多粒子态

这篇文章已经在草稿箱里躺了大半年了,本来是放在下面这篇文章前面的内容。但当时觉得太啰嗦了就省去了。但写了这么多又舍不得删,就把这个半成品放到这里吧。

萨塔妮亚:从量子力学,到量子场论


1,如何增加自由度:

我们在单粒子量子力学中其实就遇到过自由度增加的问题。不考虑自旋时,单粒子Hilbert space为: L^2\left( R^3,C \right) ,而自旋空间为 V_{2s+1}2s+1 维复矢空间)。那么对于考虑自旋的单粒子态,其Hilbert space为: L^2(R^3,C)\otimes V_{2s+1} ,即两个Hilbert space的张量积。

现在假设单粒子Hilbert space为 H ,试问 n 个全同粒子的Hilbert space是什么?一个直接的回答是, nH 的张量积空间 \otimes^n H 。不过,这个空间显然太大了,我们知道粒子分为玻色子和费米子,当我们交换两个单粒子态时,只能出现对称和反对称两种情况。我们需要的全同粒子空间比n阶张量积空间要小。考虑到到单粒子态置换后的对称与反对称性,我们直接取对称张量空间和反对称张量空间即可,具体来说:

n 个全同费米子的Hilbert space为: \wedge^n H ,多粒子态为 H 上的n-form;

n 个全同玻色子的Hilbert space为: \circledS ^n H ,多粒子态为 H 上的n阶对称张量。


2,Fock state:

假设单粒子Hilbert space H 上的正交基底为: \left\{ e_i,i=1,2,3... \right\} ,一般来讲它们是某个自伴算子的本征矢,对于单粒子的纯态。那么,试问相应的多粒子Hilbert space上的基底是怎样的呢?

(1)玻色子:答案是很简单的,就是几个基底做张量积,再做对称就好了啊。以三粒子态为例,基底 \left\{ e_i\otimes e_j\otimes e_k;i,j,k=1,2,3... \right\} 先做对称,再归一化,就是三粒子Hilbert space的基底了。不过,这样的物理意义不够明确,我们引入记号 |n_1,n_2,...\rangle 来表示多粒子态,举例来说:

基底: e_1\otimes e_1\otimes e_4 取对称并归一化后,记为: |2,0,0,1,0...\rangle

基底: e_2\otimes e_4\otimes e_4 取对称并归一化后,记为: |0,2,0,1,0...\rangle

容易发现,记号 |n_1,n_2,...\rangle 的物理意义是,处于纯态 e_i 的粒子态有 n_i 个,当然对于三粒子态来说: \sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=3 。由此,我们就可以给出 n 个全同玻色子的Fock state为:

|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{\frac{n_1!n_2!...}{k!}}P_s\left( (\otimes^{n_1}e_1)(\otimes^{n_2}e_2)\otimes ...\right)\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=n

其中, P_s(e_1\otimes...\otimes e_n)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_n}{\left( e_{\sigma_{(1)}}\otimes...\otimes e_{\sigma_{(n)}} \right)}\otimes^n H\circledS ^n H 的投影。

(2)费米子:同理可得 n 个全同费米子的Fock state为:

|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{k!}e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_k}\sum_{n=1}^{\infty}{n_i}=n

这里需要注意的是,由于费米子满足泡利不相容原理,其多粒子态是用外积来构造的。form关于指标是反对称的,凡有重复指标者必为零,这对应了两个费米子不能处在相同的量子态上。


3,Fock space:

现在,我们考虑这样一个空间,它可以用来描述任意粒子数的粒子态,我们称之为Fock space。很显然,它可以通过多粒子Hilbert space之间的直和来构造,具体来说:

(1)玻色子Fock space: F_s(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \circledS^n H ,很显然这就是 关于H 的张量代数模掉理想之后生成的对称代数。很显然这个空间是包含无穷多粒子的Hilbert space的,我们考虑其稠密子空间: F_s^0(H) ,其包含有限个粒子。故其上基底可以用Fock state表示为:

|n_1,n_2,...\rangle=\sqrt{\frac{n_1!n_2!...}{k!}}P_s\left( (\otimes^{n_1}e_1)(\otimes^{n_2}e_2)\otimes ...\right) ;且 \sum n_i<\infty

