经典网文分享: 重整化和有效场论：科普和一个例子

我在大一大二的时候还是个中二少年，不懂重整化但是每天梦想着推翻它。如果当时有人来给我科普重整化的概念，我也许就能早点走出那个中二的泥潭。我觉得现在的物理系大学生中依然有很多人可能有像我一样的这样或那样的中二想法，所以我想写一篇文章科普一下这个概念。但是重整化和有效场论又如此重要，我不想只写到科普的水平，所以我打算先写一段科普，在科普结束之后再写一段干货。干货部分希望能让学过量子场论、但是没学过有效场论的人看懂，并且对有效场论在做什么有一个初步的认识。

部分内容带着括号，导致语法结构可能不是很清晰。如果一下子跟不上的话，建议先忽略掉括弧中的内容读一遍，紧接着再带上括号中的内容读一遍。

现代物理的一个信念是，"physics laws at different scales never talk to each other" （不同尺度的物理规律之间几乎毫无关系）。它还可以从另一个角度进行解读：每一个尺度上的物理可以只用这个尺度上的有限多个（可以通过实验确定的）参数进行描述，而完全不必依赖于更高的能标上可能出现的新物理的细节。（"尺度"的划分有点任意。"几米"和"几百米"可以看成是一个尺度上的东西，但是"几米"和"几纳米"就不是一个尺度上的东西了；几十个GeV和一个TeV也可以看成是一个尺度上的东西，但是电弱能标和普朗克能标也不是一个尺度上的事情。我们实在没有办法很好的定义这个东西如何划分，只能通过下面一些例子来说明。）这种例子比比皆是：在考虑小滑块沿斜坡向的运动的时候，我们完全不用考虑滑块内的电子和原子的相互作用，也不用考虑相对论效应的修正；在考虑经典电磁学和电动力学的时候，我们只需要关注一些宏观量——电流、电位移矢量等就可以很好的处理问题，不需要去考虑每个电子的运动细节；在学习统计物理中的经典和量子气体的时候，各位也都知道，我们不需要计算原子核中夸克、胶子等自由度的影响。这些例子也支撑着我们具有一开始提到的那种信念。

那些来自更高能量尺度（更高能标）上的物理规律的影响/修正去哪里了呢？事实上，随着能标的降低，这些影响越来越小，而低能标上的物理规律开始占据主导地位。这些影响一部分被包含进了所谓的"低能有效参数"中（在小滑块的例子中，滑块的质量就是低能有效参数；在电动力学的例子中，电流和电位移矢量也是低能有效参数；夸克和胶子的影响也被吸收到原子核的质量、自旋等低能有效参数中。），另一部分则随着能标的降低，小到超出我们的观测精度。我们在观测的时候，只能观测到低能有效参数，而完全观测不到更高能标上的物理规律的影响——除非我们真的达到那个物理规律开始起作用的能标（一般是那个物理规律的特征能标附近）。

如果一个物理理论"能通过某个尺度上的有限多个低能有效参数来描述这个尺度的物理"，那这个理论就称为"可重整的"。我们目前为止的物理理论几乎都是可重整的，少数不可重整的理论基本都是由一个更高能标上的可重整的理论"约化"下来的。为什么我们的世界会是"可重整的"？我们只能说这是Mother Nature的仁慈。事实上，世界完全可以是这样的：即便我们处理牛顿力学尺度上的问题，也需要引入无穷多个参数，才能精确地（在可以接受的误差范围内）描述我们的世界。比如，一个非常可怕的牛顿第二定律

$\vec{F}=m\vec{a}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{i_1i_2...i_n}v_{i_1}v_{i2}...v_{i_n}\vec{v}$

在速度 $\vec{v}$ 不是很小的时候，就需要我们测量无穷多个参数 $\{A_{i_1...i_n}\}$ 。（当然，我们在测量之前完全无法知道，这些参数是不是都是 $\mathcal{O}(1)$ 的。如果它们的量级逐个递减，那我们在一定误差范围内，还可以测量有限多个参数进行预言。最坏的情况是它们都是 $\mathcal{O}(1)$ 的，那我们就不得不测量无穷多个参数。）感谢Mother Nature让我们的世界（至少是"目前我们了解到的世界"这个"新手教程"）是可重整的！

最后多说一句。北大的郑汉青老师有一句名言，"可重整性是一个物理后果，它表明低能物理不受高能物理细节的影响；它也不是建立一个基本理论的必要条件。"深以为然。

科普结束。现在我们开始讲讲场论中的可重整性和有效场论。

我的理解中，一个"有效场论"，就是一个"通过经验的或者严格的办法，忽略掉完整的拉氏量/哈密顿量中的部分在低能时不关键的信息，得到的在低能时能和实验符合得很好的拉氏量的场论"。

