Note 0 经典场论对应的拉格朗日力学

1、力学基础

在物理学中，最基本的经典力学量是作用量 S。作用量的定义是拉格朗日函数对时间的积分。

S=\int Ldt\\

拉格朗日函数 L=L(q_\alpha,\dot q_\alpha,t) 是一个力学系统的特性函数，包含了一个力学系统的全部信息，对于连续的情况，拉格朗日函数可以写成以场为宗量的函数。这样拉格朗日可以写成拉格朗日密度函数对空间部分的积分，作用量可以写成

S=\int Ldt=\int d^4x\mathcal L(\phi,\partial_\mu \phi) \\

根据最小作用量原理，位形空间的路径对应于最小的作用量 S .这样有：

\delta S=0\\

\delta S=\delta\int d^4x\mathcal L(\phi,\partial_\mu\phi)=\int d^4x\{\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)\}=0 \\

对第二项应用一遍分部积分，很容易得到

\delta S=\int d^4x\{[\frac{\partial\mathcal L}{\partial \phi}-\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)})]\delta\phi+\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi)\}=0 \\

第二项根据Stokes公式可以转化成表面积分，而在位形空间中t_1,t_2点场的变分为 0 .

这样就得到了经典场的拉格朗日方程：

\frac{\partial\mathcal L}{\partial \phi}-\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)})=0\tag{1}

比较于经典力学离散体系的拉格朗日方程：

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0 \\

场论里实质上是把场看成广义坐标，实际上在经典电动力学里我们就已经这样处理了（参考Jackson的电动力学狭义相对论部分）。很显然场在空间中是连续分布的，每一种场构型都对应着一个作用量，但是只有满足拉格朗日方程的场才能保证最小作用量。这也是经典力学所需要保证的。根据费曼路径积分公式:

U(x_a,x_b;T)=\sum_{all\_paths}e^{i(phase)}=\int Dx(t)e^{i(phase)}\\

这个phase实际上就是作用量 S 。

显然如果作用量 S 不是极小值，那么对于非最小作用量的路径来说，相位变化会剧烈变化以至于相互之间发生抵消。也就是说必须要有 \frac{\delta S}{\delta x(t)}=0 ，由此我们可以推导出拉格朗日方程，这就回到了本文刚开始。

对于给定的拉格朗日函数 L=\int d^3x\mathcal{L}(\phi,\dot\phi) ,很自然我们可以定义正则动量

p=\frac{\partial}{\partial\dot\phi}=\frac{\partial}{\partial\dot\phi}\int d^3y\mathcal{L}(\phi(y)\dot\phi(y))=\pi(x)d^3x\\

这里 \pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot\phi(x)} 叫做共轭正则动量密度。再根据勒让德变换带入拉格朗日方程 (1) ，很快我们可得：

H=\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x[\pi(x)\dot\phi(x)-\mathcal{L}]\tag{2}

这样我们就得到了一个力学体系的另一个重要的特性函数——哈密顿函数

2、诺特原理

我们考虑一个空间连续分布的场 \phi(x) ，其中它的无穷小变换形式为：

\phi(x)\rightarrow\phi'(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x)\\

这里 \alpha 是无穷小变换参数， \Delta\phi 是场构型的"畸变"。力学里所谓的对称变换是指保持动力学方程形式不变的变换，这里我们的动力学方程是指拉格朗日方程。也就是说以上这种无穷小变换是保证了拉格朗日方程始终不变。

对于拉格朗日密度 ，我们考虑对应于 场 的无穷小畸变的导致的拉格朗日变化，近似到一阶。因为拉格朗日密度函数是洛伦兹不变的，也就是 \mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L}'(x)=\mathcal{L}(\Lambda^{-1}x) 。这就要求拉格朗日密度的一阶项必须是一个四散度。

\mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x)\\

对 \Delta\mathcal{L} 全微分展开，可以得到：

\Delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{\phi}}\Delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\Delta\phi)\\ =\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi)+[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu(\frac{\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)})]\Delta\phi\\

这样比较 \alpha\Delta\mathcal{L} 和上式，由 \mathcal L\rightarrow\mathcal L+\alpha\Delta\mathcal L 可知：

\partial_\mu j^\mu(x)=0\tag{3}

其中

j^\mu(x)=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal J^\mu\tag{4} .