很显然,Fock space也是Fock space F_s(H) 上的一组基底。

(2)费米子Fock space: F_a(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \wedge^n H ,很显然这就是 H 上的外代数了。其他的同玻色子Fock space一样,Fock state也可作为其上一组正交基。


4,产生湮灭算符:

如果我们肯定了 H 上的对称张量代数和外代数作为Fock space的话,那么数学上很自然的就可以定义各阶对称张量或form之间的联系。而这样做的物理意义也是很明确的,我们把 n 粒子态变为 n+1 粒子态,对应的物理上就产生了一个粒子,相应的变为 n-1 粒子态就是湮灭了一个粒子。下面,我们定义稠密子空间 F^0(H) 上的产生湮灭算符,具体来说:

(1)玻色子:如果我们要产生一个粒子,那么很简单,再拿一个单粒子Hilbert space H 和它们做张量积就OK了。例如: B(v)^{\dagger}(u_1\otimes... \otimes u_k)=v\otimes u_1\otimes... \otimes u_k 。相应的,湮灭一个粒子,我们只要那一个单粒子态去做内积就可以了: B(v)(u_1\otimes... \otimes u_k)=\left( v,u_1 \right)u_2\otimes ... \otimes u_k

由此,考虑到态的归一化,我们定义:

产生算符: a^{\dagger}(v)=P_sB(v)^{\dagger}\sqrt{N+1}=P_s\sqrt{N}B(v)^{\dagger}

湮灭算符为: a(v)=B(v)\sqrt{N}=\sqrt{N+1}B(v) ,注意这里 a(v) 应保 F^0_s(H)

可以验证他们满足对易关系:

[a(v),a(w)^{\dagger}]=(v,w)I[a(v),a(w)]=[a(v)^{\dagger},a(w)^{\dagger}]=0

其中 N 为原先Fock state中的粒子数。容易发现,这里的产生湮灭算符是依赖Hilbert space中矢量 v\in H 的,如果我们选取 e_i\in H 来定义产生湮灭算符,我们可以得到:

湮灭算符: a(e_j)|n_1,...,n_j,...\rangle=\sqrt{n_j}|n_1,...,n_j-1,...\rangle

产生算符: a(e_j)^{\dagger}|n_1,...,n_j,...\rangle=\sqrt{n_j+1}|n_1,...,n_j+1,...\rangle

它们满足的对易关系就是我们通常熟悉的对易关系:

[a_j,a_k^{\dagger}]=\delta_{jk} I[a_j,a_k]=[a_j^{\dagger},a_k^{\dagger}]=0 ;这里记 a(e_j)=a_ja(e_j)^{\dagger}=a^{\dagger}_j

一个很显然的结果是,如果我们拿 \sum a_j^{\dagger}a_j=N ,去作用,我们会得到整个Fock state的粒子数。故,我们称 N 为粒子数算符。

(2)费米子的思路同上:

湮灭算符: a(v)(u_1\wedge...\wedge u_k)=\frac{1}{\sqrt{k}}\sum_{j=1}^{k}(-1)^j{\left( v,u_j \right)u_1 \wedge...u_j...\wedge u_k}

产生算符: a(v)^{\dagger}(u_1\wedge...\wedge u_k)=\sqrt{k+1 } v \wedge u_1 \wedge...u_j...\wedge u_k

湮灭算符做内积,产生算符做外积。

其满足反对易关系:

\left\{a(v),a(w)^{\dagger} \right\}=(v,w)I\left\{ a(v),a(w) \right\}=\left\{ a(v)^{\dagger},a(w)^{\dagger} \right\}=0

同上,产生湮灭算符依赖Hilbert space中矢量 v\in H ,若我们取 e_i\in H ,可以得到:

湮灭算符:a_j|n_1,...,n_j,...\rangle= \begin{cases} (-1)^m|n_1,...,n_j-1,...\rangle& n_j=1\\ 0& n_j=0 \end{cases}

产生算符: a_j^{\dagger}|n_1,...,n_j,...\rangle= \begin{cases} (-1)^m|n_1,...,n_j+1,...\rangle& n_j=0\\ 0& n_j=1 \end{cases}

这里再次注意费米子满足泡利不相容原理,故 n_j 不能大于 1

这里的产生湮灭算符满足我们熟悉的反对易关系:

\left\{a_j,a_k^{\dagger} \right\}=\delta_{jk} I\left\{ a_j,a_k \right\}=\left\{ a_j^{\dagger},a_k^{\dagger} \right\}=0


(图侵删)



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:萨塔妮亚

【知乎日报】千万用户的选择,做朋友圈里的新鲜事分享大牛。 点击下载

如何评价 DOTA 2 国际邀请赛 TI 8 的小青本?

