{n_j}|n_1,...,n_j-1,...\rangle$ ；

产生算符： $a(e_j)^{\dagger}|n_1,...,n_j,...\rangle=\sqrt{n_j+1}|n_1,...,n_j+1,...\rangle$ ；

它们满足的对易关系就是我们通常熟悉的对易关系：

$[a_j,a_k^{\dagger}]=\delta_{jk} I$ ； $[a_j,a_k]=[a_j^{\dagger},a_k^{\dagger}]=0$ ；这里记 $a(e_j)=a_j$ ； $a(e_j)^{\dagger}=a^{\dagger}_j$ 。

一个很显然的结果是，如果我们拿 $\sum a_j^{\dagger}a_j=N$ ，去作用，我们会得到整个Fock state的粒子数。故，我们称 $N$ 为粒子数算符。

（2）费米子的思路同上：

湮灭算符： $a(v)(u_1\wedge...\wedge u_k)=\frac{1}{\sqrt{k}}\sum_{j=1}^{k}(-1)^j{\left( v,u_j \right)u_1 \wedge...u_j...\wedge u_k}$ ；

产生算符： $a(v)^{\dagger}(u_1\wedge...\wedge u_k)=\sqrt{k+1 } v \wedge u_1 \wedge...u_j...\wedge u_k$ ；

湮灭算符做内积，产生算符做外积。

其满足反对易关系：

$\left\{a(v),a(w)^{\dagger} \right\}=(v,w)I$ ； $\left\{ a(v),a(w) \right\}=\left\{ a(v)^{\dagger},a(w)^{\dagger} \right\}=0$ ；

同上，产生湮灭算符依赖Hilbert space中矢量 $v\in H$ ，若我们取 $e_i\in H$ ，可以得到：

湮灭算符： $a_j|n_1,...,n_j,...\rangle= \begin{cases} (-1)^m|n_1,...,n_j-1,...\rangle& n_j=1\\ 0& n_j=0 \end{cases}$

产生算符： $a_j^{\dagger}|n_1,...,n_j,...\rangle= \begin{cases} (-1)^m|n_1,...,n_j+1,...\rangle& n_j=0\\ 0& n_j=1 \end{cases}$

这里再次注意费米子满足泡利不相容原理，故 $n_j$ 不能大于 $1$ 。

这里的产生湮灭算符满足我们熟悉的反对易关系：

$\left\{a_j,a_k^{\dagger} \right\}=\delta_{jk} I$ ； $\left\{ a_j,a_k \right\}=\left\{ a_j^{\dagger},a_k^{\dagger} \right\}=0$ 。

（图侵删）

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：萨塔妮亚

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