由 (3) 的形式我们可以知道 j^\mu(x) 是对应于变换 \phi(x)\rightarrow\phi'(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x) 的守恒流。这就是我们所求得的诺特流局域守恒方程

我们可以定义守恒荷 Q :

Q=\int_{all\_space} j^0(x)dx\tag{5}

如局域的连续性方程或者守恒流方程向全空间积分一样，利用无穷边界收敛于 0 . 显然守恒荷是一个不随时间变化的常量。

举个例子，我们考虑一个洛伦兹无穷小变换 x^\mu\rightarrow x^\mu-a^\mu ，显然场构型的变化为：

\phi(x)\rightarrow\phi(x+a)=\phi(x)+a^\mu\partial_\mu\phi(x)\\

因为拉格朗日是洛伦兹不变的标量，所以拉格朗日也要有如下变换：

\mathcal L\rightarrow\mathcal L+a^\mu\partial_\mu\mathcal L=\mathcal L+a^\nu\partial_\mu(\delta^\mu_\nu\mathcal L)\\

后面 \delta^\mu_\nu 的出是由于更换坐标导致的雅克比系数。

带守恒流公式 (5) 里，很快我们能得到守恒流是能量动量张量：

T^\mu_\nu=\frac{\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal L\delta^\mu_\nu\tag{6}

同样的，对应于洛伦兹变换的守恒流 T^\mu_\nu ，我们也可以求出守恒荷，正是这个体系的哈密顿：

H=\int T^{00}d^3x=\int\mathcal Hd^3x

与电动力学一样的，能量动量坐标分量是与总动量的坐标分量紧密联系的。

P^i=\int T^{0i}d^3x=-\int\pi\partial_i\phi d^3x

这也是物理上对应的动量，而不是正则动量。



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作者：老实的哈密顿

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谁动了我的剧本？——从“琼瑶案”看抄袭行为的侵权认定

《宫锁连城》抄袭《梅花烙》案已经过去整整一年了，热度却依然不减。对于本案的伟大胜利，小桔觉得还是有必要写个小文来庆祝一下的！

最近《锦绣未央》也爆出抄袭风波，原小说作者秦简被指抄袭两百多部作品。又有网友挖出秦简在网文界混不下去改用真名周静进了于正的工作室，开始学习编剧。而周静和于正共同"创作"的《美人制造》给于正带来了第二场官司，但该案在11月7日一审宣判，法院认定《美人制造》不构成对小说《邪恶催眠师》的抄袭、改编，于正获得清白。

"影视作品中的抄袭、剽窃现象早就存在，但近两年剽窃尤甚，主要是制作公司和编剧急功近利所致，不愿意深入生活，从生活的源头汲取创作的灵感。"中国电影文学学会理事、国家一级编剧胡月伟说，"在商业化的写作过程中，一些年轻编剧喜欢"扒剧"，尤其是"扒韩剧""扒美剧"，这是最快捷的成功之道。"业内有一种创作模式，一个"大编剧"找四五个"小编剧"，一集集看韩剧，一人各扒5集，再由"大编剧"来统稿。

"扒剧"说的好听，其实就是抄袭。抄袭的形式多种多样，有全剧都抄的，有只抄一段的，有跳着抄的，有只抄框架的，有只抄细节的，还有像秦简这样的几百部作品一起抄的。

那么，怎么抄就算侵权，怎么抄就没事呢？

小桔带你厘清其中的奥妙~

关于抄袭行为的侵权认定涉及著作权的基本原理：思想与表达二分法。即著作权只保护表达，不保护保护思想。只有思想被固定下来且具有独创性才受到保护。所以如果能够证明别人写的东西是大家都能够想到的，就不会被认为是抄袭。琼瑶诉于正案里，于正就是力图证明自己的剧本用到的素材都是一般清宫戏中常见的套路，并不是抄袭琼瑶的小说。然而这个抗辩很快就被强大的律师团队攻陷。

