1、力学基础
在物理学中,最基本的经典力学量是作用量 S。作用量的定义是拉格朗日函数对时间的积分。
拉格朗日函数 是一个力学系统的特性函数,包含了一个力学系统的全部信息,对于连续的情况,拉格朗日函数可以写成以场为宗量的函数。这样拉格朗日可以写成拉格朗日密度函数对空间部分的积分,作用量可以写成
根据最小作用量原理,位形空间的路径对应于最小的作用量 S .这样有:
对第二项应用一遍分部积分,很容易得到
第二项根据Stokes公式可以转化成表面积分,而在位形空间中点场的变分为 .
这样就得到了经典场的拉格朗日方程:
比较于经典力学离散体系的拉格朗日方程:
场论里实质上是把场看成广义坐标,实际上在经典电动力学里我们就已经这样处理了(参考Jackson的电动力学狭义相对论部分)。很显然场在空间中是连续分布的,每一种场构型都对应着一个作用量,但是只有满足拉格朗日方程的场才能保证最小作用量。这也是经典力学所需要保证的。根据费曼路径积分公式:
这个phase实际上就是作用量 。
显然如果作用量 不是极小值,那么对于非最小作用量的路径来说,相位变化会剧烈变化以至于相互之间发生抵消。也就是说必须要有 ,由此我们可以推导出拉格朗日方程,这就回到了本文刚开始。
对于给定的拉格朗日函数 ,很自然我们可以定义正则动量
这里 叫做共轭正则动量密度。再根据勒让德变换带入拉格朗日方程 ,很快我们可得:
这样我们就得到了一个力学体系的另一个重要的特性函数——哈密顿函数
2、诺特原理
我们考虑一个空间连续分布的场 ,其中它的无穷小变换形式为:
这里 是无穷小变换参数, 是场构型的"畸变"。力学里所谓的对称变换是指保持动力学方程形式不变的变换,这里我们的动力学方程是指拉格朗日方程。也就是说以上这种无穷小变换是保证了拉格朗日方程始终不变。
对于拉格朗日密度 ,我们考虑对应于 场 的无穷小畸变的导致的拉格朗日变化,近似到一阶。因为拉格朗日密度函数是洛伦兹不变的,也就是 。这就要求拉格朗日密度的一阶项必须是一个四散度。
对 全微分展开,可以得到:
这样比较 和上式,由 可知:
其中
.
由 的形式我们可以知道 是对应于变换 的守恒流。这就是我们所求得的诺特流局域守恒方程
我们可以定义守恒荷 :
如局域的连续性方程或者守恒流方程向全空间积分一样,利用无穷边界收敛于 . 显然守恒荷是一个不随时间变化的常量。
举个例子,我们考虑一个洛伦兹无穷小变换 ,显然场构型的变化为:
因为拉格朗日是洛伦兹不变的标量,所以拉格朗日也要有如下变换:
后面 的出是由于更换坐标导致的雅克比系数。
带守恒流公式 里,很快我们能得到守恒流是能量动量张量:
同样的,对应于洛伦兹变换的守恒流 ,我们也可以求出守恒荷,正是这个体系的哈密顿:
与电动力学一样的,能量动量坐标分量是与总动量的坐标分量紧密联系的。
这也是物理上对应的动量,而不是正则动量。
来源:知乎 www.zhihu.com
作者:老实的哈密顿
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