得到有效场论及其拉氏量的办法有很多。最简单的一种就是通过路径积分"积掉"拉氏量中的（在低能时无法产生自由态的）重粒子，得到的关于（低能时可以观测到自由态的）轻粒子的拉氏量。然而事实上，我们并不会处理非高斯型的路径积分，所以我们并不能真的直接通过路径积分"积掉"重粒子。如何处理这种情况是这篇文章的重点，后面会在介绍完其他几种方法后开始讲例子。

还有一些其他的构造有效场论的办法。比如，QCD这种理论，低能情况下夸克和胶子之间的耦合常数非常大，我们已经不能直接再对夸克做微扰。低能QCD的有效理论中，我们也不以夸克和胶子作为自由度，而以介子和重子作为"低能有效自由度"进行微扰。这种有效场论中，低能自由度完全是"基本理论"的拉氏量中没有出现的；而上面提到的那种方法中，低能有效理论中的自由度是"基本理论"中就出现过的。我不是做强子和粒子物理的，对这部分内容不熟悉，只能就此打住。

除了这两种办法，还有别的构造有效场论的办法。[1410.1892] Introduction to Soft-Collinear Effective Theory 中比较详细地给出了一种办法。我也不是这个领域的专家，也不能说得更多。不过我得在这里预警，这篇文章里的数学可能会颠覆你的三观，让你报警。毕竟我原来听同学讲的时候，也差点报警，并且深深地觉得，那些说"弦论是在数学上硬凑结果"的人，都应该看看这篇文章。

现在我们开始讲例子。约定度规为(+1, -1, -1, -1). 这个例子是关于电子和muon的QED，拉氏量中只有电子和muon。

$\mathcal{L}=\bar{\psi}_e(i\gamma^{\nu}\partial_{\nu}-m_e)\psi_e-e\bar{\psi}_e\gamma^{\nu}\psi A_{\nu}+\bar{\psi}_{\mu}(i\gamma^{\nu}\partial_{\nu}-m_{\mu})\psi_{\mu}-e\bar{\psi}_{\mu}\gamma^{\nu}\psi A_{\nu}$

这里的下标 $e$ 表示电子，下标 $\mu$ 表示muon。我们将这个拉氏量称为"基本理论"。我们只考虑电子对电子对和正负电子对到正负电子对的散射。水平有限，只算到单圈。（事实上连完整的振幅都没算，真的只算了圈。）

所谓的"积掉"过程，有一个从费曼图上来看非常直观的对应——积掉某个粒子，就是把这个粒子对应的内线收缩成一点；得到的新的图就是对应过程在低能有效理论中的图。这个过程的物理意义是：中间传播的有质量粒子是有"自由程"的（我们可以用 $\Delta E\Delta t\sim\hbar/2$ 估计这个粒子传播的时间，然后用光速近似为它的速度，算出来的长度就近似它能传播的距离），而低能极限下，入射粒子的动量小，波长大，看不清那么小的尺度上的结构，于是一个有力程的相互作用就近似成了一个点相互作用。

对于电子对到电子对的散射或者正负电子对到正负电子对的散射，树图水平上，中间传播的是一个光子，没有muon的贡献。所以树图水平上"积掉 "muon，得到的描述这两种散射的低能有效拉氏量就是只有电子的QED。

$\mathcal{L}=\bar{\psi}_e(i\gamma^{\nu}\partial_{\nu}-m')\psi_e-e'\bar{\psi}_e\gamma^{\nu}\psi A_{\nu}$

但是，这里还有两个参数需要确定——我们尚且不知道低能有效理论中，电子的质量和电量和基本理论中的质量和电量是不是一致。这个可以匹配树图水平上，低能有效理论和基本理论的散射振幅来确定。显然，在树图水平上， $m'=m_e$ ， $e'=e$ .

在单圈水平上，将两个拉氏量中的电子对到电子对/正负电子对到正负电子对的单圈水平上的振幅写出来，会发现，在这个例子中，振幅相等就等价于光子自能在 $\mathcal{O}(e^2)$ 上相等。（光子自能的结果可以查Peskin第7章，我们这里使用维数正规化和modified MS重整化方案进行计算）。在低能有效理论中，光子自能的圈中只能跑正负电子对，但是基本理论的光子自能单圈中可以跑正负电子对和正负muon对。这会带来一个对低能耦合常数的non-trivial修正——基本理论中跑muon对的那个圈，在收缩成一个点之后，变成了一个 $\mathcal{O}(e^2)$ 的光子两点顶角。而且由于Ward恒等式的限制，这一项应该正比于 $(q^2g^{\mu\nu}-q^{\mu}q^{\nu})$ 所以有效理论的 $\mathcal{O}(e^2)$ 的光子自能中含有两部分，一个是跑一对正负电子的圈，另一个是一个光子的两点顶角。

