经典网文分享: 为什么 y=x^2-x-1 中包含质数出現得比較多？

一个多项式里素数多不多

不仅要看数字小时的素数数量

也要考虑上达无穷时的素数密度

$\Tiny{(其实一般这两者是正相关的)}$

根据 Bateman–Horn 猜想

我们说对于单个多项式素数密度的估计可以写成:

$\bbox[#EFF,5px,border:2px solid red]{ \pi_{P(x)}\sim {\frac {1}{\mathfrak{D}}}\prod _{p\in\mathbb{P}}^\infty{\frac {p-\mathfrak{R}(p)}{p-1}}\ \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm{d}t}{\log t}} }\\$

其中 $\mathfrak{D}$ 表示多项式的次数, $\mathfrak{R}(p)$ 表示给定多项式在模 $p$ 的根的个数.

可以看到增长速度其实都是

$\text{li}(x)=\text{li}(2)+\int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\log (t)}\sim\frac{x \left(\log x \left(\log x \left(\log ^2x+\log x+2\right)+6\right)+24\right)}{\log ^5x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$

所以关键在于前面的一堆系数.

但是这个无穷级数的计算在技术上是不可能的

无法计算一般多项式所有模 $p$ 的根 (数学上也不行, 据我所知)

好在这个级数收敛性还说得过去

一般算个10^4项差不多了

 f=n^2-n-1; Rm[p_]:=Length[Solve[f==0,n,Modulus->p]]; cc=(#-Rm[#])/(#-1)&/@Prime@Range[10^4]; Times@@cc/Exponent[f,n]//N

计算结果表明 $\pi_{x^2-x-1}\sim 1.32982 \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm{d}t}{\log t}}$

这个成绩可不够好

不过至少比 $f(x)=x$ 密度高...

根据定义 $\pi_{x}\sim\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm{d}t}{\log t}}$ ....

其实没有比这个低的了, 这是下限....

一次函数确实很占优势, 因为不用除次数

$\pi_{2x\pm1}\sim2\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm{d}t}{\log t}}$ ,达到上限了, 一次函数最高才2.

一次函数很容易达到上限, 随便举个例子 $2n+1,4n+1,8n+1$ 的素数密度其实都是一样的.

大数学家欧拉, 他发现的 $x^2 - x + 41$ ,能连续产生40个素数啊.

同时 ${\pi}_{x^2-x+41}\sim 3.30206 \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm{d}t}{\log t}}$

几百年来无人能破

Update:

其实近年来借助计算机才发现了更好的二次函数

${\pi}_{36 x^2 - 810 x + 2753}\sim 3.90825 \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm{d}t}{\log t}}$

已经相当的接近4了, 不过要是数论没有大的突破要达到 4 我想还是不可能的...

Update × 2:

应知乎小管家的要求修改措辞...

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：酱紫君

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

此问题还有 9 个回答，查看全部。
延伸阅读：
在《Nature》《Science》《Cell》上，大牛教授发文章是不是阻力比较小？
如何看待meta-analysis的意义？

经典网文分享

为什么 y=x^2-x-1 中包含质数出現得比較多？

没有评论:

发表评论