经典网文分享

多粒子态

这篇文章已经在草稿箱里躺了大半年了，本来是放在下面这篇文章前面的内容。但当时觉得太啰嗦了就省去了。但写了这么多又舍不得删，就把这个半成品放到这里吧。

1，如何增加自由度：

我们在单粒子量子力学中其实就遇到过自由度增加的问题。不考虑自旋时，单粒子Hilbert space为： $L^2\left( R^3,C \right)$ ，而自旋空间为 $V_{2s+1}$ （ $2s+1$ 维复矢空间）。那么对于考虑自旋的单粒子态，其Hilbert space为： $L^2(R^3,C)\otimes V_{2s+1}$ ，即两个Hilbert space的张量积。

现在假设单粒子Hilbert space为 $H$ ，试问 $n$ 个全同粒子的Hilbert space是什么？一个直接的回答是， $n$ 个 $H$ 的张量积空间 $\otimes^n H$ 。不过，这个空间显然太大了，我们知道粒子分为玻色子和费米子，当我们交换两个单粒子态时，只能出现对称和反对称两种情况。我们需要的全同粒子空间比n阶张量积空间要小。考虑到到单粒子态置换后的对称与反对称性，我们直接取对称张量空间和反对称张量空间即可，具体来说：

$n$ 个全同费米子的Hilbert space为： $\wedge^n H$ ，多粒子态为 $H$ 上的n-form；

$n$ 个全同玻色子的Hilbert space为： $\circledS ^n H$ ，多粒子态为 $H$ 上的n阶对称张量。

2，Fock state：

假设单粒子Hilbert space $H$ 上的正交基底为： $\left\{ e_i,i=1,2,3... \right\}$ ，一般来讲它们是某个自伴算子的本征矢，对于单粒子的纯态。那么，试问相应的多粒子Hilbert space上的基底是怎样的呢？

（1）玻色子：答案是很简单的，就是几个基底做张量积，再做对称就好了啊。以三粒子态为例，基底 $\left\{ e_i\otimes e_j\otimes e_k;i,j,k=1,2,3... \right\}$ 先做对称，再归一化，就是三粒子Hilbert space的基底了。不过，这样的物理意义不够明确，我们引入记号 $|n_1,n_2,...\rangle$ 来表示多粒子态，举例来说：

基底： $e_1\otimes e_1\otimes e_4$ 取对称并归一化后，记为： $|2,0,0,1,0...\rangle$

基底： $e_2\otimes e_4\otimes e_4$ 取对称并归一化后，记为： $|0,2,0,1,0...\rangle$

容易发现，记号 $|n_1,n_2,...\rangle$ 的物理意义是，处于纯态 $e_i$ 的粒子态有 $n_i$ 个，当然对于三粒子态来说： $\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=3$ 。由此，我们就可以给出 $n$ 个全同玻色子的Fock state为：

$|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{\frac{n_1!n_2!...}{k!}}P_s\left( (\otimes^{n_1}e_1)(\otimes^{n_2}e_2)\otimes ...\right)$ ； $\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=n$ 。

其中， $P_s(e_1\otimes...\otimes e_n)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_n}{\left( e_{\sigma_{(1)}}\otimes...\otimes e_{\sigma_{(n)}} \right)}$ 为 $\otimes^n H$ 到 $\circledS ^n H$ 的投影。

（2）费米子：同理可得 $n$ 个全同费米子的Fock state为：

$|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{k!}e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_k}$ ； $\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=n$ 。

这里需要注意的是，由于费米子满足泡利不相容原理，其多粒子态是用外积来构造的。form关于指标是反对称的，凡有重复指标者必为零，这对应了两个费米子不能处在相同的量子态上。

3，Fock space：

现在，我们考虑这样一个空间，它可以用来描述任意粒子数的粒子态，我们称之为Fock space。很显然，它可以通过多粒子Hilbert space之间的直和来构造，具体来说：

（1）玻色子Fock space： $F_s(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \circledS^n H$ ，很显然这就是关于 $H$ 的张量代数模掉理想之后生成的对称代数。很显然这个空间是包含无穷多粒子的Hilbert space的，我们考虑其稠密子空间： $F_s^0(H)$ ，其包含有限个粒子。故其上基底可以用Fock state表示为：