关于思想与表达二分法，早在1785年美国Sayre v. Moore案，法院即确认了"确保了作者对其最初的表达的权利，但也鼓励其他人自由地利用衍生与作品的思想和信息。"在司法实践中，通常是用对比的方式来判断两个作品是否构成表达上的实质性相似。琼瑶案的判决书中对涉案剧本、电视剧做详细的比对。

琼瑶案的法院用一种金字塔模型，详细论述了什么样的内容是思想，什么样的内容是表达："抽象概括法可以作为思想与表达的分析方法，即将一部文学作品中的内容比作一个金字塔，金字塔的底端是由最为具体的表达构成，而金字塔的顶端是最为概括抽象的思想。当文字作品的权利人起诉他人的文字作品侵害其作品的著作权时，需通过对比的方式予以确认，则可参照相似内容在金字塔中的位置来判断相似部分属于表达或思想：位置越接近顶端，越可归类于思想；位置越接近底端，越可归类于表达。文学作品中的人物设置及人物关系，如果仅仅是'父子关系'、'兄弟关系'、'情侣关系'等，无疑处于金字塔的顶端，应属于思想范畴；如果就上述人物关系加以具体化：'父亲是王爷而儿子是贝勒但两人并非真父子'，'哥哥是偷换来的贝勒而弟弟是侧福晋的儿子'，'情侣双方是因偷换孩子导致身份颠倒的两个特定人物'，则相对于前述人物关系设置而言，这样的具体设计无疑将处于金字塔结构的相对下层；如果再将特定事件安插在存在特定关系的人物之间，则无疑又是对人物设置及人物关系的更为具体化设计，这样的设计又会体现在金字塔更加底层的位置。如果人物身份、人物之间的关系、人物与特定情节的具体对应等设置已经达到足够细致具体的层面，那么人物设置及人物关系就将形成具体的表达。"

而在琼瑶案之前，另一个同样由王军律师代理的案件却得到了不同的判决结果。北京市东城区人民法院在"电广传媒影业有限公司诉北京劳雷影业有限公司电影《二次爆光》侵害其拥有的小说《谋杀似水年华》的电影改编权案"中，将涉案电影与小说进行比对，原告主张的涉案电影与小说有六处相似，法院仅认可了其中一处，经过综合分析认为涉案电影不构成对涉案小说改编权的侵害。相较于琼瑶诉于正案，东城区人民法院的天平似乎偏向了被诉侵权的一方，且忽视了劳雷影业有接触到小说《谋杀似水年华》，并和小说作者蔡骏洽谈过购买电影改编权事宜未遂的事实。

我国现行著作权法对于思想与表达并无明文规定，但草案第九条规定："著作权保护延及表达，不延及思想、过程、原理、数学概念、操作方法等"。尽管草案明确了著作权法只保护表达不保护思想，但在实务中对于思想和表达的界限还是要根据个案去具体判断。

两个案子对比来看，可以看出对影视作品抄袭案件的侵权认定，近年来法院呈现出严格态势。这也十分考验律师团队的功力。王军律师多次在演讲中强调诉讼可视化的作用，将复杂的文学艺术作品抽丝剥茧，发现其中在表达上相似之处，除了细节比对，还要整体比对，才能使法官足够信服。

最后，虽然抄袭案件证明侵权不容易，但如果真是遇到像琼瑶案这样的一赔就陪500万，普通小编剧可真是吃不消呢。不光赔个底掉，名声也全毁了，所以小桔还是要劝一句：抄袭需赔偿，入行需谨慎！