这个两点顶角可以直接在拉氏量中写出。在拉氏量中加入一项修正项

$\delta\mathcal{L}=-\frac{1}{4}d_1e^2F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$

（这个修正项的形式和counter term的形式一样啊！）我们还需要将耦合常数换成树图水平上的 $e'$ 表达的形式，这样才能体现"高能物理的细节可以被低能物理的参数描述"嘛。

$\delta\mathcal{L}=-\frac{1}{4}d_1e'^2F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$

只考虑到 $\mathcal{O}(e'^2)$ 的光子自能（ $\mathcal{O}(e'^4)$ 的振幅）时，这一项可以直接展开。误差只会是 $e'$ 的更高阶项，但是那相当于是更高圈的修正，我们不考虑了。这一项的Feynman规则是

$-id_1e'^2(q^2g^{\mu\nu}-q^{\mu}q^{\nu})$

将低能的光子自能和高能的光子自能进行匹配（低能的光子自能用 $e'$ 进行计算，高能的光子自能用 $e$ 进行计算，但是它们其实相等的）。所谓的匹配，就是选取一个重整化的标度，要求有效理论和基本理论计算的振幅在这个标度上相等。我们这里为了一般性的讨论，就不把这个重整化标度 $\mu$ 定下来了。一般的匹配过程中，为了方便，都是取重整化标度等于重的粒子的质量。除此之外，在匹配的过程中，由于我们考虑的是低能物理，所以入射的粒子之间发生的是比较"软"的散射，即粒子散射前后动量改变不大，这导致光子内腿上会有 $q^2\rightarrow0$ .

低能有效拉氏量画出的费曼图为

费曼图真难画：低能有效理论中的光子自能费曼图。右侧两点顶角来自于muon线的收缩。

给出的光子自能为

$\left\{-i\frac{e'^2}{2\pi^2}\left(\int_0^1dx \ x(1-x)\ln\frac{\mu^2}{m_e^2}\right)-id_1e'^2\right\}(q^2g^{\mu\nu}-q^{\mu}q^{\nu}),$

而基本理论画出的费曼图为

给出的光子自能为

$\left\{-i\frac{e^2}{2\pi^2}\int_0^1dx \ x(1-x)\left(\ln\frac{\mu^2}{m_e^2}+\ln\frac{\mu^2}{m_{\mu}^2}\right)\right\}(q^2g^{\mu\nu}-q^{\mu}q^{\nu}),$

于是匹配过程可以定出

$d_1=\frac{1}{12\pi^2}\ln\left(\frac{\mu^2}{m_{\mu}^2}\right).$

但是到这里还没完。我们到目前得到的有效拉氏量中，涉及到光子的部分为

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}(1+d_1e'^2)F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}-e'\bar{\psi}_e\gamma^{\nu}\psi _e A_{\nu}$ ，

算出来的传播子并不满足极点的留数为 $-ig^{\mu\nu}$ . 我们需要重新定义场，让它满足这个条件：

$\tilde{A}_{\mu}=(1+d_1e'^2)^{1/2}A_{\mu}$ ，

这导致低能耦合常数有一个新的变化

$e_{eff}=\frac{e'}{(1+d_1e'^2)^{1/2}}=\frac{e}{(1+d_1e^2)^{1/2}}=e(1-\frac{1}{2}d_1e^2)+\mathcal{O}(e^4)=e-\frac{e^3}{24\pi^2}\ln\left(\frac{\mu^2}{m_{\mu}^2}\right)+\mathcal{O}(e^4)$ .

muon对光子在自能的影响就被吸收到低能有效参数 $e_{eff}$ 中去了。

低能有效理论的耦合常数 $e_{eff}$ 是 $e, \mu, m_{\mu}$ 的函数。其 $\beta$ 函数为

$\begin{aligned} \beta(e_{eff})&=\mu\frac{de_{eff}}{d\mu}\\ &=\mu\frac{\partial e_{eff}}{\partial\mu}+\mu\frac{\partial m_{\mu}}{\partial \mu}\frac{\partial e_{eff}}{\partial m_{\mu}}+\mu\frac{\partial e}{\partial_\mu}\frac{\partial e_{eff}}{\partial e}\\ &=\mu\frac{\partial e_{eff}}{\partial\mu}+m_{\mu}\gamma(m_\mu)\frac{\partial e_{eff}}{\partial m_{\mu}}+\beta(e)\frac{\partial e_{eff}}{\partial e}\\ &=-\frac{e^3}{12\pi^2}+\beta(e)+\mathcal{O}(e^5) \end{aligned}$

基本理论中，单圈水平上， $\beta(e)=2\times(\frac{e^3}{12\pi^2})$ , 所以有效理论 $\beta(e_{eff})=\frac{e^3}{12\pi^2}+\mathcal{O}(e^5)$ .