前段时间,由于发现了每年TI互动指南都在5月推出的规律,尽管钱包已经在3月中旬被DOTA2 Plus收割了一波,玩家们依然对即将到来的勇士令状饥渴难耐了。终于,经过提前一天的预告,北京时间5月9日凌晨,TI8勇士令状千呼万唤始出来。

DOTA2玩家等小本子等得有多疯狂?TI8勇士令状推出不到一小时,奖金池已经增加了50万美元。

DOTA2的吸金能力,只能说叹为观止。


和往年一样,初始勇士令状为60元,75级捆绑包为222元,购买等级的价格分别为15元5级、30元11级和60元24级三种。

根据以往经验,V社后续应该会再推出物美价廉的特惠升级包,考虑性价比的玩家不妨等特惠升级包推出后再升级本子。

往年互动指南的基本功能,此次的本子也一应俱全,预测代币、票选至宝、知识问答、轮回不朽、冰女轮盘,以及TI期间的互动指南。这些都是只要购买了勇士令状就能享有的功能。

当然,随着本子等级提升,也就有了更为丰富的奖励,包括不朽珍藏、选手卡片、预测代币、音乐包、地图包、PLUS碎片、游戏特效、英雄嘲讽、河水药瓶,以及特定英雄的专属奖励。当然,还少不了1000级的不朽盾实物。

晒一下去年的不朽盾,实物比看起来要小...


在升级奖励方面,今年的奖励在去年基础上更加丰富,例如语音轮盘部分,不仅包含全部TI7语音轮盘,还收录了部分新增的解说内容。

新增语音轮盘包括5条中文解说语音,其中357级解锁的"你气不气"和457级解锁的"啊,队友呢",嘲讽能力简直爆炸,在路人局中使用很容易导致对方心态失衡。

除了语音轮盘和313级解锁的反补问号图标,今年V社又开发了全新的嘲讽方式,那就是喷绘轮盘。

勇士令状达到一定等级,就能解锁相应喷绘轮盘。喷绘轮盘和文字轮盘、语音轮盘一样,可以在设置中进行自定义,然后调出轮盘时就可以使用喷绘了。使用喷绘后不是像文字和语音轮盘那样在聊天页面发出信息,而是直接在地图上留下印记。

喷绘轮盘的使用流程如视频所演示。可以想象,要是在击杀对方英雄后,在对方尸体上留个大树或者别的涂鸦,对对方的嘲讽力度有多大。

去年的勇士令状以"海洋"为主题,地图包与珍藏等都围绕这一元素展开,相较而言,今年的本子主题就没有那么明确了,不过从整体美观程度而言,并不逊于去年。

今年的主题地图包为"玉海之渊",需要160级解锁。从地图中植物与雕塑的风格来看,似乎是想呈现"失落的海岛"这一形象。反正主页君在使用这个地图时,脑中自动冒出了当年War3战役,伊利丹出海寻找萨格拉斯之墓的章节。

抛开审美,今年的地图包在辨识度上是胜过去年的。去年的地图包在环境方面着力不少,但也让玩家很难分辨出自己在地图中的位置,其实有点弄巧成拙的意味,今年的地图包则没有出现该问题。

但在另一个环节,V社却又犯了相同的错误。

在达到190级后,可以解锁自定义小兵。这是一种类似于地图包、天气效果、UI界面等的通用饰品,可以在通用界面里装备。装备自定义小兵后,该玩家视角中的小兵形象就改变了。