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案例｜酒驾逃逸 保险公司仅在交强险范围内承担责任

驾驶员饮酒驾驶且在事故发生之后逃逸，死者家属是否有权请求保险公司在商业险赔偿限额内承担责任？近日，北京市海淀区人民法院审理了一起被告人酒后驾车且在事故发生后有逃逸行为的机动车交通事故责任纠纷案，法院判决保险公司仅在交强险范围内承担责任，超出交强险赔偿限额的部分由肇事者承担50%的赔偿责任。

酒驾肇事逃逸引发赔偿责任争议

四原告作为死者刘某家属诉称，事发当天，刘某在位于海淀区某大厦地下停车库入口被罗某驾驶的小型轿车碾压并拖带，造成刘某受伤，经抢救无效于当晚死亡。发生交通事故后罗某为了逃避法律责任，向公安机关隐瞒事实，找他人顶替逃逸；同时根据公安机关的调查知悉，发生交通事故时罗某系酒后驾车。公安机关做出的《交通事故认定书》中认定罗某对事故承担同等责任。但四原告认为罗某应对事故承担全部责任；罗某驾驶的车辆车主为杨某，应承担连带赔偿责任；机动车交通事故责任强制保险承保单位应在保险范围内承担赔偿责任。

罗某和杨某辩称，罗某驾驶的杨某的车辆在保险公司处投保交强险及商业三者险50万元含不计免赔，罗某是借用杨某的车发生事故，杨某不应承担责任，事故认定是双方平均承担责任，超出交强险和商业三者险赔偿范围的，罗某同意承担50%的责任。

保险公司辩称，事故车辆在公司投保有交强险及商业三者险50万元含不计免赔，不同意赔偿四原告的损失，事故认定书认定罗某发生事故后向公安机关隐瞒事实找他人顶替，于事故发生后两日才去自首，被认定为有酒后及逃逸行为，其行为违反了道路安全法相关规定，根据《保险法》，其行为导致保险事故无法查清事实。就原告方提交证据中交通队笔录显示，罗某事发当晚至少饮用两瓶以上啤酒，我方断定其在事发时是醉酒状态，虽然现在没有确定性的醉酒证据，但是可以断定其事发时是醉酒，故我方不承担赔偿责任。



法院判决保险公司仅在交强险范围内承担责任

法院经审理查明，公安机关出具的《交通事故认定书》对交通事故成因及责任认定如下：罗某饮酒后驾驶机动车发生交通事故，与本起事故的发生有因果关系，是事故发生的原因；罗某发生交通事故后逃逸的行为也是本事故中的严重过错。行人刘某酒后步行进入停车库入口处的车行道坐卧，与本起事故的发生有因果关系，也是事故发生的原因，罗某和刘某均对本次交通事故承担同等责任。

庭审中，保险公司提交了《机动车综合商业保险保险单》以及《机动车综合商业保险条款》。其中，保单"重要提示"部分有如下内容：1.本保险合同由保险条款、投保单、保险单、批单和特别约定组成……2.请详细阅读承包险种对应的保险条款，特别是责任免除和赔偿处理。保险条款第二章"机动车第三者责任保险"的"责任免除"部分，采用加粗加黑的方式予以特别提示。第二十四条约定：下列情况下，不论任何原因造成的人身伤亡、财产损失和费用，保险人均不负责赔偿：（二）驾驶人有下列情形之一者：1.事故发生后，在未依法采取措施的情况下驾驶被保险机动车或者遗弃被保险机动车离开事故现场；2.饮酒、吸食或注射毒品、服用国家管制的精神药品或者麻醉药品。

法院认为，同时投保交强险和商业三者险的机动车发生交通事故造成损害，当事人同时起诉侵权人和保险公司的，应当先由承保交强险的保险公司在责任限额范围内予以赔偿；不足部分，由承保商业三者险的保险公司根据保险合同予以赔偿；仍有不足的，依照道路交通安全法和侵权责任法的相关规定由侵权人予以赔偿。本案中的交通事故经公安机关交通管理部门认定罗某与刘某均为同等责任，罗某所驾车辆在保险公司投保了交强险及责任限额为50万元的商业三者险，此次事故发生在保险期限内，故保险公司应在其承保的交强险的责任限额范围内先行承担赔偿责任。

