经典网文分享: 光学~几何光学

一开始接触普通物理中几何光学这部分内容时，我其实是拒绝的，因为它学起来和"鸡肋"没什么区别。但是，实际上……实际上……它也是很"鸡肋"的……不过，鸡肋总归不是骨头，上面还是有"肉"可以去啃的。比如费马原理与古典变分法；高斯光学与辛几何……

逻辑上，量子电动力学"近似成"电动力学；电动力学"近似成"波动光学；波动光学"近似成"几何光学；最后几何光学再"近似成"线性光学。不过从历史的角度看，顺序基本是反过来的。想了解这个"近似"的过程可以参考一下朗道的第三卷和第四卷，它毕竟不是这次的"主角"……

第一部分：费马原理与古典变分法

费马原理说的是：AB两点间光线的真是路径，是光程为"平稳"的路径。

具体来说就是对光程的变分为零： $\delta S=\delta \int_{A}^{B} nds=0$ ，

由费马原理容易导出所谓的几何光学三定律。即，光的直线传播定律，反射定律，和折射定律。这些都是我们早在中学就接触过的。

当然，费马原理和"最速降线"，"等周问题"一样，都是古典变分法早期发展中的重要问题。算是古典变分法中一个比较重要的例子吧。关于这方面已经说得很多了，这里不再赘述。

第二部分：高斯光学与辛几何

1，线性光学：

线性光学可以算是几何光学的一种近似，在考虑的各种角度都很小的情况下，这种近似是有效的。

具体来说： $sin\theta \approx \theta$ ， $tan\theta \approx \theta$ ， $cos\theta \approx 1$

我们在高斯光学中所谓的"傍轴条件"正式来源于这种近似，只有在一定条件下，这种近似才是有效的。

2，高斯光学：

高斯光学中，成像元件的作用就是将物方的同心光束"变换"为像方的同心光束，成像过程中必须保证光束的"同心性"。若是光线汇聚，则成实像；若是光线的反向延长线汇聚，则成虚像。

考虑单球面成像：由几何光学定律，结合三角函数进行化简可以得到：

$\frac{s^{2} }{n^{2}(s+r)^{2} }- \frac{s'^{2} }{n'^{2}(s'-r)^{2} }=-sin^{2}\frac{\varphi }{2} \left[ \frac{4r}{n^{2}(s+r) }+ \frac{4r}{n'^{2}(s'-r) } \right]$

其中，为物距，为像距，为透镜半径。

由此可见，像方光束汇聚点依赖于 $\varphi$ 根本无法保证光束的同心性。但是，在几线性光学的近似下， $sin^{2}\frac{\varphi }{2} \approx \left( \frac{\varphi }{2} \right) ^{2} \approx 0$ ，据此可得： $\frac{n'}{s'}+ \frac{n}{s}= \frac{n'-n}{r}$ 。

若考虑等式两端都等于零，那么可以发现 $r\rightarrow \infty$ ，即成像元件为平面镜，这时候可以严格保证光束的同心性（没有近似）。平面反射镜是唯一能够严格成像的几何光学器件。

同理，在分析薄透镜等几何光学器件时，我分就不必再费力地去分析光束了，只要利用"物"与"像"之间的关系就可以得到很多有用的物理结果。例如著名的磨镜者公式，

薄透镜放在空气中，有： $f=f'=\frac{1}{(n_{L}-1 )\left( \frac{1}{r_{1} }- \frac{1}{r_{2} } \right) }$ ，

3，还是高斯光学：

在高斯光学中，光线的传播无非有这样两种情况：

（1）在同种介质中沿着直线传播，这种情况下光线与光轴的距离发生变化，但与光轴夹角不变。

（2）在镜面上发生折射，这种情况下光线与光轴的夹角发生变化，但与光轴的距离不变。

现在我们常试用一个二维矢量来描述光线的"状态"。我们可以定义这样一个二维矢量：

$(q,p)^{\top }$ ，其中为光线距光轴的距离， $p=n\theta$ ，为光线"目前"所在介质的折射率， $\theta$ 为光线与光轴夹角。可见这个二维矢量可以描述光线的"所有信息"。

有个这个描述光线的方法，我们很自然的想把上面提到的光传播的情况写成矩阵的形式。这两种情况都可以看做是对光线的"变换"。结合高斯光学知识容易得到：

（1）描述光在均匀介质中的传播的矩阵：

（不会用知乎打矩阵啊，好桑心……）

$a_{11}=1,a_{12}=,\frac{t}{n} ,a_{21}=0, a_{22}=1$ ， $(q_{2} ,p_{2} )^{\top } =A(q_{1} p_{1} )^{\top }$

（2）描述折射的矩阵：

$b_{11}=1, b_{12}=0, b_{21}=-(n_{2}- n_{1} )k ,b_{22}=1$ ， $(q_{2}, p_{2} )^{\top } =B(q_{1}, p_{1}) ^{\top }$

4，二维辛群：

对于矢量空间，我们"赋予"它辛结构，即定义 $\omega :V\times V\rightarrow R$ ，且要求它是非退化，反对称，当然还有双线性的。赋予了辛结构的矢量空间就"升级"成了一个辛向量空间。接下来，我们可以定义其子空间的"辛正交补"，以及进一步讨论它的几类特殊子空间（symplectic,isotropic,coisotropic,Lagrangian），以得出很多有趣的结论……

对于辛向量空间 $\left( V,\omega \right)$ ，我们可以利用它的辛结构，对其上线性变换做某些"要求"，线性变换 $T:V\rightarrow V$ 被称为"辛的"若其满足： $\omega (Tu,Tv)=\omega (u,v)$ ， $\forall u,v\in V$ 。