$|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{\frac{n_1!n_2!...}{k!}}P_s\left( (\otimes^{n_1}e_1)(\otimes^{n_2}e_2)\otimes ...\right)$ ；且 $\sum n_i<\infty$ 。

很显然，Fock space也是Fock space $F_s(H)$ 上的一组基底。

（2）费米子Fock space： $F_a(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \wedge^n H$ ，很显然这就是 $H$ 上的外代数了。其他的同玻色子Fock space一样，Fock state也可作为其上一组正交基。

4，产生湮灭算符：

如果我们肯定了 $H$ 上的对称张量代数和外代数作为Fock space的话，那么数学上很自然的就可以定义各阶对称张量或form之间的联系。而这样做的物理意义也是很明确的，我们把 $n$ 粒子态变为 $n+1$ 粒子态，对应的物理上就产生了一个粒子，相应的变为 $n-1$ 粒子态就是湮灭了一个粒子。下面，我们定义稠密子空间 $F^0(H)$ 上的产生湮灭算符，具体来说：

（1）玻色子：如果我们要产生一个粒子，那么很简单，再拿一个单粒子Hilbert space $H$ 和它们做张量积就OK了。例如： $B(v)^{\dagger}(u_1\otimes... \otimes u_k)=v\otimes u_1\otimes... \otimes u_k$ 。相应的，湮灭一个粒子，我们只要那一个单粒子态去做内积就可以了： $B(v)(u_1\otimes... \otimes u_k)=\left( v,u_1 \right)u_2\otimes ... \otimes u_k$ 。

由此，考虑到态的归一化，我们定义：

产生算符： $a^{\dagger}(v)=P_sB(v)^{\dagger}\sqrt{N+1}=P_s\sqrt{N}B(v)^{\dagger}$ ；

湮灭算符为： $a(v)=B(v)\sqrt{N}=\sqrt{N+1}B(v)$ ，注意这里 $a(v)$ 应保 $F^0_s(H)$ 。

可以验证他们满足对易关系：

$[a(v),a(w)^{\dagger}]=(v,w)I$ ； $[a(v),a(w)]=[a(v)^{\dagger},a(w)^{\dagger}]=0$ 。

其中 $N$ 为原先Fock state中的粒子数。容易发现，这里的产生湮灭算符是依赖Hilbert space中矢量 $v\in H$ 的，如果我们选取 $e_i\in H$ 来定义产生湮灭算符，我们可以得到：

湮灭算符： $a(e_j)|n_1,...,n_j,...\rangle=\sqrt{n_j}|n_1,...,n_j-1,...\rangle$ ；

产生算符： $a(e_j)^{\dagger}|n_1,...,n_j,...\rangle=\sqrt{n_j+1}|n_1,...,n_j+1,...\rangle$ ；

它们满足的对易关系就是我们通常熟悉的对易关系：

$[a_j,a_k^{\dagger}]=\delta_{jk} I$ ； $[a_j,a_k]=[a_j^{\dagger},a_k^{\dagger}]=0$ ；这里记 $a(e_j)=a_j$ ； $a(e_j)^{\dagger}=a^{\dagger}_j$ 。

一个很显然的结果是，如果我们拿 $\sum a_j^{\dagger}a_j=N$ ，去作用，我们会得到整个Fock state的粒子数。故，我们称 $N$ 为粒子数算符。

（2）费米子的思路同上：

湮灭算符： $a(v)(u_1\wedge...\wedge u_k)=\frac{1}{\sqrt{k}}\sum_{j=1}^{k}(-1)^j{\left( v,u_j \right)u_1 \wedge...u_j...\wedge u_k}$ ；

产生算符： $a(v)^{\dagger}(u_1\wedge...\wedge u_k)=\sqrt{k+1 } v \wedge u_1 \wedge...u_j...\wedge u_k$ ；

湮灭算符做内积，产生算符做外积。

其满足反对易关系：

$\left\{a(v),a(w)^{\dagger} \right\}=(v,w)I$ ； $\left\{ a(v),a(w) \right\}=\left\{ a(v)^{\dagger},a(w)^{\dagger} \right\}=0$ ；

同上，产生湮灭算符依赖Hilbert space中矢量 $v\in H$ ，若我们取 $e_i\in H$ ，可以得到：

湮灭算符： $a_j|n_1,...,n_j,...\rangle= \begin{cases} (-1)^m|n_1,...,n_j-1,...\rangle& n_j=1\\ 0& n_j=0 \end{cases}$