对超出交强险限额的合理损失，首先，因罗某为饮酒后驾驶机动车，且存在交通事故后逃逸的严重过错行为，根据机动车保险条款规定，在此情况下保险人不负赔偿责任。其次，饮酒后驾驶及交通事故后逃逸均为法律明令禁止的行为，根据保险法相关司法解释，保险人将法律、行政法规中的禁止性规定情形作为保险合同免责条款的免责事由，保险人对该条款作出提示后，投保人、被保险人或者受益人以保险人未履行明确说明义务为由主张该条款不生效的，人民法院不予支持。故罗某、杨某现以保险公司未进行告知为由要求保险公司在商业险范围内承担责任的理由不足，法院不予采信，对于超出交强险限额的合理损失应由侵权行为人罗某按照交通事故责任比例承担50%的赔偿责任。因车主杨某对于事故的发生没有过错，故其不应当承担赔偿责任。最后，法院判决保险公司在交强险范围内赔偿四原告的合理损失，超出交强险部分由罗某承担50%赔偿责任。



相关链接

《中华人民共和国侵权责任法》第四十九条：因租赁、借用等情形机动车所有人与使用人不是同一人时，发生交通事故后属于该机动车一方责任的，由保险公司在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿。不足部分，由机动车使用人承担赔偿责任；机动车所有人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。

《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第一条：机动车发生交通事故造成损害，机动车所有人或者管理人有下列情形之一，人民法院应当认定其对损害的发生有过错，并适用侵权责任法第四十九条的规定确定其相应的赔偿责任：……（三）知道或者应当知道驾驶人因饮酒、服用国家管制的精神药品或者麻醉药品，或者患有妨碍安全驾驶机动车的疾病等依法不能驾驶机动车的。

《最高人民法院关于适用若干问题的解释（二）》第十条：保险合同订立时，保险人在投保单或者保险单等其他保险凭证上，对保险合同中免除保险人责任的条款，以足以引起投保人注意的文字、字体、符号或者其他明显标志作出提示的，人民法院应当认定其履行了保险法第十七条第二款规定的提示义务。



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作者：孙律师

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[Rendering] 基于物理的大气渲染

# 要解决的问题


以下我们推导单次散射（single scattering）的气渲染模型，即光线从太阳发出过、只经过一次散射被改变方向后射入我们的眼睛。


下图显示了我们观察大气时的观察路径AB，我们想知道B点的大气颜色：


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这个过程实际上就是对视线路径AB上每一点的光照贡献进行一个积分，下面我们把问题一步步拆分。


## 问题一：P点的光照是什么？


由于我们关心的是单级散射，那么唯一的一次散射发生在路径AB上的每一点P，那么该点的光照强度Ip要怎么求呢？它可以理解成是，从P点出发沿着光照方向与大气边缘的交点为C，从C点的光照（我们认为大气层边缘的光照就是太阳发出的光照）经过路径CP衰减后到达P点的光照：


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用公式表示就是：

其中，T项是衰减系数（Transmittance），它表示在某段路径上的对光照的衰减程度。该公式也可以被认为是零级散射（zero scattering），即不考虑任何散射事件、直接考虑经过衰减后光强。


## 问题二：在P点发生了什么？


我们已知到达P点的光照强度为Ip，那么光线在P点经过一次散射后、经路径PA其他大气粒子的衰减后，最终到达人眼的光照强度Ipa为：

其中，λ是波长，θ是图中所示的光线入射方向和观察方向的夹角，h是P点的高度。通俗解释下，S项是散射系数（Scattering），它表示此次散射事件中有多少光被反射到了θ方向上，T项是衰减系数（Transmittance），它表示在PA路径上的对光照的衰减程度。它们之间是有联系的，简单来说正是因为大气对光线不断发生散射（S项）才导致经过一定路径后光线会发生衰减（T项）。接下来对每一项进行解释。


