经典网文分享: 如何解释三次曲线的参数？

改写一下曲线方程：

$y=\alpha (x-\beta)\left((x-\beta)^2+\gamma\right) + \delta$

或者 $\frac{y-\delta}{\alpha}=(x-\beta)\left((x-\beta)^2+\gamma\right)$

其中 $\alpha=a\neq0$ , $\beta = -\frac{b}{3a}$ , $\gamma = \frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}$ , $\delta = d-\frac{b}{3}\left(-\frac{2b^2}{9a^2}+\frac{c}{a}\right)$ .

这样各个参数的几何意义就更加明显了。

$\delta$ 对曲线进行上下平移，它增大，曲线位置向上平移。在这个过程中曲线形状不改变；

$\beta$ 对曲线进行左右平移，它增大，曲线位置向右平移，形状不改变。

$\alpha$ 对曲线在y方向作尺度变换，随着它增大，曲线被沿着y方向"拉长"。改变它的符号相当于把曲线关于 $x=\beta$ 作对称变换。

$\gamma$ 的作用相对复杂一些。不妨设 $\beta=\delta=0,\ \alpha=1$ ，研究 $y=x(x^2+\gamma)$ . 原来的曲线可以用前三条"规则"变换得到。首先观察到，当x趋向正/负无穷，y也趋向正/负无穷；通过在x=0处求导发现 $\gamma$ 是定义曲线的三次函数在此处的导数。这样可以根据 $\gamma$ 的符号画出曲线的大概图像。这里 $\alpha>0$ ，画图时取其为1.

$\gamma>0$ （此处取1）

$\gamma=0$

$\gamma<0$ （此处取-1）

可以这么理解， $\alpha,\ \gamma$ 的符号组合（一共6种，因为 $\alpha\neq0$ ）可以将三次曲线分类。在每一类分类下它们的具体大小，以及剩下的 $\beta,\ \delta$ 的值并不影响三次方程曲线的"本质"，只不过是将它拉伸，平移而已。

高次曲线大多可以按照这个方式确定大概形状，以及分类。不过对四次以上方程的曲线，这种方式的分析会稍微麻烦一些，而且不一定有像此处（以及对二次曲线）一样比较明显的特征。

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上面的分类还可以有另外一种看法。三次函数的图像可以写作 $\{g(\mathbf x) = 0| g:(x,y)\mapsto(f(x),y)\}$ 。我们可以选择平面微分同胚变换群（或者仿射变换群）的一个子群，然后按照所有三次函数图像里面的群轨道分类。但是所有三次函数的图像都是微分同胚的（它们和x轴微分同胚），所以要得到有意义的分类，我们选择的群不能太大。上面说的那种分类实际上是选取了 $T:=G\times H$ ，其中，G是平移变换 $\{\mathbf v\in \mathbb R^2\}$ , H是非退化对角线性变换 $\{\mathrm{diag}(1,a)|a\neq0\}$ （这是把y轴进行可能改变方向的放缩）. 这个群同构于 $(\mathbb R^2 ,+)\times \mathbb (R^\times,\cdot)$ , 它占了三次函数图像里四个自由度中的三个。剩下的一个就是上面所说的 $\gamma$ 对应的那个。

如果是二次函数的图像，就没有第四个自由度了。所有二次函数图像的集合是 $T$ 的一个轨道，就是说任何两个二次函数的图像都能通过其中的变换互相转换。

一次函数的图像只有两个自由度，任何一条平面上的直线都可以由 $\{x-y=0\}$ 通过先旋转再上下平移得到（ $\mathbb R \times U(1)$ ）

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四次函数的图像稍微复杂一些。而且分类的标准本来就有一定的随意性。下面这种方法肯定不是最合适的，但是至少可以提供一种思路。

考虑四次函数的导函数，它是一个三次函数。可以按照之前的方法，先把三次函数的中心平移到y轴上。这样，加上整体的scaling（开口朝向），以及上下平移，我们去除了三个无关自由度。这样可以把四次函数写成这种形式：

$y=x^4+\gamma x^2 +\delta x$ , 导函数为 $y' = 4x\left(x^2+\frac 1 2\gamma\right) + \delta$ . 注意到随着 $\gamma$ 的符号不同，改变 $\delta$ 对于图像的影响也是不同的。下面可以分类讨论：

$\gamma \geq0$ . 此时 $\delta$ 无论取什么值，导函数都只能有一个零点，对应的四次函数图像只有一个最小值（或者最大值）
$\gamma<0$ 。此时 $\delta$ 的取值会影响四次函数极值点的个数。计算可得到，当 $\delta\in\left(-\frac{8(-\gamma)^{3/2}}{3\sqrt{6}},\frac{8(-\gamma)^{3/2}}{3\sqrt{6}}\right)$ , 它有三个极值点，或者说导函数有三个不同的零点。并且当 $\delta<0$ , 四次函数的图像直观上看右边"更低"；反之亦然；在 $\delta=0$ 时图像对称。