产生算符： $a_j^{\dagger}|n_1,...,n_j,...\rangle= \begin{cases} (-1)^m|n_1,...,n_j+1,...\rangle& n_j=0\\ 0& n_j=1 \end{cases}$

这里再次注意费米子满足泡利不相容原理，故 $n_j$ 不能大于 $1$ 。

这里的产生湮灭算符满足我们熟悉的反对易关系：

$\left\{a_j,a_k^{\dagger} \right\}=\delta_{jk} I$ ； $\left\{ a_j,a_k \right\}=\left\{ a_j^{\dagger},a_k^{\dagger} \right\}=0$ 。

（图侵删）

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：萨塔妮亚

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

如何评价 DOTA 2 国际邀请赛 TI 8 的小青本？

前段时间，由于发现了每年TI互动指南都在5月推出的规律，尽管钱包已经在3月中旬被DOTA2 Plus收割了一波，玩家们依然对即将到来的勇士令状饥渴难耐了。终于，经过提前一天的预告，北京时间5月9日凌晨，TI8勇士令状千呼万唤始出来。

DOTA2玩家等小本子等得有多疯狂？TI8勇士令状推出不到一小时，奖金池已经增加了50万美元。

DOTA2的吸金能力，只能说叹为观止。

和往年一样，初始勇士令状为60元，75级捆绑包为222元，购买等级的价格分别为15元5级、30元11级和60元24级三种。

根据以往经验，V社后续应该会再推出物美价廉的特惠升级包，考虑性价比的玩家不妨等特惠升级包推出后再升级本子。

往年互动指南的基本功能，此次的本子也一应俱全，预测代币、票选至宝、知识问答、轮回不朽、冰女轮盘，以及TI期间的互动指南。这些都是只要购买了勇士令状就能享有的功能。

当然，随着本子等级提升，也就有了更为丰富的奖励，包括不朽珍藏、选手卡片、预测代币、音乐包、地图包、PLUS碎片、游戏特效、英雄嘲讽、河水药瓶，以及特定英雄的专属奖励。当然，还少不了1000级的不朽盾实物。

晒一下去年的不朽盾，实物比看起来要小...

在升级奖励方面，今年的奖励在去年基础上更加丰富，例如语音轮盘部分，不仅包含全部TI7语音轮盘，还收录了部分新增的解说内容。

新增语音轮盘包括5条中文解说语音，其中357级解锁的"你气不气"和457级解锁的"啊，队友呢"，嘲讽能力简直爆炸，在路人局中使用很容易导致对方心态失衡。

除了语音轮盘和313级解锁的反补问号图标，今年V社又开发了全新的嘲讽方式，那就是喷绘轮盘。

勇士令状达到一定等级，就能解锁相应喷绘轮盘。喷绘轮盘和文字轮盘、语音轮盘一样，可以在设置中进行自定义，然后调出轮盘时就可以使用喷绘了。使用喷绘后不是像文字和语音轮盘那样在聊天页面发出信息，而是直接在地图上留下印记。

喷绘轮盘的使用流程如视频所演示。可以想象，要是在击杀对方英雄后，在对方尸体上留个大树或者别的涂鸦，对对方的嘲讽力度有多大。

去年的勇士令状以"海洋"为主题，地图包与珍藏等都围绕这一元素展开，相较而言，今年的本子主题就没有那么明确了，不过从整体美观程度而言，并不逊于去年。

今年的主题地图包为"玉海之渊"，需要160级解锁。从地图中植物与雕塑的风格来看，似乎是想呈现"失落的海岛"这一形象。反正主页君在使用这个地图时，脑中自动冒出了当年War3战役，伊利丹出海寻找萨格拉斯之墓的章节。

抛开审美，今年的地图包在辨识度上是胜过去年的。去年的地图包在环境方面着力不少，但也让玩家很难分辨出自己在地图中的位置，其实有点弄巧成拙的意味，今年的地图包则没有出现该问题。

但在另一个环节，V社却又犯了相同的错误。

在达到190级后，可以解锁自定义小兵。这是一种类似于地图包、天气效果、UI界面等的通用饰品，可以在通用界面里装备。装备自定义小兵后，该玩家视角中的小兵形象就改变了。