(1) 散射系数： S(λ,θ,h)


散射系数和粒子的大小和折射率有关，这里就得解释一下大气粒子的分类。我们知道大气中有很多不同种类的大气分子/粒子，一般在大气渲染模型里把它们分成两大类。一种是小分子，例如氮气和氧气分子等，另一种是大粒子，例如各种尘埃粒子。之所以要进行分类是因为它们对光线有着不一样的行为（这里忽略对光的吸收，只考虑散射）：

  • 小分子：指大小远小于光线波长的粒子。小分子对光的散射在前后方向上分布比较均匀，通常会使用Rayleigh散射（Rayleigh Scattering）对它们进行建模。由于这些分子大小比波长还要小很多，因此光的波长也会影响Rayleigh散射的程度。
  • 大粒子：指大小远大于光线波长的粒子。大粒子在发生散射的时候会把更多的光散射到前向，通常会使用Mie散射（Mie Scattering）对它们进行建模。由于光的波长相较于这些粒子大小来说是可以忽略的，因此我们认为Mie散射跟光线波长无关。


下面以Rayleigh散射为例，解释S(λ,θ,h)的含义。这里直接给出公式，在Rayleigh散射模型中，散射到θ方向上的比例为：

其中，λ是光的波长，n是粒子折射率，N是海平面处的大气密度，ρ(h)是高度h处的相对大气密度（即相对于海平面的密度，可以理解成h处真正的大气密度与海平面处大气密度的比值，因此它在海平面处值为1，随着h增加不断减小），我们一般会使用指数函数对它的真实曲线进行数学拟合（是一种近似拟合，不要和后面提到的指数函数弄混）：

其中，H是大气的整体厚度。


可以看出Rayleigh散射大致和波长的4次幂的成反比，波长越小（越靠近紫光）的光被散射得越厉害。所以白天的时候天空为蓝色，因为蓝光在大气里不断被散射，黄昏的时候天空会变红，因为相比于白天，阳光此时要穿越更厚得多的大气层，在到达人眼之前，大多数蓝光都被散射到其他方向，所以剩下来的就是红光了。


(2) 衰减系数：T(PA)


对于大气粒子对光的散射，在传播路径PA上光线会继续衰减。S(λ,θ,h)关心的是被反射到某一特定角度上的光线比例，那么现在我们就需要考虑经过一次散射后，在入射方向上还"剩下来"多少光。


我们先来看一次衰减。假设I0在经过一次散射后损失了β比例的能量，则剩余的能量I1为：

那么经过一段传播路径PA后，余下的能量为：

  • 简单情况：如果β为定值，我们可以直接通过微积分得到衰减一段距离x后的剩余能量：
  • 复杂情况：复杂情况是β是与波长λ和高度h都相关，即不能简单地当成定值。此时，我们就需要用积分来表示了：


那么问题是，β是什么？在简单情况下，也是很多游戏里雾效的实现方法中，就拿一个类似雾效密度的参数来代替β。在复杂情况下，我们就需要考虑真实的β是如何计算的。


之前我们一直在讨论的S(λ,θ,h)是在某方向上的散射系数，那么β就是在所有方向上的总散射系数。我们还是以Rayleigh散射为例，如果我们对Rayleigh散射的S(λ,θ,h)做球面积分，得到总散射系数β(λ,h)为：


终于，我们的公式长度缩短成了两项，不用再看密密麻麻的符号了！上式可以理解成，β(λ)是海平面处的散射系数，随着高度增加，散射强度也不断减小。因为大气相对密度ρ(h)不断减小。据此，我们可以改写T(PA)部分，可以看出，β(λ)其实只跟波长相关，在传播路径上不需要进行积分，因此可以提到积分外部：