可以看到,自定义小兵在形象上改变的确很大,但是却又缺乏辨识度,甚至有点像破路后的大兵。主页君在装备自定义小兵后的第一局游戏中,对线阶段非常不适应,总是不能正确把握小兵血量,补刀很不舒服。当然,这也可能只是因为对新的小兵形象尚不熟悉,但还是建议玩家慎用自定义小兵。


除了各种饰品类的奖励,今年的勇士令状也为玩家提供了更多互动内容和游戏玩法。

例如,互动指南除了TI,还能对职业巡回赛进行预测,也就是说即将到来的MDL长沙联赛,小本子作业就可以做起来了!不过目前仅支持通过网页浏览器或移动设备到特定网页进行预测,不排除此后开放客户端入口的可能性。

又如,以往的任务系统今年升级为了全新的"岩洞探险"模式。

今年同样是三条路线,通关任何一条路线即可获得相应的套装奖励,只不过今年只要使用特定英雄赢取比赛即可通关,不需要像往年那样完成不同内容的三星级任务,通关的流程得到了简化,还能获得极其稀有的碧玉肉山宝宝。

另外,今年的勇士令状推出了全新的游戏模式,分别是突变模式、天梯定位和团队挑战三种模式。

从之前推出加速模式,可以看出V社一直在寻求DOTA2竞技性与娱乐性的平衡,希望在不影响天梯高强度竞技的前提下,推出更适合普通玩家休闲娱乐的模式。但就目前的效果来看,加速模式没有达到预期,而突变模式就是一个新的尝试。

突变模式中,系统会以每24小时为一个周期,随机改变三项游戏规则。整体而言,这些规则改变的方向都是以加快游戏节奏为基调的,例如每分钟对所有玩家释放一个法术、小兵被随机中立生物所替代,等等。在这个模式下,玩家随着游戏规则的改变,可以更加爽快地全场互怼。

当然,对于DOTA2而言,除了娱乐性,竞技性也要考虑,新增的另两种模式都是天梯的变种。天梯定位和团队挑战两种模式并不是真正意义上的游戏模式,它们只是改变了匹配游戏的方式,但依然是普通的天梯比赛。

天梯定位模式要求玩家选取自己希望担任的位置,然后为玩家匹配其他位置的队友,系统会自动配成1优势路1中路1劣势路2辅助的队伍,进入游戏后,在选人界面,每个玩家的英雄头像下面会显示自己希望担任的位置。这对于路人局中分位置是比较有用的,但这种位置分配只是一种匹配依据和选人推荐,而非强制性的,也就是说,我选辅助开排,进游戏后抢选核心,也是完全能实现的——至于为什么这么做,想打核心的玩家一般比想打辅助的玩家多,所以辅助玩家作为稀缺资源,匹配的优先级会更高。

团队挑战模式位于普通的天梯匹配子菜单下,需要5人黑店。在这个模式下,玩家会匹配到明显高于自己段位的对手。目前主页君尚未尝试此模式,该模式究竟是排到同样的5人黑店还是5个高分路人,获胜后是能直接升段还是获得更多的组排分,也就无从得知了。不过,由于组排分解锁徽章最多只能到万古流芳5,超凡入圣只取决于单排分,所以这个功能对于高分玩家还是很鸡肋的。

另一个非常重要的游戏内容就是"幽穴口云"。

这是一个全新副本模式,目前只放出了预告。平心而论,去年的"破泞之战"还是相当有趣的,尤其是第一章。但由于整个副本耗时过长,为了冲击最后的关卡,需要不断重复前期内容,却无法重复获得奖励,就容易使玩家厌倦,不知道今年的副本会做出哪些改变。等副本推出后,主页君也会第一时间进行评测。

总的来说,和去年相比,今年的小本子在各种内容上都丰富了很多,有很多全新的尝试,不过具体后效如何,还要拭目以待。

PS:TI8国际邀请赛主题音乐包已经加入后台,主音乐听起来非常霸气,而且也加入了开雾以及破雾的音效。我提取并上传至百度网盘,各位可以下载试听一下。

地址:pan.baidu.com/s/1TG6dsU

提取码:nyj4



来源:知乎 www.zhihu.com
作者:EHOME电子竞技俱乐部

【知乎日报】千万用户的选择,做朋友圈里的新鲜事分享大牛。 点击下载

此问题还有 144 个回答,查看全部。