可以看到，自定义小兵在形象上改变的确很大，但是却又缺乏辨识度，甚至有点像破路后的大兵。主页君在装备自定义小兵后的第一局游戏中，对线阶段非常不适应，总是不能正确把握小兵血量，补刀很不舒服。当然，这也可能只是因为对新的小兵形象尚不熟悉，但还是建议玩家慎用自定义小兵。

除了各种饰品类的奖励，今年的勇士令状也为玩家提供了更多互动内容和游戏玩法。

例如，互动指南除了TI，还能对职业巡回赛进行预测，也就是说即将到来的MDL长沙联赛，小本子作业就可以做起来了！不过目前仅支持通过网页浏览器或移动设备到特定网页进行预测，不排除此后开放客户端入口的可能性。

又如，以往的任务系统今年升级为了全新的"岩洞探险"模式。

今年同样是三条路线，通关任何一条路线即可获得相应的套装奖励，只不过今年只要使用特定英雄赢取比赛即可通关，不需要像往年那样完成不同内容的三星级任务，通关的流程得到了简化，还能获得极其稀有的碧玉肉山宝宝。

另外，今年的勇士令状推出了全新的游戏模式，分别是突变模式、天梯定位和团队挑战三种模式。

从之前推出加速模式，可以看出V社一直在寻求DOTA2竞技性与娱乐性的平衡，希望在不影响天梯高强度竞技的前提下，推出更适合普通玩家休闲娱乐的模式。但就目前的效果来看，加速模式没有达到预期，而突变模式就是一个新的尝试。

突变模式中，系统会以每24小时为一个周期，随机改变三项游戏规则。整体而言，这些规则改变的方向都是以加快游戏节奏为基调的，例如每分钟对所有玩家释放一个法术、小兵被随机中立生物所替代，等等。在这个模式下，玩家随着游戏规则的改变，可以更加爽快地全场互怼。

当然，对于DOTA2而言，除了娱乐性，竞技性也要考虑，新增的另两种模式都是天梯的变种。天梯定位和团队挑战两种模式并不是真正意义上的游戏模式，它们只是改变了匹配游戏的方式，但依然是普通的天梯比赛。

天梯定位模式要求玩家选取自己希望担任的位置，然后为玩家匹配其他位置的队友，系统会自动配成1优势路1中路1劣势路2辅助的队伍，进入游戏后，在选人界面，每个玩家的英雄头像下面会显示自己希望担任的位置。这对于路人局中分位置是比较有用的，但这种位置分配只是一种匹配依据和选人推荐，而非强制性的，也就是说，我选辅助开排，进游戏后抢选核心，也是完全能实现的——至于为什么这么做，想打核心的玩家一般比想打辅助的玩家多，所以辅助玩家作为稀缺资源，匹配的优先级会更高。

团队挑战模式位于普通的天梯匹配子菜单下，需要5人黑店。在这个模式下，玩家会匹配到明显高于自己段位的对手。目前主页君尚未尝试此模式，该模式究竟是排到同样的5人黑店还是5个高分路人，获胜后是能直接升段还是获得更多的组排分，也就无从得知了。不过，由于组排分解锁徽章最多只能到万古流芳5，超凡入圣只取决于单排分，所以这个功能对于高分玩家还是很鸡肋的。

另一个非常重要的游戏内容就是"幽穴口云"。

这是一个全新副本模式，目前只放出了预告。平心而论，去年的"破泞之战"还是相当有趣的，尤其是第一章。但由于整个副本耗时过长，为了冲击最后的关卡，需要不断重复前期内容，却无法重复获得奖励，就容易使玩家厌倦，不知道今年的副本会做出哪些改变。等副本推出后，主页君也会第一时间进行评测。

总的来说，和去年相比，今年的小本子在各种内容上都丰富了很多，有很多全新的尝试，不过具体后效如何，还要拭目以待。

PS：TI8国际邀请赛主题音乐包已经加入后台，主音乐听起来非常霸气，而且也加入了开雾以及破雾的音效。我提取并上传至百度网盘，各位可以下载试听一下。

地址：https://pan.baidu.com/s/1TG6dsU1pncc6wMZ62kxBVg

提取码：nyj4

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：EHOME电子竞技俱乐部

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

此问题还有 144 个回答，查看全部。

订阅：博文 (Atom)