我们可以进一步改写其中的积分项。对比简单情况下的公式，积分项对应的其实就是路径长度x，而这部分积分可以理解成光学距离——Optical Depth：


同样，我们也可以改写S(λ,θ,h)部分：


其中，P(θ)表示在这些被散射的能量中，有多少比例被反射到了θ方向上，它有一个专有名字——相位函数（Phase Function），也被称为Scattering Geometry。所以对于Rayleigh散射来说，它的相位函数就是：


至此，我们简单推导了S项和T项，这样一开始的公式就可以写成：


总结起来，公式表示的含义就是，计算观察路径AB上某一点P的光照贡献：

  1. 光线从太阳出发，到达大气边缘的C点
  2. 经过路径CP上的衰减到达P点（0级散射）
  3. 在P点发生一次散射，将一部分光散射到了观察方向上（1级散射）
  4. 这部分光又经过AP路径上的衰减最终到达了我们的眼睛


## 问题三：路径AB之间发生了什么？

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P只是AB上的某一点，我们需要对路径AB上的每一点进行积分：


其中涉及到了散射系数β(λ)、相位函数P(θ)、光学距离D(PA)等。


## 小结


至此，我们完成了单级散射模型的简单推导。但实际情况要复杂得多，在到达人眼之前，光线已经在大气里被散射了无数次，而更高一级的散射总是可以靠它前一级的散射来定义，即是一个递归定义：


上式的含义是，在A点、从观察方向v、光线入射方向s贡献的第i+1级散射（左侧）等于，对观察路径AB上的每一点P的贡献度进行积分：

  1. 在P点处发生最后一次散射，把光线从积分方向v'散射到观察方向v上（β(v,v')），然后经过T(PA)衰减后到达A点
  2. 在最后一次散射前，对之前发生在P点、从方向v'、光线入射方向s贡献的第i级散射做球面积分，表示从各个方向v'贡献的第i级散射


回顾我们之前对单级散射的推导过程，其实就是i=0的情况。对于第0级散射来说，由于v'不等于s的方向来说，第0级散射都为0，所以我们省略了公式里做球面积分部分。而在A点、从观察方向v、光线入射方向s最后的光照结果应该是把所有级的散射都加起来：


如果是离线渲染，理论上我们可以求得上述公式的精确解。但对于实时渲染来说，第0级和第1级散射都是可以较为快速的求得精确解的，而更高级的散射要计算起来就非常划不来了。在早期的大气渲染资料（例如GPU Gems 2）里，都是对第0级和第1级散射的求解和渲染。直到2008 Precomputed Atmospheric Scattering的提出，我们也可以实时计算更高级别散射的近似解了。


# 大气渲染模型


具体应用到游戏渲染里，我们一般会把大气渲染分为两个部分：一是天空背景的渲染，即skybox，二是大气透视的渲染，也是我们俗称的大气雾效。在渲染的时候需要考虑光线入射方向s上的遮挡（阴影），通常使用传统的shadow map就可以了。这样我们就可以得到god ray效果。


## 天空背景


我们之前推导的公式可以直接拿来渲染天空盒，这里就不重复了。多说一句，第0级散射可以理解成对"sun disk"的渲染。


## 大气透视


大气透视（aerial perspective）是渲染场景里物体距离摄像机远近的很重要的效果，也是所谓的雾效。与渲染天空盒略微不同的是，我们还需要考虑反射地表颜色等。


依然是考虑在A点、沿着观察路径AB接收到的光照。这部分光照可以分为两个部分：一是B点反射的地表颜色Rb经过路径AB衰减后的光照，也就是第0级反射，二是路径AB上由于散射贡献的光照：

Textinction就是我们之前推导的T(AB)，Iinscattter则是之前推导的多级散射模型。


## 优化


核心是使用LUT，例如可以T(AB)存到一张2D纹理里。


## 例子：简化模型


大部分游戏的视角只会在地表附近，因此可以使用简化模型来渲染大气雾效。简化模型有两个最明显的特征：

  • 使用直线距离d直接代替光学距离D(AB)
  • 基于上一点，我们可以使用恒定的散射系数β


（1）Unity的Exponential Fog


最简单的例子应该就是Unity的Exponential Fog（docs.unity3d.com/Manual）了，公式表示就是：


其中的exp部分就是Textinction，即使用恒定的散射系数的简化模型。但后面计算Iinscattter的部分其实是不准确的，可以说是"不怎么基于物理"。


（2）The Blacksmith中的大气散射


Unity的The Blacksmith给出了大气散射部分的代码（blogs.unity3d.com/cn/20，assetstore.unity.com/pa）。这部分以后再补吧。


