我知道的几个物理学史上出现过的著名的无穷大：
（1）经典电动力学中的电子自能，
（2）黑体辐射中的紫外灾难，
（3）量子场论中的紫外发散，
（4）广义相对论中黑洞附近的曲率。
看起来应该是经典电动力学中的电子自能无穷大出现时间最早。下面依次介绍理论上是如何消除这种无穷大的。
（1）经典电动力学中的电子自能
考虑最简单的情况，就在经典电动力学的体系中计算，电子被当成经典的点粒子，而且是静止的。电子的相对论性总能量为：
在这里，参数 是我们把电磁相互作用"关掉"时的质量。这一点可以通过把参数
取成0看出。这个质量一般被称为裸质量。没有任何实验或者对称性（或者其他知识）告诉我们，裸质量和有电磁相互作用时的质量一致。（我们不能观测裸质量，因为我们不是上帝，不能真的"关掉"电磁相互作用。另一方面，测量的基础就是相互作用。我们观测到的都是电磁相互作用存在时，电子的"有效质量"。）
一方面，我们认为电磁相互作用非常弱，这是因为电磁相互作用的耦合常数是 。于是我们认为，电磁相互作用对于裸质量的修正非常小。（这个理论里恰好就有一个内含的表示尺度小的量：电子电量
。所以我们认为这个修正大概是
或者更高阶的。）
另一方面，我们暂且将电子视为一个半径为 的小球。这样，电子自己的自能不再是发散的，而是反比于
。在最后，我们会取
。
注意，我们先取 很小的极限，再取
趋于0的极限。
电子的裸质量可以表示为实验测得的质量加上一个修正：
相应的能量就变成
其中 是一个常数。我们把电子当成一个半径是
的均匀带电的小球，就可以算出来这个常数。也可以取其他其他不均匀带电的模型，所以显然这个
是依赖于模型的。我就把这个依赖模型的参数显写在这里了。（其实是懒，不想算。）
另一方面， 就是实验上测得的电子质量（因为实验上测得的就是电子在相互作用存在且自身速度很低时的"有效"质量）。所以修正
。
你可以把这个过程想象成：裸质量本身就是发散的（而且是负无穷大），相互作用带来的发散给它"穿上了衣服"，这两个发散彼此抵消，剩下一个有限的实验观测到的质量。
这里的处理不是很严格。稍微严格一点的处理，应该去解电子的狄拉克方程，然后把狄拉克方程中的质量解释为裸质量。（然而我从来没解过。。。）（这个自能是 的，也可以看成是真空（电场和势函数都是0）上的涨落，从而用量子场论计算。）
这个思想就是（3）量子场论的紫外发散中的重整化思想，只不过重整化的计算更麻烦。（那里甚至连电子电量这种东西都是发散的，需要引入裸的电子电量来抵消这个发散。）这里就不放出来恶心人了。想知道的可以参考Peskin的《量子场论导论》第6、7、10章。
（2）黑体辐射的紫外灾难就是普朗克通过引入"电磁场是量子化的"这一思想来解决的。用现代的观点来看，他使用的是玻色统计而不是经典的玻尔兹曼统计。这引入了额外的指数因子，把原先的发散治得服服帖帖的。我相信题主如果学过原子物理或者近代物理的话应该知道这个故事。平衡态统计物理中也会专门介绍这个。
（4）黑洞附近的曲率解决起来非常滑稽：我们看不见！或者说，宇宙中的裸奇点都被视界包裹，我们不能直接看到它们。（这个叫做cosmic censorship，宇宙审查机制，是一个假设。更详细的可以参考
Cosmic censorship hypothesis）如果视界存在的话，视界后面的东西其实是观测不到的，也就是说，它们不可证伪。所以任何和无穷大曲率有关的话题都变成了玄学。
来源：知乎 www.zhihu.com
作者：鸟雀呼晴
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