（ $\beta(e):=\mu\frac{d e}{d \mu}, \ \ \gamma(m):=\frac{\mu}{m}\frac{d m}{d \mu}=\frac{d\ln m}{d \ln \mu},$

做重整化的时候，我们会有一些诸如 $Z_2Z_3^{1/2}e_0=Z_1e\mu^{\epsilon/2}$ 之类的联系裸量和物理量的等式。两侧求导数，就可以解出这些函数。更详细的解释可以参考Ryder的Quantum Field Theory的9.4节。）

当基本理论中有 $n_L$ 个轻粒子和 $n_H$ 个重粒子时，基本理论中

$\beta(e)=(n_H+n_L)\frac{e^3}{12\pi^2}$

低能有效理论中

$e_{eff}=e-\sum_{i=1}^{n_H}\frac{e^3}{24\pi^2}\ln\left(\frac{\mu^2}{m_{i}^2}\right)+\mathcal{O}(e^4)$

从而

$\begin{aligned} \beta(e_{eff})&=\mu\frac{\partial e_{eff}}{\partial\mu}+m_{\mu}\gamma(m_\mu)\frac{\partial e_{eff}}{\partial m_{\mu}}+\beta(e)\frac{\partial e_{eff}}{\partial e}\\ &=\mu\frac{\partial e_{eff}}{\partial\mu}+\beta(e)+\mathcal{O}(e^5)\\ &=-n_H\frac{e^3}{12\pi^2}+(n_H+n_L)\frac{e^3}{12\pi^2}+\mathcal{O}(e^5)\\ &=n_L\frac{e^3}{12\pi^2}+\mathcal{O}(e^5) \end{aligned}$

从这个例子中，我们可以看到，在领头阶，来自高能重粒子的贡献都消掉了，从而低能情况下，对低能的耦合常数有影响的，只有那些低能标上能观测到的轻粒子。在耦合常数保留到 $\mathcal{O}(e^2)$ 时（从而 $e_{eff}\approx e$ ），我们的有效理论仿佛是一个含有 $n_L$ 个粒子的基本理论一样。这就是所谓的"可重整性表明低能物理不受高能物理细节的影响"。

不过这种美好只在单圈成立。注意到在基本理论中，单圈水平上存在光子对到光子对的散射过程（ $\mathcal{O}(e^4)$ ）：一个费米子环，外面长出来四条光子外腿。

这个费米子环可以是个电子的环，也可以是个 muon的环。如果是muon环，muon的内线收缩之后，会在低能有效理论中产生一个四光子点相互作用的顶角。而Ward恒等式要求，这个圈一定是正比于 $((q_i\cdot q_j )g^{\mu\nu}-q_i^{\mu}q_j^{\nu})$ 的（这样外动量 $q_i^{\nu}$ 点乘上去就为0）（ $i,j$ 取值为1到4，标记四条光子外腿）。这表明，四光子的相互作用顶角是四个 $\partial_\mu A_{\nu}$ 的耦合。这个顶角当然是不可重整的。在 $\mathcal{O}(e^4)$ 的光子自能圈图中，就会出现由四光子顶角构造的单圈。

画到虚脱：四光子顶角构造的光子自能。这个图被电荷e的四次方和muon质量的四次方压低。

不过，四光子顶角和其他可能存在的不可重整的顶角都是被muon的质量的四次方压低的。当我们距离muon的质量对应的能标很远时，这些不可重整的项都观测不到。于是低能有效理论又是可重整的。

这件事情在暗示着，标准模型是可重整的，很有可能是因为新的粒子出现在比现在观测能达到的能标高得多的地方。

最后再念叨一遍：可重整性是一个物理后果，它表明低能物理不受高能物理细节的影响；它也不是建立一个基本理论的必要条件。

再补充一个例子吧。

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\varphi)^2-\frac{1}{2}M^2\varphi^2-\frac{1}{2}\kappa\varphi\phi^2$ 其中质量为 $M$ 的是重粒子。其单圈水平（重整化标度选为重粒子质量，取低能极限）上的低能有效拉氏量为

$\mathcal{L}_{eff}=\frac{1}{2}(1+a_1\frac{\kappa^2}{16\pi^2M^2})(\partial_{\mu}\phi)^2-\frac{1}{2}(m^2+b_1\frac{\kappa^2}{16\pi^2M^2})\phi^2-\frac{1}{4!}(-3\frac{\kappa^2}{M^2}+c_1\frac{\kappa^4}{16\pi^2M^4})\phi^4+...$