# 参考资料


推荐阅读顺序即为排序顺序：


Unity有很多插件的实现都是基于2008年的Precomputed Atmospheric Scattering，例如uSky（assetstore.unity3d.com/#）、Azure（assetstore.unity.com/pa）等，可以参考和优化。



来源：知乎 www.zhihu.com
作者：Lele Feng

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酒店面临拆迁，在法律规定的范围内有哪些赔偿呢？

案例：河北省邢台市的罗某，2010年开始加盟了某连锁酒店，租用的国有土地上的房屋，出租人是当地某单位，后罗某取得了相应的经营手续，包括营业执照，特许行业经营许可证等。对房屋进行了大规模的装修，由于房屋陈旧，罗某投入了大量的人力和财力，一直经营直2017年，经营效益较好。现在当地要收回国有土地，进行旧城区改造工程，由于罗某不知道自己的补偿怎么算，政府也没有对自己酒店进行评估，自己损失非常大，于是罗某通过法律途径解决。

近年来，有很多临街商铺或者是整栋建筑或整层建筑用于酒店经营的被拆迁人，在经营期间遇到拆迁，能否获得补偿，补偿内容都包括什么，补偿标准的法律依据以及维权方案有哪些？这是这些实际经营人面临的疑惑。

目前法律并没有规定在拆迁补偿中对承租人的利益分配如何进行，但并不是说承租人的利益就不能得到保护。酒店拆迁补偿内容包括：土地使用权补偿、房屋补偿、装修费、改造费、搬迁补助费、临时安置补助费、经营性补助费、停产停业补偿、设备设施搬迁费等。

如果只租赁了土地自建酒店的。在拆迁的时候可以获得建筑物重置价、停产停业损失、装修附属物搬迁费、机器设备等相应的补偿。

租赁建筑物装修后用作酒店经营的。土地和建筑物的补偿都不属于酒店经营人，而如对酒店进行过内部改造，装修、加建停车场、加减设施、环境绿化以及停产停业损失属于实际经营者。

通常来讲建筑物征收补偿款是赔偿给地上建筑物所有人的，否则政府要参与到承租方和房东分配赔偿金的过程当中，征收拆迁通知一般都是提前3－6个月公示告知当事人。在此期间，假如不动产所有人、动产所有人明知要拆迁还要出租所涉房屋，本身就是有背道德的行为。承租经营人就以起诉，法院应当予以支持，至于其他损失也可以主张适用城市房屋拆迁补偿：按照市场价补偿，即按照被拆迁的同区区位酒店承租费用确定腾退以及停业损失。

根据拆迁项目规定、进度和租赁合同效力来判断起诉拆迁部门或起诉不动产所有人。

法律依据：

《国有土地上房屋征收与补偿条例》第21条的规定："被征收人可以选择货币补偿，也可以选择房屋产权调换。被征收人选择房屋产权调换的，市、县级人民政府应当提供用于产权调换的房屋，并与被征收人计算、结清被征收房屋价值与用于产权调换房屋价值的差价。"也就是说，在国有土地上房屋进行征收时，是应该可以进行货币补偿和房屋产权调换的选择的，而这种选择应当是有被征收酒店依据其现实需要进行的。只要酒店经过合法审批所建并经营的，那么在拆迁补偿中有对经营性房产的专项补偿，但数量不足以弥补损失，可依据实际情况要求拆迁单位对实际损失予以合理赔偿。



来源：知乎 www.zhihu.com
作者：吴少博律师

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